Как рождается математика

[Munin]

Обсуждалось много раз. Например,
«О возникновении разных мат. теорий и прочее»
«Чем вообще занимаются современные математики?»
«Предмет и метод современной математики»

-- 31.10.2015 17:45:08 --

«Какое место в физике занимает геометрия?»

[arseniiv]

(Оффтоп)

provincialka
Это я понял, потому оставил кавычки. А если и без — я тоже не верю в гениальность с первого взгляда, а особых усилий в соответствующем направлении прикладывать стремления нет. Может, к старости образумлюсь и буду навёрстывать или впустую вздыхать о нереализованном, будущее загадочно.

Anton_Peplov, прошу прощения за оффтоп.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1068736 писал(а):

Обсуждалось много раз.

Спасибо!
Пожалуй, вынесу сюда несколько интересных цитат, чтобы не пропали.

Xaositect в сообщении #908309 писал(а):

Если [формальную систему] от балды генерировать, лень будет доказывать кучу элементарных теорем прежде, чем дойдем до чего-то нетривиального.
Лучше взять уже известную, подкрутить или обобщить. Тогда корпус уже известных теорем и доказательств будет доступен для того, чтобы посмотреть, что меняется, что остается, что нового получается.

И в топике «О возникновении разных мат. теорий и прочее» это все, что мне хочется сохранить.

Из топика «Чем вообще занимаются современные математики?»:

Sonic86 в сообщении #708729 писал(а):

Есть 2 источника полезности: разные реальные факторы и рекурсивность.
Первое: есть куча разных источников, прежде всего практика (физика (самый важный источник, наверное)), производство, военное дело, Computer Science и еще многое понемногу. Есть также необходимость поддерживать маткультуру среди людей - преподавание. Вообще, математик всегда должен в принципе мочь понять, чем занимается прикладник. Есть и субъективные источники: интерес, желание познать, желание решить проблему.
Второе: если некая маттеория $T_1$ полезна и маттеория $T_2$ как-то связана с $T_1$, то $T_2$ полезна (возможно, полезна в меньшей степени). Связи могут быть самые разнообразные и неожиданные: желание аксиоматизации, обобщения, желание решить все задачи в рамках данной теории, уточнение понятий и их связей, выделение понятий и исследование их, упрощение формулировок, формализация, поиск общего языка и еще всякая всячина - все это друг на друга опирается и сильно отрывается от реальности, но потенциально может возвращаться в реальность (исторический пример: арифметика вычетов и простые числа изучались ради интереса, а потом, спустя 100 лет, были применены в криптографии. Или ВТФ: простая формулировка, но при попытке ее решить были придуманы несколько довольно сложных теорий, которые в конце-концов где-то в математике тоже применяются. Или теория групп).

А еще в этом топике есть про карты математики и (спасибо Munin) теоретической физики. Но о том, как рождаются в математике новые теории, там нет (по крайней мере, ничего такого, чего бы не было здесь).

Топик «Предмет и метод современной математики» интересен обсуждением теории категорий, но по заявленной мною теме там ничего нет.

[Munin]

Вот это по теме:
С. Вольфрам. Вычисляемые знания и будущее чистой математики

[Anton_Peplov]

В топике «Какое место в физике занимает геометрия?» мне понравилось (не в связи с моей темой, а вообще):

Munin в сообщении #628211 писал(а):

Все математические теории неформально прибегают к помощи одной из двух-трёх идей, или интуиций: идея комбинации символов, идея формы, идея движения. Наиболее чётко они воплощены в элементарных разделах, соответственно, алгебры, геометрии и анализа.

Вообще же эта тема интересна обсуждением того, что есть, а что не есть геометрия. Про это также была отдельная довольно обширная тема.

Просмотр рекомендованных топиков закончен. Не согласен с тем, что мое стартовое сообщение следовало разместить в каком-то из них:)

[Munin]

Ну, эту цитату надо цитировать вместе с

Munin в сообщении #628211 писал(а):

Я в своё время пытался разобраться, но полной ясности не достиг. Вырисовывается такая картина...

То есть, это imho, imhhho, imvvho.

Anton_Peplov в сообщении #1068860 писал(а):

Не согласен с тем, что мое стартовое сообщение следовало разместить в каком-то из них:)

А этого я и не говорил.

-- 31.10.2015 21:24:30 --

Больше всего я хотел намекнуть, что там, где вы говорите "перекрёстное опыление", лучше говорить про заимствование предмета, метода, задач, подходов, идей, и применение их к объектам, теориям, задачам и т. п. - то есть, конкретнее.

[мат-ламер]

Brukvalub в сообщении #1068640 писал(а):

Алгебраическая геометрия, наоборот, возникла тогда, когда алгебраисты задались вопросами типа: как описать множество нулей алгебраических многочленов от многих переменных и потянулись в решении подобных вопросов поближе к огоньку геометрии.

