Система отсчета и математический формализм

[Someone]

schekn в сообщении #1068805 писал(а):

Можно пофантазировать дальше и заменить, скажем , координаты $\tau$ и $R$ местами в метрике Леметра. Скорее всего получится несуразица, но формально..?

Да запросто. Там, где была буква "$\tau$", пишем "$R$", и наоборот. Получится в точности то же самое, что было, только в других обозначениях. Или Вы придаёте буквам какое-то магическое значение?

[VladTK]

epros в сообщении #1068857 писал(а):

Я не утверждал, что любая система координат определяет систему отсчёта. Я только сказал, что система координат (подразумевается -- соответствующим образом выбранная, т.е. связанная с интересующим нас телом отсчёта) однозначно определяет систему отсчёта. Разумеется, координаты можно выбрать и так, что среди них либо все четыре будут пространственно-подобными, либо так, что все четыре будут времени-подобными, либо даже так, что все четыре будут свето-подобными. Это не те случаи, когда координаты определяют систему отсчёта...

Ваши слова "выбранные координаты" я понял как "произвольно выбранные". Но дело не только в этом.

epros в сообщении #1068857 писал(а):

...Кстати, Шварцшильдовы координаты под гравитационным радиусом вполне могут определять систему отсчёта. Среди них ровно три пространственно-подобных и ровно одна -- времени-подобная. Так что вполне можно выбрать тело отсчёта, частицы которого будут иметь неизменные пространственно-подобные координаты.

Вы фактически сейчас сами опровергаете себя. Вы писали "Выбранные координаты однозначно определяют...", а оказывается что те же Шварцшильдовы координаты над горизонтом определяют одну СО, а под горизонтом другую. Т.е. ни о какой однозначности определения координатами СО речи идти не может.

manul91 в сообщении #1068913 писал(а):

Это имеет смысл, в контексте данного дурацкого разговора.
Еще раз, без значения необходимо это или нет- если СО1 сопоставлена СК1, а СО2 сопоставлена СК2 - то тензор будет преобразовываться тензорным способом при переходе СК1<->СК2.
А не тензор - НЕ будет преобразовываться тензорным способом при переходе СК1<->СК2.

Совершенно верно. Но к утверждению Сергея Губанова

SergeyGubanov в сообщении #1066332 писал(а):

Если что-то нековариантное вдруг даёт ответ похожий на правду, то нужно поискать ковариантный способ получения того же самого. Не составляет никакого труда строить тензоры равные нулю для одной системы отсчёта и не равные нулю для другой системы отсчёта как только понимаешь, что системы отсчёта не имеют никакого отношения к системам координат. Система отсчёта характеризуется векторным полем четырёхскорости $u^{\mu}(x)$. Другая система отсчёта имеет другое векторное поле четырёхскорости $\tilde{u}^{\mu}(x)$. Векторное поле $u^{\mu}(x)$ никак не связано с векторным полем $\tilde{u}^{\mu}(x)$, это два разных векторных поля. Зная четырёхскорость $u^{\mu}(x)$ легко вычислить четырёхускорение $w^{\mu}$:

$$ w^{\mu} = u^{\nu} \nabla_{\nu} u^{\mu}. \eqno(1) $$

Четырёхускорение $w^{\mu}$ является примером тензорного поля равного нулю для одной системы отсчёта (инерциальной) и не равного нулю для другой системы отсчёта (неинерциальной), это два разных тензорных поля никак не связанных друг с другом. Другой пример такого тензорного поля:

$$ \Pi^{\mu \nu} = \frac{c^4}{8 \pi k} \left( w^{\mu} w^{\nu} - w^2 g^{\mu \nu} \right), \quad w_{\mu }\Pi^{\mu \nu} = 0. \eqno(2) $$

Для Вашего примера имеем

$$ w^{\mu} = \left\{ 0, 0, 0, \frac{g}{c^2} \right\}. \eqno(3) $$

$$ \Pi^{\mu \nu} = \left\{ \left\{ \frac{g^2}{8\pi k}, 0, 0, 0 \right\}, \left\{ 0, -\frac{g^2}{8\pi k}, 0, 0 \right\}, \left\{ 0, 0, -\frac{g^2}{8\pi k}, 0 \right\}, \left\{ 0, 0, 0, 0 \right\} \right\}. \eqno(4) $$

Это тензор, а не какая-то "псевдятинка".

