Топология в множестве натуральных чисел

[provincialka]

oniksofers в сообщении #1068972 писал(а):

$\{k+ld\}$, где $l=0,1,2,...$.

Ну, не факт, что $l$ обязательно неотрицательно... Впрочем, это и не важно..

oniksofers в сообщении #1068972 писал(а):

На первый взгляд, кажется, что можно выбрать такое $d$, что не будут.

А вам надо чтобы пересекались или не пересекались? Вы бы сформулировали в терминах $k$ и $d$, что, собственно, вам нужно доказать....

[oniksofers]

provincialka в сообщении #1068975 писал(а):

А вам надо чтобы пересекались или не пересекались? Вы бы сформулировали в терминах $k$ и $d$, что, собственно, вам нужно доказать....

Нужно доказать, что для двух чисел $k$ и $z$ неравных друг другу, можно подобрать такие $d_{1}$ и $d_{2}$ взаимнопростые с $k$ и $z$, что соответстующие окрестности этих элементов будут иметь пустое пересечение. Но вот как доказать, я что-то не вижу.

[provincialka]

Пока вы не записали свое утверждение через соотв. прогрессии. И, да, для доказательства желательно знать кое-что из теории чисел, про линейные диофантовы уравнения (впрочем, может и нет, я до конца еще не додумала)

[oniksofers]

provincialka в сообщении #1068978 писал(а):

Пока вы не записали свое утверждение через соотв. прогрессии. И, да, для доказательства желательно знать кое-что из теории чисел, про линейные диофантовы уравнения (впрочем, может и нет, я до конца еще не додумала)

В общем нужно доказать, что для двух $k$ и $z$, $k\ne z$, найдутся такие $d_{1}$, $d_{2}$ взаимнопростые с $k$ и $z$, такие что уравнение $(k-z)+l_{1}d_{1}-l_{2}d_{2}=0$ не имеет решение для любых натуральных $l_{1},l_{2}$. Или что вы подразумевали под записать через соответстующие прогрессии?

[provincialka]

Именно это! Только я бы переписала в виде $l_{1}d_{1}-l_{2}d_{2}=z - k$ .
Вот теперь не знаю, как подсказать вам, не выдавая окончательного решения...
Подумайте, что "выгоднее" -- брать разные $d_1,d_2$ или одинаковые?

-- 01.11.2015, 01:49 --

oniksofers в сообщении #1068982 писал(а):

не имеет решение для любых натуральных $l_{1},l_{2}$.

Нет, это выражение неудачное... при чем тут "для любых $l_{1},l_{2}$"? Они и являются "решением", которого не существует...
Ну, это придирки к аккуратности выражений...

[oniksofers]

provincialka в сообщении #1068983 писал(а):

Именно это! Только я бы переписала в виде $l_{1}d_{1}-l_{2}d_{2}=z - k$ .
Вот теперь не знаю, как подсказать вам, не выдавая окончательного решения...
Подумайте, что "выгоднее" -- брать разные $d_1,d_2$ или одинаковые?

-- 01.11.2015, 01:49 --

oniksofers в сообщении #1068982 писал(а):

не имеет решение для любых натуральных $l_{1},l_{2}$.

Нет, это выражение неудачное... при чем тут "для любых $l_{1},l_{2}$"? Они и являются "решением", которого не существует...
Ну, это придирки к аккуратности выражений...

У меня есть версия, что если $d_{1}=d_{2}=d$, то наше уравнение можно переписать как: $l_{1}-l_{2}=\frac{z}{d} -\frac{k}{d}$. Слева мы имеем число, которое всегда целое, справа же, отнюдь, мы получаем число дробное. Не знаю насколько это утверждение тянет на правдоподобность.

[provincialka]

Очень похоже. Надо только подобрать подходящее $d$. Каким условиям оно должно удовлетворять?

-- 01.11.2015, 02:15 --

oniksofers
Не цитируйте посты целиком. Выделите нужный кусок и нажмите кнопку "Вставка"

[oniksofers]

provincialka в сообщении #1068986 писал(а):

Очень похоже. Надо только подобрать подходящее $d$. Каким условиям оно должно удовлетворять?

-- 01.11.2015, 02:15 --

Признаться, кроме изначального условия, что $d$ должно быть взаимо простым как с $z$ так и с $k$, ничего в голову не приходит.

[provincialka]

Ну да! А как записать условие, что правая часть, как вы говорите, "отнюдь"?
Дело в том, что здесь вообще можно указать конкретное $d$ (ну, выраженное через $k$ и $z$)

[oniksofers]

provincialka в сообщении #1068990 писал(а):

Ну да! А как записать условие, что правая часть, как вы говорите, "отнюдь"?

Как записать, что число дробное? Этот вопрос ставит меня в тупик.

provincialka в сообщении #1068990 писал(а):

Дело в том, что здесь вообще можно указать конкретное $d$ (ну, выраженное через $k$ и $z$)

Я так понимаю, это делается точно не использованием уравнения с $l_{1},l_{2}$

[provincialka]

oniksofers в сообщении #1068992 писал(а):

Как записать, что число дробное? Этот вопрос ставит меня в тупик.

Почему же? Так и записать. Что $\frac{k-z}{d}$ "дробное". Только нет такого термина в математике. Что у вас он означает?

[oniksofers]

provincialka в сообщении #1068993 писал(а):

Почему же? Так и записать. Что $\frac{k-z}{d}$ "дробное". Только нет такого термина в математике. Что у вас он означает?

$\frac{k-z}{d}=q+\frac{r}{d}$, где $q$ --- целое, а $r$ остаток от деления, который $0<p<d$.

[provincialka]

Да нет, зачем так сложно! У вас ведь слева стоит целое число, а вы хотите, чтобы равенство не выполнялось. Значит, справа должно стоять не целое число. Это и понимается в данном случае как "дробное". То есть просто $k-z$ не делится на $d$.
Вот теперь "соберите в кучку" все, что знаете о $d$. И покажите, что такое существует (проще всего привести пример).

[oniksofers]

provincialka в сообщении #1068996 писал(а):

Вот теперь "соберите в кучку" все, что знаете о $d$. И покажите, что такое существует (проще всего привести пример).

Пусть $k=6$, $z=3$, $d=11$, имеем $l_{1}-l_{2}=\frac{3}{11}$. Чего быть при целых $l$ не может.

[provincialka]

Нет, не надо конкретных $k,z$. Приведите какое-нибудь $d$ для произвольных $k,z$ (скажем, как функцию от них). Ну, или хотя бы опишите, каким условиям оно удовлетворяет.
И потом неплохо бы записать все решение в "приличном" виде.
Впрочем, поздно, я отключаюсь. Если напишете, завтра проверю...