Сколько цифр в десятичной записи степени натурального числа?

[sartok]

Сколько цифр в числе $3^{333}$ ?
Первая оценка очевидна: $3^{333}=3\cdot9^{166}<3\cdot{10^{166}}$. Сверху - 167 цифр. Для начала хорошо. Точное количество - 159 цифр.
Теперь снизу. $3^{333}=27^{111}>{10^{111}}$. Снизу 112 цифр. Далековато.
Для сужения границ находим подходящие места в последовательности степеней
$3^{21}=10460353203=1.04...\cdot10^{10} \\ 333=21\cdot16-3 \\3^{333}>10^{{10}\cdot16}/27$ .
Снизу $10\cdot16+1-2=159$ цифр.
$3^{23}=94143178827=0.94...\cdot10^{11} \\333=23\cdot14+11\\ 3^{333}<10^{{11}\cdot14}\cdot3^{11} \\{3^{11}=177147} $
Сверху $11\cdot14+5=159$ цифр.
Дальше, например для $3^{3333}$, вычислений слишком много. Нет ли других способов?
Как решать подобные задачи четырьмя действиями арифметики, не употребляя явно логарифмы? И притом более результативно.
Прошу показать технику на разумно простом примере. Вообще, как сравнивать натуральные степени натуральных чисел в неочевидных случаях.
Возможно, со степенями двойки $2^{1000}$ справиться легче?

Вопрос переработан с использованием указаний Dmitriy40.

[Dmitriy40]

Если весьма примерно, то можно вспомнить $2^{10}=1024 \approx 1000$, а $3^2=9 \approx 10$ (или $3^9=19683 \approx 20000=2^1 \cdot 10000$), что даёт возможность оценить количество цифр в большой степени.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения, формулы не оформлены $\TeX$ом

sartok
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Каждая формула целиком заключается в одну пару долларов, внутри формул никаких долларов не нужно.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

Длина числа - это целая часть его десятичного логарифма.

sartok в сообщении #1063949 писал(а):

Как решать подобные задачи четырьмя действиями арифметики, не употребляя явно логарифмы?

По сути это бессмысленно, только если Вы не занимаетесь обфускацией.

sartok в сообщении #1063949 писал(а):

И притом более результативно.

Тогда надо начать с асимптотики алгоритмов расчета. Хотя это тоже мало что даст.

[Aritaborian]

Deggial в сообщении #1064622 писал(а):

Длина числа - это целая часть его десятичного логарифма.

...плюс единица.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #1064661 писал(а):

Deggial в сообщении #1064622 писал(а):

Длина числа - это целая часть его десятичного логарифма.

...плюс единица.

Два университетских выпускника, давно ушедших в бизнес, сидят в ресторане. Разговор заходит о том, сколько они ненужного изучали.
- Да что в университете, вот, в школе про интегралы рассказывали! Ведь учили, и никто ведь не помнит!
- А может, и помнят! Спорим на $100? - говорит второй, незаметно отзывает официантку в сторону и предлагает заработать $10, всего лишь, когда ей зададут вопрос, ответить "треть икс куб". "Как-как? Третик скуп?" - уточняет официантка. "Нет, треть икс куб!". Потом он возвращается к столу.
- Ну, давай кого угодно спросим, ну, хоть интеграл от икс-квадрат! Девушка, подойдите! Чему равен интеграл от икс-квадрат по дэ икс?
- Треть икс куб! - отвечает барышня.
Первый достаёт деньги рассчитаться, барышня продолжает:
- Плюс константа!

[iifat]

Задача несколько напоминает «давайте скажем чего-нить про степень, не употребляя слов «основание» и «показатель»». Что-то типа пропаганды мокроступов вместо импортных сапогов.
Если не хочется рыться в таблицах логарифмов, можно, к примеру, построить цепную дробь для $\log_{10}3$. Это, кстати, даст и знакопеременный ряд, то бишь кучу оценок сверху и снизу. Подобрать достаточно близкую пару. И всё исключительно умножением и сложением.

[provincialka]

Хм... Я кусок прошлого лета потратила на подобные вычисления (с цепнями дробями тоже)
Пыталась написать методичку для школьников... Несколько увлеклась, не спорю, увлеклась... Потом посмотрела на все это здравым взглядом... и выбросила в Корзину.

[iifat]

(Оффтоп)

(Жадно) А как часто и куда именно вы выносите свою Корзину?

Ну, как сказать. Бесполезных знаний не бывает. Массовая методичка для школьников — может и бесполезна; а для личного употребления интересующимся — почему б и нет?

[sartok]

Дополнение.
Итак, для $3^{333}$ получена оценка количества цифр, 159<159<160.
Что получится при тех же опорах для $3^{3333}$ ? Это число имеет длину 1591.
$3333=21\cdot158+13 \\ 3^{3333}>10^{10\cdot158}\cdot1594323 \\ 10\cdot158+1+6=1587$

$3333=23\cdot145-2 \\ 3^3333<10^{11\cdot145}/9 \\ 11\cdot145+1-1=1595$

Тут 1587<1591<1595

И всё же эта дорога увела вбок от исходного вопроса.

[sartok]

Теперь $3^{33333}$, тут добавлена ещё одна цифра. $33333\cdot \log3=15903,8827836$
$3^{21}=10.460353203\cdot10^9\,\,\,\,\, 3^{23}=9.4143178827\cdot10^{10}$

$33333=21\cdot1587+6 \\ 3^{33333}>10^{10\cdot1587}\cdot729 \\ 10\cdot1587+1+3=15874$

$3333=23\cdot1449+6 \\ 3^3333<10^{11\cdot1449}\cdot729 \\ 11\cdot1449+1+3=15943$

Тут 15874<15904<15943
С последнего знака ушли, точность завяла.
Но на поставленный вопрос ответа никто не дал, может тут намёк?

iifat в сообщении #1064677 писал(а):

можно, к примеру, построить цепную дробь для $\log_{10}3$