Как рождается математика

[Anton_Peplov]

Заинтересовался вопросом, как в математике рождаются новые понятия и теории. Порывшись в голове, набросал следующие пути.

1. Ветвление и углубление. Раскапывается какой-то интересный частный случай, и для него доказываются теоремы, для общего случая, вообще говоря, неверные. Так понятие бикомпактности, которая теперь называется просто компактностью, появилось из исследования свойств счетной компактности.
2. Обобщение. Наоборот: частные случаи известны, осталось понять, что это только частные случаи. Яркий пример – понятие группы. В ХIХ в. было введено много разных групп, о каждой доказаны теоремы, часть из которых была специфична, а часть на самом деле выполнялась для всех групп, но тогда этого еще не осознавали, т.к. современного понятия группы не было. Это понятие, возникшее около 1870 г., было призвано упорядочить полученные результаты. Другой яркий пример – понятие множества. Множества чисел и точек давно были известны и использовались, а Кантор рискнул сделать следующий шаг и рассмотреть множество-все-равно-чего.
3. Перекрестное опыление. Берем методы алгебры, применяем к задачам геометрии, получаем алгебраическую геометрию.
4. Потребность в основаниях математики. Так появилось понятие алгоритма – как формализация интуитивного представления о «способе рассуждений». Так же появилось понятие формальной системы и много еще чего чудесного.
5. Потребности иных наук. Много чего выросло из физических задач, кое-что – из экономических (теория массового обслуживания, например), что-то, говорят, пришло в математику из языков программирования… Да даже геометрия Лобачевского выросла из попыток понять, является ли наблюдаемое пространство в самом деле евклидовым.
6. ? Полет фантазии?
Вот этот пункт мне кажется сомнительным. Все вышеперечисленное имело истоки, рождалось из вопросов, на которые не было ответов, или из обобщения ответов на многие частные вопросы в ответ на один общий вопрос. А есть ли понятия/теории, придуманные кем-то из математиков просто «по приколу»? Вот я сейчас придумаю. Рассмотрим множество $X$, бинарную операцию $+$ и пару $0_1, 0_2 \in X$ такие, что:
1) для любой пары $a, b \in X$, кроме пары $0_1, 0_2$, $(a+b) \in X$
2) для любого $a \in X$, кроме $0_2$, $a + 0_1 = 0_1 + a = a$
3) для любого $a \in X$, кроме $0_1$, $a + 0_2 = 0_2 + a = a$
4) для любого $a \in X$ найдется $-a_1 \in X$ такой, что $a + -a_1 = -a_1 + a = 0_1$ и $-a_2 \in X$ такой, что $a + -a_2 = -a_2 + a = 0_2$.

И назовем это, скажем, бигруппой. Этот монстр родился в моем измученном бессонницей сознании из посыла «что бы такое придумать совсем от балды», и я не поручусь, что он внутренне непротиворечив, а тем более – что о нем можно доказать какие-то интересные теоремы. Но мне интересно, не родилось ли вот так, из ничего, без попыток ответа на уже известные вопросы, а просто в порядке игры ума, какое-нибудь из ныне известных математических понятий? Я понимаю, что вопрос сложный, намерения, в отличие от результатов, плохо документируются, и чем дальше в прошлое, тем хуже. Но вдруг есть на этот счет какая-то широко известная история?

Также приглашаю добавить к моей классификации пункты, которые мне самому в голову не пришли.

[iifat]

Anton_Peplov в сообщении #1068614 писал(а):

Да даже геометрия Лобачевского выросла из попыток понять, является ли наблюдаемое пространство в самом деле евклидовым

Вовсе она не оттуда выросла. История неевклидовых геоетрий началась задолго до теории относительности. Как раз таки ближе всего к пустым фантазиям. Попробуем-ка доказать пятый постулат Евклида. Не вышло? А ну-ка пофантазируем: сформулируем по-другому, да посмотрим, что из этого выйдет.

[Anton_Peplov]

Я не имел в виду теорию относительности. Да достаточно посмотреть на годы жизни Лобачевского (1792 - 1856), чтобы отбросить эту мысль. И все-таки я читал, кажется, у Клайна, хотя не исключено, что у Панова, что мотивом Николая Ивановича были размышления именно о наблюдаемом пространстве. Гаусс, помнится, заинтересовался внутренней геометрией поверхностей, занимаясь по заданию правительства геодезией. Каковы были мотивы Бойяи - не знаю. Но я бы не хотел увязать в многостраничном обсуждении истории неевклидовых геометрий, так что реплику о Лобачевском, если хотите, снимаю.

[provincialka]

Исключительно ИМХО, но п. 6 выглядит весьма сомнительным. Во-первых, придумать на пустом месте что-нибудь стоящее практически невозможно. Кроме того, как мне кажется, сама идея произвольных математических конструкций родилась не так давно. Уже после Лобачевского, как минимум. До этого математики считали, что они исследуют реальность, а не придумывают теории из головы. Не будь этого, тот же Гаусс не побоялся бы опубликовать свои геометрические открытия.

