Задача по алгебре из 10го класса

[Otta]

мат-ламер в сообщении #1070593 писал(а):

А на что вы намекали? Что можно задачу вообще решать без дискриминанта? Или что-то ещё?

Да не я одна ж, в самом деле. Просто странно так долго ждать ответа на такой простой вопрос.

[мат-ламер]

Otta
Там 3D Homer прелагал без дискриминанта уже во втором посту. Но там есть нюанансы - что там будет при разных $\gamma$.

[Otta]

Да нету там нюансов.

[valkat]

Otta в сообщении #1070592 писал(а):

valkat в сообщении #1070585 писал(а):

Простите если мои сообщения вызвали какие-либо негативные эмоции, слишком узко глядел на возможное решение примера
Otta собственно смысл Вашего вопроса мне теперь стал понятен, а замечание Ваше...

Какие эмоции, бог с Вами. На вопрос-то ответьте )))

Mihaylo, он был не к Вам, если что.

Тут уже ответили, спасибо участником данной темы!
Признаюсь, я о решении графическим способом даже и не думал, это можно даже сказать творческий подход)
то есть подводя черту, верно ли?:
уравнение вида
$(x - a)(x - c) + \gamma(x - b)(x - d) = 0$
представляем как:
$(x - a)(x - c) = -\gamma(x - b)(x - d)$
имеем систему:
$\left\{ \begin{array}{rcl} y=(x - a)(x - c) \\ y=-\gamma(x - b)(x - d) \end{array} \right.$
и далее от $\gamma$ зависит только толщина и направление параболы, причем пересечения в одной точке не может быть, так как $\gamma \not = - 1 $ , то есть пересекаться они будут в двух точках, так как заданы условия $a<b<c<d$, а соответственно при пересечении будут решения, а значит дискриминант будет положительным

[Otta]

И что с того, что Вы уравнение переписали в виде равносильной ему системы? "Пересекаться будут", говорите? так обоснуйте.

Да, и на мой вопрос не забудьте ответить. Вы. Мне Вас интересно услышать. Пожалуйста.

[valkat]

Otta в сообщении #1070605 писал(а):

И что с того, что Вы уравнение переписали в виде равносильной ему системы? "Пересекаться будут", говорите? так обоснуйте.

Да, и на мой вопрос не забудьте ответить. Вы. Мне Вас интересно услышать. Пожалуйста.

К вашему вопросу может быть два ответа:
1. "На практике", то есть понимая как употребление квадратных уравнений в решении задач в определеных областях жизнедеятельности, и соответственно положительный дискриминант даёт понимание, что требуемый аргумент существует
2. "На практике", именно в абстрактном понимании решения уравнений, тогда представляя квадратное уравнение из вида:
$ax^2 + bx + c$,
в вид $(x + \frac{b}{2a}) - \frac{b^2-4 a c}{4a}$,
имеем параболу, сдвинутую по осям $x, y$,
собственно, выражением $ {b^2-4 a c}$ и определяется возможность этой параболы иметь общие точки с осью абсцисс

А решение той системы уравнений
$(x - a)(x - c) = -\gamma(x - b)(x - d)$
это есть пересечение двух парабол, так как пересекают они ось $x$ в точках $a, b, c, d$, причем первая в точках $a, c$, вторая в точках $ b, d$, значит они будут пересекать друг друга, это видно, если схематически начертить графики, и есть один только вариант, когда одна парабола будет пересекать другую в одной точке, но по условию такой вариант отпадает. Я понимаю, что для объяснения этого нужен более разумный универсальный математический аппарат, но логика же верна?

[Otta]

valkat в сообщении #1070610 писал(а):

но логика же верна?

Логики пока нету, потому трудно сказать, верна она или нет.

valkat в сообщении #1070610 писал(а):

1. "На практике", то есть понимая как употребление квадратных уравнений в решении задач в определеных областях жизнедеятельности, и соответственно положительный дискриминант даёт понимание, что требуемый аргумент существует

Это я не понимаю, ну да бог с ним. (Какой аргумент существует? не, мне это не понять, точно).

valkat в сообщении #1070610 писал(а):

определяется возможность этой параболы иметь общие точки с осью абсцисс

Общие - это неотрицательность дискриминанта. А положительность это что будет значить?

