Какое место в физике занимает геометрия?

[longstreet]

Действительно ли геометрия является универсальным языком физики? Утверждения такого толка встречаю очень часто. Например:

Арнольд в предисловии к книге Атьи "Геометрия и физика узлов" писал(а):

Фундаментальные физические законы просто описываются в чисто геометрических терминах.
...
Всё развитие теоретической физики убедительно показало, что только последовательная геометризация делает обозримым всё многообразие явлений. Достижения Ньютона и Гамильтона, Максвелла и Гиббса, Эйнштейна и Дирака, Фейнмана и Янга доставляют многочисленные и хорошо известные примеры плодотворности геометрических концепций в физике.

В то же время я не очень понимаю, что подразумевается под "геометрией". Насколько я знаю, в современной математике (следуя Ф. Клейну) различные геометрии изучаются как различные группы преобразований. То есть, геометрии изучаются алгебраически. Например:

Дьедонне в введении к своей книге "Линейная алгебра и элементарная геометрия" писал(а):

Начиная примерно с "Эрлангенской программы" Ф. Клейна стало ясно, что под этим конгламератом {речь идёт, в частности, о аналитической геометрии, тригонометрии, проективной геометрии, конформной геометрии, неевклидовой геометрии} "наук" прошедших времён скрывается одна-единственная дисциплина $-$ линейная алгебра современной математики.

У меня какая-то каша в голове, не понимаю как всё это стыкуются. Я, конечно, понимаю, что Дьедонне и Арнольд придерживались различных взглядов на математику... Но вот, например, уже из Бурбаки:

Бурбаки писал(а):

Таким образом, классическая геометрия переросла себя и из живой независимой науки превратилась в универсальный язык всей современной математики, исключительно гибкий и удобный.

-- 07.10.2012, 22:49 --

Постараюсь сформулировать вопросы:
1) Правомерно ли считать, что именно геометрия является универсальным языком физики?
2) Что называется современным геометрическим языком? (Что есть современная геометрия?)
3) Как связаны топология и геометрия? (С одной стороны, вроде бы топология - часть геометрии. С другой - такая же отличная от геометрии область, как и алгебра, например.) В частности, является ли топология геометрией с точки зрения группового подхода?

[Munin]

longstreet в сообщении #628155 писал(а):

Действительно ли геометрия является универсальным языком физики?

А хрен его знает. Пока получается, надо трясти. На протяжении 20 века получалось неплохо, и очень много.

longstreet в сообщении #628155 писал(а):

В то же время я не очень понимаю, что подразумевается под "геометрией". Насколько я знаю, в современной математике (следуя Ф. Клейну) различные геометрии изучаются как различные группы преобразований. То есть, геометрии изучаются алгебраически.

Нет. Не совсем. В современной математике разные её ветви переплелись очень плотно, так что...
Я бы сказал так. То, что геометрия рассматривается в тесной связи с группами преобразований, не означает, что она изучается алгебраически. К ней применяется алгебраический объект, но не говорится, что к ней применяется алгебраический метод. С методами по-разному: в одних случаях они используются характерные для геометрии, в других - характерные для алгебры.

longstreet в сообщении #628155 писал(а):

Например:

Дьедонне в введении к своей книге "Линейная алгебра и элементарная геометрия" писал(а):

Начиная примерно с "Эрлангенской программы" Ф. Клейна стало ясно, что под этим конгламератом {речь идёт, в частности, о аналитической геометрии, тригонометрии, проективной геометрии, конформной геометрии, неевклидовой геометрии} "наук" прошедших времён скрывается одна-единственная дисциплина $-$ линейная алгебра современной математики.

Это верно (на каком-то уровне). Но не будьте введены в заблуждение названием. Линейная алгебра - предмет чуть ли не в большей степени геометрический, чем алгебраический. По крайней мере, он состоит в применении алгебраических методов к геометрическим объектам.

longstreet в сообщении #628155 писал(а):

У меня какая-то каша в голове, не понимаю как всё это стыкуются.