Ваши слова никакого отношения не имеют.

manul91 в сообщении #1068913 писал(а):

Нет, ключевая фраза тут - "птичий язык".
Вот вам аналогичное идиотское высказывание: "два разных бескоординатных вектора нулевой и ненулевой являются тензором который не преобразуется тензорным способом, ибо они при преобразования СК (или СО) не преобразуются друг в друга.". По-вашему оно имеет смысл? По моему - нет - и это чушь собачья.
Тензор - геометрический объект (от координат не зависящий). "Разные наблюдатели" с их разными мировыми - это разные "геометрические объекты".

Наконец-то дошло. В том-то и суть, что разные системы отсчета (СО) - это разные множества наблюдателей (т.е. разных геометрических объектов). А потому никаким образом 4-ускорение и 4-скорость наблюдателя одной СО не связаны с соответствующими величинами наблюдателя другой СО. Даже когда два наблюдателя из разных СО находятся в одной точке пространства-времени.

А при координатных преобразованиях эти самые 4-ускорение и 4-скорость наблюдателя выбранной СО само собой разумеется преобразуются как тензоры.

manul91 в сообщении #1068913 писал(а):

...Для вашего "понятия СО", интересно другое.
Впервых, что значит необходимость "взаимно-неподвижных наблюдателей" - этого ведь не всегда возможно устроить глобальным способом (когда g метрики существенно зависит от времени, и преобразованиями эту зависимость устранить нельзя)?
Или вы имеете ввиду, просто что у наблюдателей постоянные координаты? ; )

Понятие "взаимная неподвижность двух наблюдателей" имеет инвариантный смысл: относительная скорость двух наблюдателей равна нулю.

manul91 в сообщении #1068913 писал(а):

...
Далее по-вашему, а) часы "наблюдателей" из СО обязаны показывать собственное время или нет?; и если да, то б) обязаны ли часы быть синхронизированными глобально по любом контуре (в смысле поцепочно-эйнштейновским способом для дифференциально близких наблюдателей; как это описано в ЛЛ)

а) Нет. Наблюдатели (и их часы) вовсе не обязаны двигаться по геодезическим пространства-времени.
б) Часы никому ничего не обязаны. Необходимость синхронизации часов возникает когда два наблюдателя хотят сравнить свои показания. Синхронизация часов возможна по любому незамкнутому контуру. Синхронизация по замкнутому контуру возможна лишь при известных условиях на геометрию пространства-времени. Вообщем все по Ландау-Лифшицу.

[manul91]

VladTK в сообщении #1069022 писал(а):

В том-то и суть, что разные системы отсчета (СО) - это разные множества наблюдателей (т.е. разных геометрических объектов). А потому никаким образом 4-ускорение и 4-скорость наблюдателя одной СО не связаны с соответствующими величинами наблюдателя другой СО. Даже когда два наблюдателя из разных СО находятся в одной точке пространства-времени.
А при координатных преобразованиях эти самые 4-ускорение и 4-скорость наблюдателя выбранной СО само собой разумеется преобразуются как тензоры.

Ну и что?
Это по-человечески называется - на многообразии введены двое (или больше) разных тензорных (векторных) полей.
А не "я придумал тензор который в одной СО нулевой, а в другой - нет".

VladTK в сообщении #1069022 писал(а):

Понятие "взаимная неподвижность двух наблюдателей" имеет инвариантный смысл: относительная скорость двух наблюдателей равна нулю.

VlatTK - вопрос "взаимной неподвижности" остался по-прежнему невыясненым.
Я так понимаю, взаимнонеподвижные наблюдатели вашей СО - удалены (их мировые линии не совпадают и не пересекаются).
Что тогда значит "относительная скорость двух наблюдателей"?
Это в координатном смысле - разница пространственных координат приписанных к наблюдателям - не меняется?
Или, в каком-нибудь физическом смысле - например, "радарное расстояние" между любой пары наблюдателей неизменно с времени (для любого наблюдателя X, интервалы времени света туда-сюда X-Y-X к любым другим зафиксированным наблюдателем Y не меняются, по собственным часам X)?
Если второе - то в пространстве-времени общего случая кривизны, могут ухитриться оставаться взаимнонеподвижными максимум 4 наблюдателя (могу объяснить почему без использования координат). Статические/стационарные 4-многообразия где можно ввести сетку из неограниченного числа взаимно-неподвижных наблюдателей (как плоское ПВ, или ПВ Шварцшильда) - "редкие" исключения.

manul91 в сообщении #1069027 писал(а):

а) Нет. Наблюдатели (и их часы) вовсе не обязаны двигаться по геодезическим пространства-времени.