[valkat]

Otta в сообщении #1070611 писал(а):

valkat в сообщении #1070610 писал(а):

но логика же верна?

Логики пока нету, потому трудно сказать, верна она или нет.

valkat в сообщении #1070610 писал(а):

1. "На практике", то есть понимая как употребление квадратных уравнений в решении задач в определеных областях жизнедеятельности, и соответственно положительный дискриминант даёт понимание, что требуемый аргумент существует

Это я не понимаю, ну да бог с ним. (Какой аргумент существует? не, мне это не понять, точно).

valkat в сообщении #1070610 писал(а):

определяется возможность этой параболы иметь общие точки с осью абсцисс

Общие - это неотрицательность дискриминанта. А положительность это что будет значить?

Спасибо за такой диалог

Я на самом деле рад, что уважаемые участники этой темы натолкнули именно на графическое решение этого примера, спасибо всем большое!

[Otta]

Пожалуйста, жаль, что это монолог.

[valkat]

Otta в сообщении #1070616 писал(а):

Пожалуйста, жаль, что это монолог.

Да нет же. Понимаете, вот ответы мои
1. В кинематике есть такая зависимость: путь прямопропорционален квадрату времени, так вот если представить, что функция пути зависит от переменной #время, то имеем требуемый аргумент (время). Это я имел ввиду
2. Если парабола пересекает ось абсцисс в двух местах то дискриминант больше нуля, если в одной точке, то он равен нулю.
Это все мне было известно, но ум мой заклинило на решении примера преобразованиями, про графики я совсем не задумывался, а ведь выглядит это решение очень красиво
А возвращаясь к примеру: квадратное уравнение имеющее корни можно представить в виде $(x-e)(x-s)$, где $e, s$ - корни этого уравнения, вот именно на это при решении я и не обратил внимания, но, благодаря этой теме, по новому взглянул на решение таких примеров

[Otta]

valkat в сообщении #1070621 писал(а):

Если парабола пересекает ось абсцисс в двух местах то дискриминант больше нуля

Во! и наоборот.

valkat в сообщении #1070621 писал(а):

Это все мне было известно, но ум мой заклинило на решении примера преобразованиями, про графики я совсем не задумывался, а ведь выглядит это решение очень красиво

Только его до ума довести надо, графики двух парабол хороши для наглядности, но к делу их не подошьешь.
Вот есть у Вас исходное уравнение, квадратный трехчлен слева. Можно построить параболу, которая ему соответствует. Когда выполнено равенство нулю? В точности когда парабола пересекает (или касается) ось абсцисс. Когда дискриминант положителен? Только в том случае, когда она пересекается с осью, а это значит, должны быть и точки отрицательности, и точки положительности самого трехчлена. Они легко угадываются. Угадаете?

Именно про этот способ и был первый же ответ на Ваш вопрос в теме.

[Toucan]

valkat, замечание за избыточное цитирование здесь.

Для того чтобы процитировать фрагмент сообщения, выделите его мышкой и нажмите кнопку "Вставка" в цитируемом сообщении.

[valkat]

Спасибо огромное, всем, кто принял участие в решении данного задания, этот пример оголил изъяны моего мышления в понимании квадратных уравнений.

[3D Homer]

Если $\gamma>0$, то интервалы положительности и отрицательности у $(x-a)(x-c)$ (вверху) и $\gamma(x-b)(x-d)$ (внизу) будут следующие.


Если $\gamma<0$, то интервалы будут такими.


В обоих случаях есть точка, где оба выражения положительны и другая точка, где оба выражения отрицательны. Следовательно, в этих точках сумма выражений будет положительной и отрицательной, соответственно. Значит, квадратичная функция принимает положительные и отрицательные значения и ее дискриминант положителен. Это же верно, когда $\gamma=0$.

[valkat]

3D Homer в сообщении #1070642 писал(а):

В обоих случаях есть точка, где оба выражения положительны и другая точка, где оба выражения отрицательны. Следовательно, в этих точках сумма выражений будет положительной и отрицательной, соответственно. Значит, квадратичная функция принимает положительные и отрицательные значения и ее дискриминант положителен. Это же верно, когда $\gamma=0$.

Я понял, спасибо вам за помощь, простите за медленный "въезд" в этот способ