Нигде это толком не комментируется. Я в своё время пытался разобраться, но полной ясности не достиг. Вырисовывается такая картина:
I. Математика - это башня разных теорий, основанных одна на другой. В отличие от физики, она не стоит на эксперименте, а висит в воздухе, и достраивается как сверху, так и снизу ("основания математики").
II. Теория верхнего этажа может унаследовать свойства теорий нижнего этажа двумя основными способами: заимствовать предмет исследования, и заимствовать метод исследования. Возможно, есть ещё третий сорт заимствования: задач. Эти отношения редко формулируются явно, так что это мой собственный вывод. Но такими взаимосвязями переплетены все теории. Многие теории образуются "сочетанием" предмета и метода, взятых по отдельности с нижних этажей.
III. Все математические теории неформально прибегают к помощи одной из двух-трёх идей, или интуиций: идея комбинации символов, идея формы, идея движения. Наиболее чётко они воплощены в элементарных разделах, соответственно, алгебры, геометрии и анализа. С высшими разделами дело обстоит сложнее, поскольку, как я говорил, они комбинируют в себе разные черты предыдущих разделов в разных сочетаниях. Но в конечном счёте, они тоже могут относиться к одной из "ветвей" математики, наверное, на основе того, какие образы крутятся в голове у математика. Это тоже мой собственный вывод.

longstreet в сообщении #628155 писал(а):

1) Правомерно ли считать, что именно геометрия является универсальным языком физики?

Всё, что вы тут приводили, не относится к физике, а относится к роли геометрии в математике per se.

longstreet в сообщении #628155 писал(а):

2) Что называется современным геометрическим языком? (Что есть современная геометрия?)

Это два очень разных вопроса. Современным геометрическим языком в физике называется, видимо, геометрия римановых многообразий, расслоений, симплектических многообразий, некоторых их производных (например, в теории струн используются кэлеровы многообразия). Что есть современная геометрия - куда более обширный и не относящийся к физике вопрос, я не могу ответить.

longstreet в сообщении #628155 писал(а):

3) Как связаны топология и геометрия? (С одной стороны, вроде бы топология - часть геометрии. С другой - такая же отличная от геометрии область, как и алгебра, например.) В частности, является ли топология геометрией с точки зрения группового подхода?

Топология - часть геометрии в широком смысле. Точнее, сама топология распадается на две очень разные части: общая топология и алгебраическая топология. Она отлична от других частей геометрии. Групповой подход в смысле Ф. Клейна в топологии не используется, зато группы используются чрезвычайно широко (собственно, без групп алгебраической топологии бы и не существовало). Топология в математике 20 века нашла применения далеко за рамками геометрии, оказалось, аналогичные черты структуры проявляют многие негеометрические объекты. Поэтому по топологии можно встретить негеометрическую литературу.

[casualvisitor]

longstreet в сообщении #628155 писал(а):

1) Правомерно ли считать, что именно геометрия является универсальным языком физики?

В мире нет ничего, кроме движущейся материи. "Всеобщими формами бытия материи являются пространство и время, которые не существуют вне материи, как не может быть и материальных объектов, которые не обладали бы пространственно - временными свойствами." (БСЭ)

Поэтому присутсвие идей науки, изучающей пространственные свойства материи - геометрии - вездесуще в изучающей материю науке физике. Но поскольку материя обладает и иными - не пространственными - свойствами, физика не может сводиться к геометри, а геометрия не может выразить все аспекты понятий и законов физики.

С другой стороны, измеряя пространственные параметры материальных объектов, мы создаем основу для синтеза геометрии и алгебры, в частности, - в виде мат. анализа. Вообще, связи геометрии и алгебры между собой и с физикой многообразны. Поэтому правильно, видимо, сказать, что языком физики является математика, а геометрия и алгебра - аспектами этого языка (если "копать глубоко", то - первичными аспектами).

longstreet в сообщении #628155 писал(а):

2) Что называется современным геометрическим языком? (Что есть современная геометрия?)

См. в Математической Энциклопедии или в БСЭ статью "Геометрия".

longstreet в сообщении #628155 писал(а):

3) Как связаны топология и геометрия? (С одной стороны, вроде бы топология - часть геометрии. С другой - такая же отличная от геометрии область, как и алгебра, например.) В частности, является ли топология геометрией с точки зрения группового подхода?