И когда возникла алгебраическая геометрия? Диофант Александрийский занимался изучением диофантовых уравнений с помощью геометрических методов. Можно ли его считать основателем сей науки?

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1068863 писал(а):

Больше всего я хотел намекнуть, что там, где вы говорите "перекрёстное опыление", лучше говорить про заимствование предмета, метода, задач, подходов, идей, и применение их к объектам, теориям, задачам и т. п. - то есть, конкретнее.

Ну да, я заменил длинное перечисление краткой метафорой, подумав, что в ней все понятно. А если вдруг кому-то непонятно - теперь для него есть Ваше разъяснение:)

мат-ламер в сообщении #1068910 писал(а):

И когда возникла алгебраическая геометрия?

Господа, только не надо спорить об этом здесь на несколько страниц, хорошо? Здесь это оффтоп. Любой желающий может создать отдельную тему "Что такое алгебраическая геометрия и когда она возникла" и всласть позаниматься там деталями истории математики.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #1068910 писал(а):

И когда возникла алгебраическая геометрия?

На мой взгляд, алгебраическая геометрия в современном виде, о котором я и говорил выше, поскольку в наше время этим термином называют устоявшийся круг понятий, возникла в работах Д. Гильберта, иначе мы будем вынуждены признать, что Иван Грозный первым придумал рентген, когда кричал боярам: "я вас, обманщиков, насквозь вижу!"

[arseniiv]

del

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1068614 писал(а):

Также приглашаю добавить к моей классификации пункты, которые мне самому в голову не пришли.

Я бы на верхний уровень иерархии всех этих пунктов поставил два основных в качестве сути и мотивации научного познания:
1. Решение различных задач (добыча новых знаний).
2. Структурирование знаний.
Первое создаёт почву для второго, а второе, в свою очередь, создаёт простор для постановки новых задач. Такая вот нехитрая спираль, почти как у классиков.

Высоцкий про диалектиков писал(а):

Я думаю, ученые наврали,
Прокол у них в теории, порез:
Развитие идет не по спирали,
А вкривь и вкось, вразнос, наперерез.

[Anton_Peplov]

Ну это классификация по другому признаку:)

[grizzly]

Мне Ваш признак не совсем понятен. Если бы Вы выделили только первые 3 пункта (индукция, дедукция и гибридизация), наметился бы какой-то признак. А следующие два пункта это как и у меня -- задачи (и, имхо, к задачам по основаниям математики отношение сейчас примерно такое же, как к любым другим -- идёт будничная работа профильных специалистов).

По п.6 самый яркий и относительно свежий исторический пример -- гамильтоновы кватернионы. Тогда все искали аналог комплексных чисел для троек примерно из этих соображений -- найдём какую-то фигню, наверняка она где-то пригодится. Этот пример я отношу к отголоскам "алхимической" парадигмы познания -- сейчас она не особенно в чести.

Подозреваю, что примерно все математические открытия, которые можно уместить в твиттер-формат уже были сделаны. Если бы Мотидзуки свои теории развивал не при успешном доказательстве abc-гипотезы, а в качестве "полёта фантазии" -- вдруг пригодится? Думаю, их популярность стала бы ещё меньше.

[Munin]

grizzly в сообщении #1069523 писал(а):

Этот пример я отношу к отголоскам "алхимической" парадигмы познания -- сейчас она не особенно в чести.

Можно подробнее про "алхимическую парадигму"?

grizzly в сообщении #1069523 писал(а):

Подозреваю, что примерно все математические открытия, которые можно уместить в твиттер-формат уже были сделаны.

Вряд ли. Перед Гротендиком можно было сказать то же самое...

[grizzly]

Munin в сообщении #1069570 писал(а):

Вряд ли. Перед Гротендиком можно было сказать то же самое...

Я не знаком с его достижениями настолько, чтобы аргументированно возражать. Если его достижения базируются на внушительном пласте предшествующей теории (или большей частью относятся к обозначенному мной пункту "структурирование знаний"), то это не совсем то же.

Munin в сообщении #1069570 писал(а):

Можно подробнее про "алхимическую парадигму"?

В данном случае это было метафорическое сравнение. Алхимики наблюдали за некоторыми химическими реакциями и пытались целенаправленно найти полезные (хитроумно объясняя природу самих реакций). Подобная мотивация была и в случае поисков обобщения чисел: комплексные числа оказались полезными и приятными в различных интерпретациях и это побудило поиск дальнейшего обобщения понятия числа в этом направлении. Тогда это было на передовой математики и подвело отличную базу знаний для последующего "структурирования". А лично для Гамильтона осталось идеей фикс на всю жизнь (что, впрочем, не помешало его успешной работе).

Я не думаю, что сегодня передовая математики могла бы пойти по пути такого вот поиска а-ля "полёт фантазии".