[Anton_Peplov]

Да, после Лобачевского и после изобретения абстрактной алгебры, на рубеже XX в. Но не будем забывать, что вся нет, половина существенная часть современной математики именно в XX в. и появилась. Теория игр, теория алгоритмов, теория массового обслуживания, тысячи их. Да и современное определение топологического пространства было дано только в 1925 г.

[provincialka]

Но все же придумать интересную конструкцию на пустом месте практически невероятно.
Вообще трудно сформулировать, появилось ли понятие "просто по приколу" или, скажем, как обобщение/модификация известного. И вы, кстати, своим примером это доказали: вы же по сути взяли готовое понятие "группа" и попытались его исказить. Можно рассматривать ваш объект и как частный случай вообще "структуры на множестве".

Кстати, а в какой из ваших "пунктов" входит модификация существующей теории?

[Anton_Peplov]

Как частный случай "структуры на множестве" в математике можно рассматривать что угодно. Только нет такой области математики, которая изучает настолько общие "просто структуры", что и алгебраическая, и топологическая, и какая угодно другая структура окажется их частным случаем.

А вот попытки модификации - не обобщения и не рассмотрения частного случая, а именно модификации, сделать из теории $A$ теорию $B$ так, что ни $A \subset B$, ни $B \subset A$ не имеет места - в моей классификации, скорее всего, и попадают в пункт "по приколу". Но я не знаю, случались ли именно модификации в реальной истории математики.

[provincialka]

Anton_Peplov в сообщении #1068632 писал(а):

Только нет такой области математики, которая изучает настолько общие "просто структуры",

Ну, не настолько общие. Ваш пример -- алгебраическая структура, и сама идея изучать подобный объект может рассматриваться как частный случай алгебраических структур вообще. Если бы ваша идея возникла до понятия группы (поля, кольца и т.п.) -- это было бы точно чистая фантазия. А так... я просто имела в виду, что совсем уж безосновательных фантазий не бывает.

Что касается "модификаций по приколу" -- разумеется, разные люди периодически этим занимаются... Только вот вряд ли у них получается что-то значимое!

[Brukvalub]

Anton_Peplov в сообщении #1068614 писал(а):

3. Перекрестное опыление. Берем методы алгебры, применяем к задачам геометрии, получаем алгебраическую геометрию.

На мой взгляд, данный тезис - слишком поверхностный и легковесный, он несколько раз вводит читателя в заблуждение.
Например, поиск алгебраических инвариантов для геометрических операций - это тоже прямое применение методов алгебры в геометрии, но так возникает, скажем, алгебраическая топология, но никак не алгебраическая геометрия.
Алгебраическая геометрия, наоборот, возникла тогда, когда алгебраисты задались вопросами типа: как описать множество нулей алгебраических многочленов от многих переменных и потянулись в решении подобных вопросов поближе к огоньку геометрии.

[Anton_Peplov]

Brukvalub в сообщении #1068640 писал(а):

На мой взгляд, данный тезис - слишком поверхностный и легковесный, он несколько раз вводит читателя в заблуждение.

Согласен. Но на саму идею перекрестного опыления этот неудачный пример не влияет никак.

[Brukvalub]

В свою очередь - согласен.

[arseniiv]

provincialka в сообщении #1068630 писал(а):

Но все же придумать интересную конструкцию на пустом месте практически невероятно.

Да, ведь надо как минимум себя этим зацепить. А как зацепить, если даже не знаешь, что придумать, и что выберешь? Человек никогда не славился умением выбирать из бесконечного множества, не имея при этом на нём никаких предпочтений.

Я как-то давно пытался придумать алгебраическую структуру совершенно от балды (другие пути были тогда закрыты, был почти совсем не в теме). Результат предсказуем.

[provincialka]

arseniiv
Просто вы не "гениальны". Помните местного доморощенного гения:

maximk в сообщении #1061944 писал(а):

Тем, кто создан быть одним из лучших математиков на планете, нет необходимости трудиться - они развлекаются, решая задачи "на лету" (хоть и затрачивают некоторое время на то, чтобы словить идею, как решать), ибо им дано заниматься этим разделом математики. Конечно, никто не мешает трудиться, тратить неимоверные усилия на решение элементарных задач. Выбор за каждым.

[arseniiv]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #1068700 писал(а):

Просто вы не "гениальны".

С удовольствием соглашусь. Ведь в такой ситуации куда легче пережить отсутствие результата, чем при наличии «гениальности»!

[provincialka]

(arseniiv)

Я только говорю, что вы не "гениальны". Вполне возможно, что вы-таки гениальны. Дай-то бог!