Группы в теории элементарных частиц

[Mikhail_K]

----------
Правильно ли думать, что кварки постоянно меняют свой цвет, излучая глюоны; и в результате, например, в протоне КЗС невозможно указать, какой конкретно кварк красный, какой зелёный и какой синий, то есть они постоянно меняются местами?

-- 23.10.2015, 21:49 --

----------
Вроде бы, в теории калибровочных полей говорится, что если волновую функцию $\psi(x)$ помножить на $e^{i\alpha(x)}$, то есть в каждой точке изменить фазы на разные значения, то получится то же самое, что и электромагнитное поле. Это изменение фазы и есть группа $\mathrm{U}(1)$ (окружность). Но не получается ли тогда, что электромагнитное поле задаётся в каждой точке одним числом, в то время как мы знаем что одного недостаточно: нужны два вектора $E$ и $B$ (6 чисел), либо же вообще тензор в четырёхмерном пространстве.

Можно ли так понимать, что "поле сильного взаимодействия" характеризуется в каждой точке пространства элементом группы $\mathrm{SU}(3)$?

Можно ли так понимать, что своего рода "производная" этого поля - это летящий глюон, в соответствии с тем, что глюон - это элемент касательного пространства к $\mathrm{SU}(3)$ в единице? То есть от того, в какую сторону летит глюон, зависит, как по этому направлению будет изменяться в "поле сильного взаимодействия" характеризующий его элемент группы $\mathrm{SU}(3)$?

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1065861 писал(а):

Что общую фазу можно выкинуть - это, вроде бы, я понимаю. Но почему её нельзя выкинуть в КЭД? Почему там $\mathrm{U}(1)$?

Это отдельная сложная история. $\mathrm{U}(1)$ в КЭД - не глобальная, а калибровочная группа. Про калибровочные мы пока ещё не говорили, это большой загруз мозгов.

Начальное чтение по калибровочной теории примерно так выглядит:
1. Ландау, Лифшиц. Теория поля. (Теоретическая физика. Т. 2)

Здесь необходимо прочитать минимум четыре главы - а хорошо бы ещё бегло пройтись по 5-9. И главное место здесь -
§ 18. Калибровочная инвариантность.
Впрочем, всё остальное тоже надо знать и понимать: 4-мерную технику, лагранжев формализм, уравнения поля, уравнение непрерывности и ТЭИ. Одновременно, всё это надо понимать на уровне ураматов: как эти уравнения решать, и как себя ведут решения.

2. Рубаков. Классические калибровочные поля.

Примерно первая часть.

Ну и по ходу, для воодушевления можно поглядывать в Хелзена-Мартина, в Окуня, в начало книжки
Коноплёва, Попов. Калибровочные поля.

Здесь в целом расскажут вот что. В Ландау-Лифшице показан способ построения теории из лагранжиана. (А в Хелзене-Мартине - как это красиво соответствует вершинам диаграммной техники.) Здесь же оказывается, что можно постулировать не лагранжиан, а некую калибровочную симметрию, а из неё уже автоматически следует лагранжиан как самого поля, так и взаимодействия. Этот способ более красивый и мощный, и именно им были построены теории, входящие в СМ, и строятся дальнейшие теории: Великое Объединение, суперсимметрия, суперструны.

Зачем это нужно? Затем, что таким способом автоматически получается перенормируемая квантовая теория. Перенормируемости можно добиться и без калибровочной симметрии, но с трудом и с серьёзными ограничениями. А калибровочная симметрия позволяет этот труд обойти, и даже ограничения иногда слегка обойти.

Mikhail_K в сообщении #1065861 писал(а):

Ещё очень хотелось бы понять, при чём здесь абелевость. Не могли бы Вы это объяснить на таком языке: вот два элемента группы $\mathrm{SU}(3)_c$. Если их перемножить в одном порядке, а потом в другом порядке, получится не одно и то же. Но что неодинаковость этих двух произведений (с двумя конкретными элементами группы) означает в физическом смысле? Каков физический смысл самих этих произведений?