Топология - и общая и алгебраическая - изучают множества, наделенные топологической структурой, т.е. такие, в которых имеют смысл понятия окрестности (близости точек), предельного перехода (предельной точки последовательности) и т.п. Эти понятия объединены идеей непрерывности, идеей континуума, непрерывного множества - топологического пространства. И общая и алгебраическая топология изучают как топологические пространства устроены. Общая топология сосредоточена на формализации фундаментальных идей непрерывности, дает точные определения основных топологических понятий, и изучает эти понятия. Алгебраическая топология изучает структуру топологических пространств с несколько другой точки зрения - ее интересует то, как топ. пространство составлено из кусков (в то время как общую топологию больше занимает "тонкая" структура самих кусков). Поэтому в алг. топологии часто предполагается, что пространство состоит из кусков очень простых, например, шаров (дисков) евклидова пространства (так возникают понятия клеточных пространств и многообразий).

"Геометрией с точки зрения группового подхода" топология является. Топология изучает топологические пространства и их свойства инвариантные относительно группы гомеоморфизмов. Дифференциальная топология занимается диф. многообразиями и инвариантами группы диффеоморфизмов. Алгебраическая топология изучает свойства топ. пространства инвариантные при гомотопических эквивалентностях.

См. в Математической Энциклопедии статьи "Топология", "Эрлангенская программа", "Гомотопический тип" и др.

Munin в сообщении #628211 писал(а):

Топология - часть геометрии в широком смысле. ... Она отлична от других частей геометрии. ... Топология в математике 20 века нашла применения далеко за рамками геометрии, оказалось, аналогичные черты структуры проявляют многие негеометрические объекты.

Будучи частью геометрии, топология за ее рамки выйти, строго говоря, не может. Но топология изучает преимущественно НЕМЕТРИЧЕСКИЕ свойства пространства (геометрических фигур). Поэтому (а также по историческим причинам) ее иногда противопоставляют ОСТАЛЬНОЙ, т.е. метрической геометрии.

[Munin]

casualvisitor в сообщении #628219 писал(а):

Но поскольку материя обладает и иными - не пространственными - свойствами

Это какими конкретно?

casualvisitor в сообщении #628219 писал(а):

Топология - и общая и алгебраическая - изучают множества, наделенные топологической структурой, т.е. такие, в которых имеют смысл понятия окрестности (близости точек), предельного перехода (предельной точки последовательности) и т.п.

И топология графов и симплектических комплексов - тоже?

casualvisitor в сообщении #628219 писал(а):

Будучи частью геометрии, топология за ее рамки выйти, строго говоря, не может.

Разве гомологическая алгебра не часть топологии?

[Padawan]

Munin в сообщении #628280 писал(а):

Разве гомологическая алгебра не часть топологии?

Судя по названию, это часть алгебры

[Утундрий]

Цитата:

Какое место в физике занимает геометрия?

Поскольку в нашем восприятии вообще нет ничего кроме геометрии - весьма значительное.

[casualvisitor]

Munin в сообщении #628280 писал(а):

casualvisitor в сообщении #628219 писал(а):

Топология - и общая и алгебраическая - изучают множества, наделенные топологической структурой, т.е. такие, в которых имеют смысл понятия окрестности (близости точек), предельного перехода (предельной точки последовательности) и т.п.

И топология графов и симплектических комплексов - тоже?

Конечно. Симплициальный комплекс - пример топологического пространства, составленного из кусков евклидова пространства (частный случай клеточного пространства). Его гомологии дают описание топологически существенного в том, как комплекс составлен из симплексов (будучи алгебраическими объектами, гомологии являются топологическими и даже гомотопическими инвариантами). Графы - одномерные симплициальные комплексы.

Munin в сообщении #628280 писал(а):

casualvisitor в сообщении #628219 писал(а):

Будучи частью геометрии, топология за ее рамки выйти, строго говоря, не может.

Разве гомологическая алгебра не часть топологии?

Нет. Гомологическая алгебра - часть алгебры.

... А алгебраическую топологию иногда называют "отображением топологии в алгебру". "Образ" этого "отображения" здорово пересекается с гомологической алгеброй (которая изучает также объекты самой алгебры). См. в Математической Энциклопедии статью "Гомологическая алгебра".

