Топология в множестве натуральных чисел

[oniksofers]

provincialka в сообщении #1068999 писал(а):

Нет, не надо конкретных $k,z$. Приведите какое-нибудь $d$ для произвольных $k,z$ (скажем, как функцию от них). Ну, или хотя бы опишите, каким условиям оно удовлетворяет.

Попробовав всякие дурацкие варианты типа $d=z+k$ и $d=zk$, которые не срабатывают ибо нет гарантий, что в получившихся $d$ не будет делителей $k$ или $z$. Я прихожу к мнению, что $d$ как функция $k,z$ должна быть функцией при вычислении которой, ее результат не должен содержать общих делителей с $k$ и $z$, но придумать такую функцию мне пока что не удалось.

[provincialka]

Особенно умилил вариант $d=kz$ как число, не имеющее общих делителей с $k$ и $z$
А ведь вы были в шаге от победы! Попробуйте догадаться сами не заглядывая в оффтоп

(Оффтоп)

например, $d=kz+1$

Напишите теперь все решение с начала, чтобы проверить, правильно ли вы выражаете математические мысли.

[oniksofers]

С утра мои мысли совпали с вашим оффтопом, так как вчера ночью мне оказывается тоже тяжело было.

provincialka в сообщении #1069019 писал(а):

Напишите теперь все решение с начала, чтобы проверить, правильно ли вы выражаете математические мысли.

Для того, чтобы доказать хаусдорфость нашего пространства нам требуется показать, что для любых двух $z\in\mathbb{N},k\in\mathbb{N},z\ne k$ существуют непересекающиеся окрестности. Окрестности наших элементов в данной топологии будут выглядеть следующим образом: $U_{d_{1}}(k)=\{k+d_{1}l_{1},l_{1}=0,1,2,...\},U_{d_{2}}(z)=\{z+d_{2}l_{2},l_{2}=0,1,2,...\}$ - это множество элементов арифметических прогреcсий, содержащих рассматриваемые элементы $z,k$,где $d_{1}\in\mathbb{N},d_{2}\in\mathbb{N}$ взаимно простые с $k,z$. Условие хаусдофровости пространстве доставляет нам следующие условие: $U_{d_{1}}(k)\cap U_{d_{2}}(z)=\varnothing$ для некоторых $d_{1},d_{2}$. Переписывая это условие через элементы наших окрестностей получаем следующее: $(k-z)\ne l_{2}d_{2}-l_{1}d_{1}$. Пусть теперь, $d_{1}=d_{2}=d$, взаимно простое как с $z$ так и с $k$. Тогда имеем следующее: $\frac{k-z}{d}\ne l_{2}-l_{1}$, что очевидно выполняется, так как слева стоит нецелое число, а справа целое. Осталось предъявить $d=d(k,z)$, обладающее нужным свойством, в качестве такого можно взять $d=kz+1$.

[provincialka]

oniksofers в сообщении #1069203 писал(а):

Тогда имеем следующее: $\frac{k-z}{d}\ne l_{2}-l_{1}$, что очевидно выполняется,

Не совсем верно. Для произвольного $d$, даже взаимнопростого с $k$ и с $z$ дробь может и сократиться. Например, $k = 17, z=21, d = 2$.
Я же просила вас выписать все условия на $d$. Они таковы: $d$ взаимнопросто с $k$ и $z$ и разность $k-z$ не делится на $d$. Не думайте, что если число записано в виде дроби $\frac{k-z}{d}$, то оно уже тем самым не целое!

А вот число $d=kz+1$ удовлетворяет всем условиям, так как оно, в частности, больше $|k-z|$.

Я бы написала решение так.
Покажем, что топология хаусдорфова. Для этого выберем произвольные $k,m \in \mathbb N, k\ne m$ и найдем их непересекающиеся окрестности. Выберем $d=km+1$. Это число взаимно просто как с $k$, так и с $m$. Действительно, если, например, $p$ -- общий делитель $d$ и $k$, то $p$ является также делителем числа $d-m\cdot k =1$.
Могут ли окрестности $\{k+ld\}$ и $\{m+ld\}$ пересекаться? Общий элемент должен иметь вид $k+l_1d=m+l_2d$, откуда $k-m=(l_1-l_2)d$. Последнее равенство выполняться не может, так как $d > |k-m|$, так что левая часть не делится на $d$.

-- 01.11.2015, 18:24 --

Заметьте, что наши промежуточные рассуждения про то, какие $d_1,d_2$ нам подходят, совершенно не обязательно включать в окончательное решение. Это наше "внутреннее дело"

[oniksofers]

Понял вас, спасибо за помощь!