Я не спрашивал про необходимость наблюдателям (и их часам) двигаться по геодезическим....
Я спрашивал необходимо ли чтобы их часы показывали "собственное время" (равное пройденной 4-длины на отрезков соответной геодезической; возможно за константой пропорциональности единой для всех) - или нет.
Другими словами, должны ли часы наблюдателей быть одинаковыми - идти одинаково и равномерно (по отношению к стандартных цезиевых) если их совместить - или, им дозволяется быть разными и идти каждый своим произвольным способом?
Пример для часов не показывающих собственное время: берем часы тикающие раз в стандартную секунду, и другие часы втрое быстрее - тикающие три раза в стандартную секунду.
Теперь даем первые часы первому наблюдателю, вторые часы второму наблюдателю - и располагаем их в ИСО взаимно-неподвижно относно друг друга (сами они не обязаны быть инерциальными - пусть бегут как-нибудь в комнате, держась за обоих концов стержня). Формальные отсчеты тиков их часов численно описывают некую времевую координату общего вида (для событий происходящих на мировых линий наблюдателей). Показания (в смысле количества тиков) этих часов, вместе с этими наблюдателями - часть системы отсчета, или нет?

[manul91]

Тьфу, нужно исправить:
...Я спрашивал необходимо ли чтобы их часы показывали "собственное время" (равное пройденной 4-длины на отрезков соответной геодезической мировой; возможно за константой пропорциональности единой для всех) - или нет....

[epros]

manul91 в сообщении #1068913 писал(а):

Это вообще, математическая тривиальность (вне вообще контекста каких-либо координат) - при переходе к новых переменных величина определенного интеграла не меняется.

Похоже, что Вы сейчас путаетесь гораздо серьёзнее, чем я от Вас ожидал. Указанное мной выражение даст разные значения длины одной и той же окружности для вращающейся и для невращающейся карусели, в чём нетрудно убедиться прямым вычислением. В чём разница? Только в том, что при преобразовании координат $\varphi' = \varphi + \omega t$ соответствующим образом преобразуются компоненты метрики. То, что Вы думаете про замену переменных в интеграле, это вообще не в тему...

manul91 в сообщении #1068913 писал(а):

Я-то специально эксплицитно озвучил что в новых (непривязанных к телу) координат, вид (выражение, запись) элемента собственной длины $dl$ для данного тела изменится

Ещё раз: В задаче нет никакого "тела" (кроме разве что "тела отсчёта", которое подразумевается при выборе любой системы отсчёта). Рассчитывайте по указанной мной формуле длины чего угодно -- хоть неподвижного, хоть движущегося. Формулу при этом менять не надо. Система отсчёта определяется тем, как мы выберем координаты. Но (ещё раз!) формула -- не изменится. Изменится только значение интеграла, потому что при замене координат преобразуются компоненты метрики.

-- Вс ноя 01, 2015 11:21:00 --

VladTK в сообщении #1069022 писал(а):

Вы фактически сейчас сами опровергаете себя. Вы писали "Выбранные координаты однозначно определяют...", а оказывается что те же Шварцшильдовы координаты над горизонтом определяют одну СО, а под горизонтом другую. Т.е. ни о какой однозначности определения координатами СО речи идти не может.

Я нигде не сказал, что система отсчёта должна единственным образом покрывать всё многообразие. Разумеется, для координат Шварщшильда под и над гравитационным радиусом получатся разные (и не связанные друг с другом) системы отсчёта.

[manul91]

epros в сообщении #1069045 писал(а):

Указанное мной выражение даст разные значения длины одной и той же окружности для вращающейся и для невращающейся карусели, в чём нетрудно убедиться прямым вычислением. В чём разница? Только в том, что при преобразовании координат $\varphi' = \varphi + \omega t$ соответствующим образом преобразуются компоненты метрики.

Мне это и так ясно, нечего тратить слова на ветер - я именно это вам и говорил, несколько сообщений назад:

manul91 в сообщении #1068506 писал(а):

В вашем смысле "длины" в которой входит лоренцевское сокращение - это отношение будет всегда $2\pi$ хоть для вращающейся хоть нет - стоит только считать в системе координат ИСО где центр покоится (хотя и вращение имеет абсолютный смысл). И также хоть для вращающейся хоть нет в ИСО карусели - стоит только перейти к вращающейся СК чтобы отношение длины периферии к радиусу той же карусели ( хоть для вращающейся хоть нет), стало больше чем $2\pi$.
Верно?
Если так - то это просто скучно.

epros в сообщении #1069045 писал(а):

Похоже, что Вы сейчас путаетесь гораздо серьёзнее, чем я от Вас ожидал...... То, что Вы думаете про замену переменных в интеграле -- это вообще не в тему...