(Оффтоп)

Munin в сообщении #628280 писал(а):

casualvisitor в сообщении #628219 писал(а):

Но поскольку материя обладает и иными - не пространственными - свойствами

Это какими конкретно?

Зависит от конкретного материального объекта. Некоторые объекты имеют такие свойства, как цвет, вкус, запах, электрический заряд. Я бы эти свойства к пространственным относить не стал.

[longstreet]

Munin, casualvisitor, спасибо большое за ответы!

Munin в сообщении #628211 писал(а):

Современным геометрическим языком в физике называется, видимо, геометрия римановых многообразий, расслоений, симплектических многообразий, некоторых их производных (например, в теории струн используются кэлеровы многообразия).

В рамках каких курсов (для физиков) изучается та геометрия, которая имеет отношение к физике?
Какие книги по современному геометрическому языку для физика есть?


Вообще, в каких областях физики геометрическая концепция наиболее существенна и естественна? Я так понял, что это: квантовая теория поля (топология и расслоения), гамильтонова механика (симплектическая геометрия), термодинамика (контактная геометрия), статфизика (пространство состояний), общая теория относительности (риманова геометрия, дифференциальная геометрия).


Нужно ли физику знать основные представления проективной геометрии?


Если что-то изложено геометрически, то следует ли с обязательностью из этого, что все понятия вокруг этого "чего-то" имеют ясный геометрический смысл? То есть, связана ли геометризация с понятливостью?


Что подразумевал Эйнштейн под своей фразой "Опыт=геометрия+физика"? Это конечно чушь-вопрос - разбирать фразы всякие... но тем не менее.

Бурбаки писал(а):

Таким образом, классическая геометрия переросла себя и из живой независимой науки превратилась в универсальный язык всей современной математики, исключительно гибкий и удобный.

И эту мысль я понять не могу. Как так? What does it mean?


Суда же напишу вопрос не связанный с этой темой. В одной статье говорится примерно следующее:

Цитата:

Не стоит и говорить о том, что даже сама постановка задачи аксиоматизации физики является внутренне противоречивой, поскольку аксиомы физики черпаются только из опыта и не могут быть раз и навсегда постулированы.

Не понимаю, ну и что, что из опыта черпаются? Или это глупость написана?

[BISHA]

longstreet в сообщении #628155 писал(а):

Правомерно ли считать, что именно геометрия является универсальным языком физики?

В физике много векторных величин, работа с ними ведется по геометрическим правилам. Так же и изменение скалярной физические величины представляется как вектор. Работать с векторами проводится и через проекции, а действие с векторами заменяется алгебраическими преобразованиями.

[Ilja]

longstreet в сообщении #628396 писал(а):

В рамках каких курсов (для физиков) изучается та геометрия, которая имеет отношение к физике?
Какие книги по современному геометрическому языку для физика есть?

Хотя конечно написана для математиков, но отлична и по моему доступо для физиков:

Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. - Современная геометрия http://rutracker.org/forum/viewtopic.php?t=3294557

longstreet в сообщении #628396 писал(а):

Если что-то изложено геометрически, то следует ли с обязательностью из этого, что все понятия вокруг этого "чего-то" имеют ясный геометрический смысл? То есть, связана ли геометризация с понятливостью?

Скорее нет. Геометрический язык сам по себе не определяет физический смысл.

В теории упругости есть, например, тензоры напряжения и деформации. Совершенно разные по физическому смыслу, с точки зрения геометрического языка они трехмерные симметричные тензоры, и преобразуются соответственно, так что их не особенно различишь без самой теорией упругости.

[casualvisitor]

longstreet в сообщении #628396 писал(а):

Какие книги по современному геометрическому языку для физика есть?

http://dxdy.ru/topic62829.html

[longstreet]

Спасибо. Скачал, смотрю. Настораживает объём и описание книг Постникова:

Цитата:

... Таким образом, настоящая книга не является учебником. Ни при каких условиях все содержание этой книги не может быть включено в один лекционный курс: ее объем слишком велик, а содержание слишком разнообразно. ...

[casualvisitor]

(Munin)

Munin в сообщении #628211 писал(а):

Нигде это толком не комментируется. Я в своё время пытался разобраться, но полной ясности не достиг.
...
Все математические теории неформально прибегают к помощи одной из двух-трёх идей, или интуиций: идея комбинации символов, идея формы, идея движения.