Ну, в таком смысле это даёт просто то, что результат испускания двух разных глюонов будет зависеть от того, в каком порядке они испущены :-)

Но на самом деле, неабелевость даёт больше. Тут я советую читать всё-таки Рубакова. Потому что это математические вопросы.

При построении калибровочной теории на неабелевой группе, само собой возникает самодействие калибровочного поля: одни глюоны испускают другие глюоны. Как именно - в Рубакове показано.

Mikhail_K в сообщении #1065861 писал(а):

Про калибровочные симметрии я читал что-то такое, что, будто бы, применение одного элемента группы ко всем точкам пространства не меняет ничего, а применение разных элементов группы к разным точкам пространства эквивалентно появлению поля. Но что это означает применительно к $\mathrm{SU}(3)_c$?

Тут вопрос, какого поля. При применении группы $\mathrm{U}(1)_{EM}$ возникает электромагнитное поле. При применении группы $\mathrm{SU}(3)_c$ возникает глюонное поле. Без него, цвета были бы просто квантовыми числами, аналогичными, скажем, спину. Так что два кварка не могут находиться в одном и том же цветовом состоянии, как и в запрете Паули. Но с глюонным полем, цвета становятся зарядами, начинают притягиваться и отталкиваться друг от друга. Спиновая группа $\mathrm{SU}(2),$ например, не калибровочная.

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1065902 писал(а):

Правильно ли думать, что кварки постоянно меняют свой цвет, излучая глюоны; и в результате, например, в протоне КЗС невозможно указать, какой конкретно кварк красный, какой зелёный и какой синий, то есть они постоянно меняются местами?

Да, правильно. Более того, пока один кварк излучил глюон, а другой - ещё не поглотил его, цвета разделены не только между кварками, но и между глюонной частью адрона.

Mikhail_K в сообщении #1065902 писал(а):

Это изменение фазы и есть группа $\mathrm{U}(1)$ (окружность). Но не получается ли тогда, что электромагнитное поле задаётся в каждой точке одним числом, в то время как мы знаем что одного недостаточно: нужны два вектора $E$ и $B$ (6 чисел), либо же вообще тензор в четырёхмерном пространстве.

Во-первых, от двух векторов $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ можно перейти к двум потенциалам: скалярному $\varphi$ и векторному $\mathbf{A}$ - это будет уже 4 числа. Эти два потенциала вместе образуют один 4-мерный вектор - 4-векторный потенциал $A^i$ (так он обозначается в Ландау-Лифшице, но сегодня общепринято писать греческую букву в индексе, $A^\mu,$ а в Рубакове пишется вообще $A_\mu$).

Во-вторых, дальше вы перепутали. Электромагнитное поле задаётся 4 числами, а одно из них - произвольно, выбирается вот этой самой фазой, то есть калибровочной функцией. А остальные 3 числа - это истинные степени свободы, динамические переменные поля. Они-то и колеблются в фотонах.

Всё это изложено в Ландау-Лифшице, почитайте там § 18 внимательно, к тому же он коротенький, одна страничка.

Mikhail_K в сообщении #1065902 писал(а):

Можно ли так понимать, что "поле сильного взаимодействия" характеризуется в каждой точке пространства элементом группы $\mathrm{SU}(3)$?

Не совсем так. Не элементом группы, а элементом её присоединённого представления. Как вы помните, оно 8-мерно. И плюс ещё, это поле векторное (в пространственном смысле), так что получает пространственно-временной индекс - то есть, количество чисел умножается ещё на 4. То есть, каждый из 8 типов глюонов описывается вектор-потенциалом, как и электромагнитное поле. Получается $A^a_\mu,$ где индекс $\mu$ пространственно-временной - нумерует оси пространственной системы координат, а индекс $a$ - внутренний, нумерует базис присоединённого представления группы $\mathrm{SU}(3).$ Понятное дело, что не все они "истинные" - калибровочная симметрия сколько-то из них делает бессмысленными (не помню навскидку, сколько; кажется, что 8).