Замена переменных - "в тему"; и ни в чем я не путаюсь.
Просто почему-то вы не хотите осмыслить о чем я говорю, хотя по-моему я изложил предельно подробно и понятно.

epros в сообщении #1069045 писал(а):

Ещё раз: В задаче нет никакого "тела" (кроме разве что "тела отсчёта", которое подразумевается при выборе любой системы отсчёта).

Разумеется, в задаче есть вполне конкретное тело - именно та периферия/веревка/стержень и пр. чью собственную длину мы хотим мерять (и оно может не иметь ничего общего, с тела системы отсчета).
Простейший пример как два рубля - пусть у вас есть лабораторная система отсчета (доступ к какой-нибудь другой системе отсчета просто физически нет!) - и вы знаете как движется в ней стержень и все его частицы - равномерно прямолинейно со скорости v. Вы вообще никак не сможете прикинуть собственную длину данного стержня?

Далее, если якобы "другого тела в задачи нет" - то почему вы все время норовите нагодить свою систему отсчета к вращающейся карусели, чей длины периферии мы интересуемся?
"...при преобразовании координат $\varphi' = \varphi + \omega t$..." - зачем "преобразуете", если никакого другого тела в задачи нет?
Вот и вычисляйте длину периферии вращающейся карусели, в ИСО связанной с инерциальной системе отсчета где ее центр покоится - и по "вашем методе" получите отношение длины периферии к радиусу ровно $2\pi$.
И состояние вращения или нет карусели - совершенно не влияет на отношения длины периферии к радиусу $2\pi$, пока вы придерживаетесь одной и той же ИСО связанной с инерциальной системе отсчета где ее центр покоится используя ваш метод.
Верно?

[epros]

manul91, Вы только что опять повторили ошибочное:

manul91 в сообщении #1069062 писал(а):

это отношение будет всегда $2\pi$ хоть для вращающейся хоть нет

и продолжаете удивляться, почему я Вам возражаю...

Ещё раз предлагаю прямым вычислением убедиться в том, что это не так:
1) Взять в лабораторной ИСО цилиндрические координаты $(t, r, \varphi, z)$, записать в них метрику, посчитать по указанной мной формуле длину окружности $t=t_0, r=r_0, z=z_0$, убедиться в том, что отношение этой длины к $r_0$ равно $2\pi$.
2) Выполнить преобразование координат $\varphi' = \varphi + \omega t$ (т.е. перейти в координаты, связанные с СО, вращающейся с угловой скоростью $\omega$), посчитать по указанной мной формуле длину окружности $t=t_0, r=r_0, z=z_0$, убедиться в том, что отношение этой длины к $r_0$ не равно $2\pi$.

manul91 в сообщении #1069062 писал(а):

Разумеется, в задаче есть вполне конкретное тело - именно та периферия/веревка/стержень и пр. чью собственную длину мы хотим мерять (и оно может не иметь ничего общего, с тела системы отсчета).

Просто примите,что по условиям задачи никаких верёвок, стержней и проч. "чью собственную длину мы хотим измерить" не задано. Речь была про систему отсчёта, связанную с каруселью, по коей причине карусель мы именуем "телом отсчёта" (как бы кто против этого ни возражал). Можете считать оную карусель объектом совершенно воображаемым. Вот так: Вы бегаете по кругу и воображаете, что катаетесь на карусели.

manul91 в сообщении #1069062 писал(а):

Вот и вычисляйте длину периферии вращающейся карусели, в ИСО связанной с инерциальной системе отсчета где ее центр покоится - и по "вашем методе" получите отношение длины периферии к радиусу ровно $2\pi$.

Если задача заключается в определении расстояний относительно системы отсчёта, связанной с вращающейся каруселью, то нам совершенно не нужно переходить в "ИСО, где её центр покоится."

[Blancke_K]

schekn в сообщении #1068805 писал(а):

Someone в сообщении #1068004 писал(а):

Не странно. Внешняя и внутренняя карты у Шварцшильда между собой никак не связаны, так что какой там может быть закон сохранения…

Ну я примерно это хотел сказать, но более обще. Введя физическую величину в одной координатной системе, мы можем не получить ее при другой конфигурации атласа, когда появляется две или три карты. Решив или корректно сформулировав задачу в одной координатной системе , мы не решим ее в другой, особенно , когда задача затрагивает сразу несколько карт.

