Топология в множестве натуральных чисел

[oniksofers]

В множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$ , окрестностью числа $n\in\mathbb{N}$ будем называть арифметическую прогрессию с разностью $d$, взаимно простой с $n$. Нужно определить хаусдорфово это пространство или нет. Основная моя проблема в том, что я не могу для себя понять, чем является окрестность числа тут, ведь арифметическая прогрессия - вещь, так сказать бесконечная и это заставляет меня тупить, так что если кто-нибудь помог бы мне разобраться с окрестностью для такого топологического пространства, я был бы очень признателен.

[provincialka]

И что ж, что бесконечная? Можно подумать, что интервал (как окрестность на вещественной прямой) -- конечное множество!

Или вы имеет в виду "неограниченная"?

[oniksofers]

provincialka в сообщении #1068953 писал(а):

И что ж, что бесконечная? Можно подумать, что интервал (как окрестность на вещественной прямой) -- конечное множество!

Или вы имеет в виду "неограниченная"?

Неограниченная. То есть возьмем к примеру число 1, тогда его окрестностью будет множество типа $a_{0},a_{0}+1, ...$. И тут вопрос, что делать с $a_{0}$, разное ли оно для разных чисел и вообще, указанное мной множество является ли тем, что подразумевалось?

[Brukvalub]

oniksofers в сообщении #1068952 писал(а):

В множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$ , окрестностью числа $n\in\mathbb{N}$ будем называть арифметическую прогрессию с разностью $d$, взаимно простой с $n$.

А такое определение окрестности порождает топологию?

[oniksofers]

Brukvalub в сообщении #1068958 писал(а):

oniksofers в сообщении #1068952 писал(а):

В множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$ , окрестностью числа $n\in\mathbb{N}$ будем называть арифметическую прогрессию с разностью $d$, взаимно простой с $n$.

А такое определение окрестности порождает топологию?

Автор утверждает, что да.

[provincialka]

oniksofers в сообщении #1068955 писал(а):

указанное мной множество является ли тем, что подразумевалось

А какое "подразумевалось"? Сформулируйте-ка свойство хаусдорфовости в общем виде и применительно к вашей топологии... Чтобы нам не "догадываться", что вы имели в виду.

[Brukvalub]

oniksofers в сообщении #1068959 писал(а):

Автор утверждает, что да.

А кто это такой: "автор"?

[Someone]

oniksofers в сообщении #1068955 писал(а):

То есть возьмем к примеру число 1, тогда его окрестностью будет множество типа $a_{0},a_{0}+1, ...$.

Неверно.

[oniksofers]

provincialka в сообщении #1068960 писал(а):

oniksofers в сообщении #1068955 писал(а):

указанное мной множество является ли тем, что подразумевалось

А какое "подразумевалось"? Сформулируйте-ка свойство хаусдорфовости в общем виде и применительно к вашей топологии... Чтобы нам не "догадываться", что вы имели в виду.

Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если в нем выполнена аксиома Хаусдорфа: любые две различные точки пространства обладают обладают непересекающимися окрестностями. К примеру возьмем точки $k$ и $z$, окрестность первой будет множество вида $a_{0},a_{0}+d_{1},...$, окрестность второй $b_{0},b_{0}+d_{2},...$, где $d_{1}$ взаимнопростое с $k$, а $d_{2}$ взаимнопростое с $z$. Если $a_{0}$ и $b_{0}$ неравны друг другу, то их пересение даст пустой множество, но я не уверен должны ли быть равными или нет.

Brukvalub писал(а):

А кто это такой: "автор"?

Зорич

Someone писал(а):

Неверно.

Тогда я теряюсь в догадках, что тут подразумевается под окрестностью.

[provincialka]

Да, кстати. согласна с Brukvalub, что топология определена как-то странно... Может, подразумевались и "конечные" прогрессии? Впрочем, если начать "пересекать" пары окрестностей, можно дойти и до дискретной топологии... Или это и подразумевалось?

[oniksofers]

provincialka в сообщении #1068966 писал(а):

Да, кстати. согласна с Brukvalub, что топология определена как-то странно... Может, подразумевались и "конечные" прогрессии? Впрочем, если начать "пересекать" пары окрестностей, можно дойти и до дискретной топологии... Или это и подразумевалось?

Больших никаких комментарием в этом учебнике по этому поводу нет.

[provincialka]

oniksofers в сообщении #1068965 писал(а):

К примеру возьмем точки $k$ и $z$, окрестность первой будет множество вида $a_{0},a_{0}+d_{1},...$, окрестность второй $b_{0},b_{0}+d_{2},...$, где $d_{1}$ взаимнопростое с $k$, а $d_{2}$ взаимнопростое с $z$.

А где видно, что это окрестности именно $k$ и $z$? разве элемент не входит в свою окрестность?

Я, например, поняла так, что строятся арифметические прогрессии, содержащие саму точку. Например, для $k$ окрестностью будет $\{k+ld\}$, где $d$ взаимно просто с $k$

[Someone]

oniksofers в сообщении #1068965 писал(а):

Тогда я теряюсь в догадках, что тут подразумевается под окрестностью.

Вы же сами написали:

oniksofers в сообщении #1068952 писал(а):

окрестностью числа $n\in\mathbb{N}$ будем называть арифметическую прогрессию с разностью $d$, взаимно простой с $n$.

Надо, конечно, добавить: "содержащую число $n$". Или, может быть, даже "начинающуюся с числа $n$".
А последовательность, начинающаяся числами $1,a_0,a_0+1$, арифметической прогрессией не является, за исключением случая $a_0=2$. Но такая прогрессия содержит весь натуральный ряд.

[provincialka]

Да, вроде с топологией все нормально... Осталось проверить отделимость

[oniksofers]

provincialka в сообщении #1068968 писал(а):

oniksofers в сообщении #1068965 писал(а):

К примеру возьмем точки $k$ и $z$, окрестность первой будет множество вида $a_{0},a_{0}+d_{1},...$, окрестность второй $b_{0},b_{0}+d_{2},...$, где $d_{1}$ взаимнопростое с $k$, а $d_{2}$ взаимнопростое с $z$.

А где видно, что это окрестности именно $k$ и $z$? разве элемент не входит в свою окрестность?

Я, например, поняла так, что строятся арифметические прогрессии, содержащие саму точку. Например, для $k$ окрестностью будет $\{k+ld\}$, где $d$ взаимно просто с $k$

Действительно, то есть окрестность элемента в таком пространстве, это как вы написали $\{k+ld\}$, где $l=0,1,2,...$. Но, как теперь понять для разных чисел будут ли такие окрестности пересекаться? На первый взгляд, кажется, что можно выбрать такое $d$, что не будут.

Someone писал(а):

Надо, конечно, добавить: "содержащую число $n$". Или, может быть, даже "начинающуюся с числа $n$".

Именно, этот простой факт, почему-то не оказался у меня в голове.