И конечно же, из этих вектор-потенциалов можно составить поля напряжённости, аналогичные электромагнитным $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$: это будут $F^a_{\mu\nu}=D_\mu A^a_\nu-D_\nu A^a_\mu,$ аналогичные выражению для электромагнитного поля $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu,$ только с заменой простых частных производных на ковариантные. Выражение для электромагнитного поля, по сути, тоже можно записать аналогично, но из-за абелевости поля это будет то же самое. А для неабелева поля - не то же самое, там появится слагаемое $+gf_{abc}A^b_\mu A^c_\nu.$

Mikhail_K в сообщении #1065902 писал(а):

Можно ли так понимать, что своего рода "производная" этого поля - это летящий глюон, в соответствии с тем, что глюон - это элемент касательного пространства к $\mathrm{SU}(3)$ в единице? То есть от того, в какую сторону летит глюон, зависит, как по этому направлению будет изменяться в "поле сильного взаимодействия" характеризующий его элемент группы $\mathrm{SU}(3)$?

Ну, это вы хватанули. Глюон - это волна, возбуждённая в "истинных степенях свободы". Можно рассмотреть какую-нибудь фиксированную калибровку, и тогда посчитать эту волну чисто на бумаге, как решение волнового уравнения. В какую сторону он летит - это надо учиться читать ураматы и их решения. Например, по принципу Гюйгенса.

Но от калибровки это не зависит. Калибровка может меняться, а глюон всё равно полетит во вполне определённую сторону. Истинными свобоими степенями свободы. А калибровочными - как он болтаться будет, никого не волнует. Потому что нефизические оне.

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1065802 писал(а):

Mikhail_K в сообщении #1065682 писал(а):

Ещё вопрос: правда ли, что красный кварк излучает только глюоны, один из двух цветов которого - красный?

Да. С другими глюонами он просто не имеет связи.

Munin в сообщении #1065802 писал(а):

Если вы будете считать всевозможные глюоны дискретно, то у вас получится 9 штук. А на самом деле, их 8, и они изображаются матрицами Гелл-Манна.

Матрицы Гелл-Манна, изображающие глюоны - это элементы представления группы $\mathrm{SU}(3)_c$.
Насколько я знаю, представление группы - это когда элементы группы кодируются линейными преобразованиями некоторого векторного пространства. В данном случае это пространство $\mathbb{R}^3$, и, насколько я понял, это пространство цветов, или пространство кварков с данными цветами. То есть К - это $(1,0,0)$, З - это $(0,1,0)$, С - это $(0,0,1)$. Таким образом, глюон выступает как преобразование, превращающее один кварк в другой кварк (при поглощении этого глюона?). Но тогда глюон ЗС' должен действовать и на кварк К - вряд ли осмысленно преобразование, которое действует не на каждый вектор. Ведь в этом пространстве глюонов, базисом которого являются матрицы Гелл-Манна, присутствуют также и "смешанные" глюоны, которые не удастся записать двумя буквами. Но если глюон ЗС' действует на кварк К, то, значит, такой глюон всё-таки может излучаться и поглощаться таким кварком?

И ещё вопрос - как можно вычислить цвет глюона, записанного в виде матрицы Гелл-Манна? Можно было бы предположить, что он вычисляется так: берётся кварк (из пространства цветов $\mathbb{R}^3$), смотрится, в какой кварк он превращается данным глюоном, а затем цвет глюона находится из закона сохранения цвета. Но тогда, наверное, один и тот же глюон будет иметь разные цвета, в зависимости от того, какой кварк мы возьмём.

Видимо, я не прав и глюон не есть преобразование кварка в другой кварк? Но если так, то почему глюон кодируется матрицей Гелл-Манна - преобразованием пространства цветов?

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1066767 писал(а):

Насколько я знаю, представление группы - это когда элементы группы кодируются линейными преобразованиями некоторого векторного пространства. В данном случае это пространство $\mathbb{R}^3$

Нет, $\mathbb{C}^3.$ Или, может быть, $\mathbb{C}^3/\mathrm{U}(1).$

Mikhail_K в сообщении #1066767 писал(а):

Но тогда глюон ЗС' должен действовать и на кварк К - вряд ли осмысленно преобразование, которое действует не на каждый вектор.