Если Вы формулируете это утверждение в математически строгих терминах и дадите определение "физической величины", я объясню Вам, о какой теории Вы говорите и почему это не ОТО.
А то Ваши сообщения больше похожи на речь лидера коммунистической партии, чем разговор о науке)

-- 01.11.2015, 13:30 --

Ну или давайте так. Есть у нас в Лагранжевой формулировке действие Гильберта $\int_{M}d^{4}x\sqrt{-g}\mathcal{R}$, условие стационарности которого приводит к уравнениям Эйнштейна.
Что Вы называете решениями этих уравнений? Каковы свойства симметрии этих решений?
На математическом языке, пожалуйста. Впрочем, так как Вы дадите неправильный ответ, то лучше поставить так:
Что Вы называете решениями этих уравнений и каковы их свойства симметрии в теории, которую Вы защищаете/предлагаете?

[schekn]

Someone в сообщении #1068973 писал(а):

Да запросто. Там, где была буква "$\tau$", пишем "$R$", и наоборот. Получится в точности то же самое, что было, только в других обозначениях.

Справедливо, но я против именно получения решения "с потолка", как тут предлагают некоторые. Все-таки собственное время это показания часов в системе отсчета, связанной с часами и буква ее обозначающая должна стоять в метрике на определенном месте.
Но вы упустили другие мои рассуждения на данную тему про систему отсчета. Мы рассматриваем одну и ту же задачу - я ее долго проверял и нудно расписывал как-то. Сначала рассматриваем коллапс сф. вещества с нулевым давлением в координатах Шварцшильда , где в вакууме и внутри вещества одна и та же координатная система. Оба решения сшиты непрерывно на границе по всем 4-м компонентам. Полученный объект вполне себе наблюдаем и без всяких сингулярностей. Затем ту же самую задачу при том же ТЭИ (записанного уже в других координатах), при тех же начальных условиях решают в синхронных координатах - то есть находят внутреннее решение и внешнее в той же синхронной координатной системе, затем сшивают на границе. Радиальная компонента метрики не сшивается, но это обходят , изменяя процедуру сшивки (вроде ничего криминального). А вот этот уже полученный объект имеет сингулярное состояние за конечное собственное время. Не правда ли странно? То есть меняя систему отсчета ( это я назвал смена координатной системы по типу 2) мы получаем, решая ту же задачу, другой объект с другими свойствами. Такая смена системы отсчета никак не может называться "калибровкой". И тут дело в том, что добавляя к основным уравнениям другие 4 условия на метрические компоненты, "меняется конфигурация многообразия" - появляется еще одна область, которая невидима для шварцшильдовского наблюдателя. Поэтому данная модель, хотя и находится в рамках общепринятой теории, требует экспериментальной проверки.
Именно это я и хотел сказать, когда разделял координатные преобразования на 2 типа.

[Blancke_K]

schekn
По-моему, Вы не ответили на мой вопрос, господин болтун философ.

[epros]

schekn в сообщении #1069113 писал(а):

Все-таки собственное время это показания часов в системе отсчета, связанной с часами и буква ее обозначающая должна стоять в метрике на определенном месте.

Дело в том, что здесь вообще нет буквы, обозначающей показания каких-либо часов.

[Munin]

Blancke_K в сообщении #1069092 писал(а):

А то Ваши сообщения больше похожи на речь лидера коммунистической партии, чем разговор о науке)

Дык ещё бы! :-)

[Blancke_K]

Munin
Это правда забавно, но все же, пусть ответит. Мне кажется, я знаю, что за велосипед он пытается изобрести.

[schekn]

Blancke_K в сообщении #1069129 писал(а):

По-моему, Вы не ответили на мой вопрос, господин болтун философ.

С человеком, который начал тему с хамства и переход на личности, и еще зачем-то ком-партию приплел, я вести разговор не буду, тем более это не относится к теме. Откройте свою тему и говорите сами с собой.

-- 01.11.2015, 14:34 --

epros в сообщении #1069134 писал(а):

Дело в том, что здесь вообще нет буквы, обозначающей показания каких-либо часов.

Вообще-то я Вам подробно ответил на ваши вопросы. А вы придрались непонятно к чему.

[Blancke_K]

schekn
Не хватает смелости поговорить с работающими физиками, да?)
Я уже заметил это по Вашему общению в этом разделе.
А к теме это относится непосредственно, потому что строгих определений за все 30 страниц от Вас ни одного не поступило. Тем временем, Вы явно говорите не о гравитации, а о другой теории. О какой - станет понятно из ответов на мои вопросы (я догадываюсь)