Мне кажется, что Вам будет полезно и интересно познакомиться с:
1. коцепцией Бурбаки о трех фундаментальных типах математических структур - алгебраических, топологических и порядка (см. например, Н. Бурбаки "Архитектура математики"),
2. основными идеями теории категорий.

[lek]

longstreet в сообщении #628450 писал(а):

Настораживает объём и описание книг Постникова...

Правильно, что настораживает. Тот объем материала, что впихнут в книги просто невозможно нормально систематизировать и изложить. Поэтому нельзя достичь глубокого понимания предмета, изучая геометрию только по этим книгам. А вот использовать их как дополнение к основной литературе - это пожалуйста...

[Munin]

casualvisitor в сообщении #628297 писал(а):

Зависит от конкретного материального объекта. Некоторые объекты имеют такие свойства, как цвет, вкус, запах, электрический заряд. Я бы эти свойства к пространственным относить не стал.

Ну, я о таких объектах, как фундаментальные поля, скажем, СМ или GUT.

longstreet в сообщении #628396 писал(а):

Нужно ли физику знать основные представления проективной геометрии?

В 19 веке начали изучать геометрии, отличающиеся от традиционной евклидовой планиметрии-стереометрии. При этом поначалу двигались осторожно, и создавали геометрии единичные, отличающиеся от традиционной незначительно: геометрии Лобачевского, Римана (не путать с римановой, геометрия Римана ещё называется эллиптической, и является почти близнецом сферической), проективную. Потом начали создавать целые классы геометрий (например, задаваемые функцией кривизны в каждой точке): риманова геометрия и гладкие многообразия, симплектическая геометрия, расслоения, топологические пространства, топологические многообразия (в алгебраическом аспекте), конечные геометрии, и т. п. Такие классы геометрий обычно требуют для изучения 0,5 - 1 - 2 семестра. А геометрии Лобачевского, эллиптическая, сферическая, проективная, аффинная - слишком просты, их можно "изучить" в пределах дня, при достаточной начальной подготовке, и может быть достаточно просто прочитать статью Математической Энциклопедии.

Хотя физик обязан знать разницу между геометрией Римана (эллиптической) и сферической. Эта разница практически важна: группа вращений 3-мерного пространства $SO(3)$ имеет геометрию эллиптического пространства, а группа спиноров Паули $SU(2)$ - соответствующего сферического ("соответствующего" в смысле двухлистного накрытия). А геометрия Римана и проективная - почти одно и то же. То есть да, о проективной геометрии физику стоит быть в курсе.

longstreet в сообщении #628396 писал(а):

Если что-то изложено геометрически, то следует ли с обязательностью из этого, что все понятия вокруг этого "чего-то" имеют ясный геометрический смысл? То есть, связана ли геометризация с понятливостью?

Это вам решать самому, когда изучите соответствующие физические геометризованные теории :-) Лично для меня, например, да.

longstreet в сообщении #628396 писал(а):

Какие книги по современному геометрическому языку для физика есть?

Я бы упирал на книги по физическим теориям, изложенным на геометрическом языке. Изучать геометрический язык заранее и per se сложно: не видно мотивации, и неясно, какие из вороха фактов будут потом нужны для физики, а какие нет. Вы постоянно произносите "геометрический язык", но ведь сами по себе это просто теории в себе, а языком становятся, только когда увязываются с физической теорией. То есть можно познакомиться с римановой геометрией из ОТО, с расслоениями - из калибровочной теории поля.

(Оффтоп)

casualvisitor в сообщении #628456 писал(а):

Мне кажется, что Вам будет полезно и интересно познакомиться с:
1. коцепцией Бурбаки о трех фундаментальных типах математических структур - алгебраических, топологических и порядка (см. например, Н. Бурбаки "Архитектура математики"),
2. основными идеями теории категорий.

Спасибо, знаком и с тем, и с другим, но я о другом. На основе одних структур может быть построена теория, опирающаяся на совсем другую интуицию. Например, линейная алгебра: основана на чисто алгебраических структурах, но представляет собой геометрию.