Представьте себе вращение трёхмерного пространства вокруг оси $z$ на угол $30^\circ.$ Как оно действует на вектор $\mathbf{k}$?

Mikhail_K в сообщении #1066767 писал(а):

И ещё вопрос - как можно вычислить цвет глюона, записанного в виде матрицы Гелл-Манна?

Эта матрица - и есть его "цвет".

Mikhail_K в сообщении #1066767 писал(а):

Можно было бы предположить, что он вычисляется так: берётся кварк (из пространства цветов $\mathbb{R}^3$), смотрится, в какой кварк он превращается данным глюоном, а затем цвет глюона находится из закона сохранения цвета. Но тогда, наверное, один и тот же глюон будет иметь разные цвета, в зависимости от того, какой кварк мы возьмём.

Да, поэтому правильно называть цвета глюонов непосредственно матрицами Гелл-Манна.

Mikhail_K в сообщении #1066767 писал(а):

Видимо, я не прав и глюон не есть преобразование кварка в другой кварк?

Нет, в этом вы правы (с некоторыми уточнениями).

[Sicker]

Munin в сообщении #1066811 писал(а):

Эта матрица - и есть его "цвет".

Извините что встреваю, но вы же сами писали

Munin в сообщении #1050480 писал(а):

Sicker в сообщении #1050462 писал(а):

Но тогда это не матрица Гелл-мана.

Да, я уже согласился.

[Mikhail_K]

Munin, из книг, которые Вы посоветовали, самая понятная, кажется - Коноплёва, Попов. Разбираюсь в калибровочных полях. После Ваших объяснений также надеюсь разобраться в статье Даниэля, Виалле "Геометрический подход к калибровочным теориям типа Янга-Миллса" (к ней я уже делал несколько менее успешных подходов).

Munin в сообщении #1066811 писал(а):

Нет, $\mathbb{C}^3.$ Или, может быть, $\mathbb{C}^3/\mathrm{U}(1).$

$\mathbb{R}^3$ - это была просто опечатка.

Munin в сообщении #1066811 писал(а):

Представьте себе вращение трёхмерного пространства вокруг оси $z$ на угол $30^\circ.$ Как оно действует на вектор $\mathbf{k}$?

Оставляет на месте. Ну, понятно.

Но появился новый вопрос. Матрицы Гелл-Манна неунитарные, они переводят элементы единичной сферы прочь из неё. А кварки, насколько я знаю, лежат на единичной сфере в пространстве цвета. В каком же смысле глюон - это преобразование кварка? Раньше я понимал это так: кварк излучил глюон - умножился на какую-то матрицу, поглотил - опять умножился (например, на обратную к первой). А как на самом деле?

[Mikhail_K]

Или, может быть, матрица глюона (или результат её применения к вектору кварка?) показывает направление, в котором точка кварка на единичной сфере должна сдвинуться по этой сфере?

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1067003 писал(а):

Но появился новый вопрос. Матрицы Гелл-Манна неунитарные, они переводят элементы единичной сферы прочь из неё.

Тут правильное замечание сделал Sicker. Я повторил одну и ту же путаницу что в разговоре с ним, что в разговоре с вами. Прошу прощения. Матрицы Гелл-Манна не унитарные, они антиэрмитовы. Унитарными матрицами будут, соответственно $e^{\lambda_i t}.$ То есть, матрицы Гелл-Манна образуют базис в алгебре Ли (в пространстве, касательном к группе Ли), а не в самой группе Ли или её представлении.

Путаница из-за того, что в $\mathrm{SU}(2)$ матрицы Паули играют и ту и другую роль успешно. А вот при $n>2$ надо понятия разводить, а я плохо это место выучил.

Mikhail_K в сообщении #1067003 писал(а):

В каком же смысле глюон - это преобразование кварка? Раньше я понимал это так: кварк излучил глюон - умножился на какую-то матрицу, поглотил - опять умножился (например, на обратную к первой). А как на самом деле?

Mikhail_K в сообщении #1067025 писал(а):

Или, может быть, матрица глюона (или результат её применения к вектору кварка?) показывает направление, в котором точка кварка на единичной сфере должна сдвинуться по этой сфере?

Кварк излучает глюон непрерывно какое-то время. В каждый конкретный момент времени - сдвигается по единичной сфере в указанном направлении. Если очень долго излучать - то кварк может изменить цвет с красного на зелёный, например.

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1067169 писал(а):

Кварк излучает глюон непрерывно какое-то время. В каждый конкретный момент времени - сдвигается по единичной сфере в указанном направлении. Если очень долго излучать - то кварк может изменить цвет с красного на зелёный, например.

Ну да, я что-то такое и предполагал.

Mikhail_K в сообщении #1066767 писал(а):

Но тогда глюон ЗС' должен действовать и на кварк К - вряд ли осмысленно преобразование, которое действует не на каждый вектор.

Munin в сообщении #1066811 писал(а):

Представьте себе вращение трёхмерного пространства вокруг оси $z$ на угол $30^\circ.$ Как оно действует на вектор $\mathbf{k}$?

Munin в сообщении #1067169 писал(а):

Кварк излучает глюон непрерывно какое-то время. В каждый конкретный момент времени - сдвигается по единичной сфере в указанном направлении.

Всё-таки какая-то неудовлетворённость остаётся. Если есть унитарное преобразование, то оно может действовать на любой элемент единичной сферы. Почему кварк К не может "непрерывно излучать" глюон ЗС', при этом пусть даже сам кварк не меняется совсем никак (как вектор $\mathbf{k}$ при повороте вокруг оси $z$). Но глюон излучён, и теперь он может вступать во взаимодействие с другими глюонами и кварками, так что это не то же самое, что и отсутствие такого излучения.
Если же есть запрет на излучение глюона ЗС' кварком К, не связанный с этой теорией групп и представлений (не может, и всё тут), то, наверное, этот запрет должен принимать довольно сложные формы в случае "смешанных" кварков и глюонов.

[AnatolyBa]

Mikhail_K в сообщении #1067187 писал(а):

Почему кварк К не может "непрерывно излучать" глюон ЗС'

Не могу этого четко сформулировать, но мне кажется такие запреты связаны не с симметрией самой по себе а с видом лагранжиана взаимодействия. Лагранжиан должен быть "белым", т.е. инвариантным по отношению к цветовой группе. И это диктует определенные диаграммы, т. е. элементарные процессы

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1033382 писал(а):

Заодно, как вы уже выяснили, не всякий глюон может быть излучён при заданном векторе цвета кварка. Может быть излучён только такой, который его поворачивает (5 видов), и не может быть - такой, который его не поворачивает (3 вида).

Это из другой темы. Соглашусь, что это довольно простое и разумное правило.

-- 26.10.2015, 21:20 --

Из той же темы

Munin в сообщении #1033454 писал(а):

Если у нас глюон типа $\lambda^1=\left(\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{smallmatrix}\right),$ то он, испускаясь, превращает красный кварк в зелёный, а зелёный - наоборот, в красный. Образно, можно сказать, что у этого глюона "красно-зелёный цвет".

Sicker в сообщении #1049888 писал(а):

Вы хотели сказать "красно-антизеленый"?

Munin в сообщении #1049901 писал(а):

Это пишут иногда в популярных изложениях. Но это неверная аналогия, она вас поведёт не туда, если вы будете воспринимать её слишком всерьёз. Правильно держать в голове не "<один цвет>-анти<другой цвет>", а матрицу Гелл-Мана. Вы же видите, что:

$$\lambda^1=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix},$$

так что красный и зелёный (индексы 1 и 2) входят в неё совершенно одинаково.

А вот у Хелзена и Мартина выписаны восемь глюонов, и среди них красно-антизелёный и зелёно-антикрасный (разные!)
Именно, КЗ', КС', ЗК', ЗС', СК', СЗ', $\sqrt{\frac{1}{2}}$(КК'-ЗЗ'), $\sqrt{\frac{1}{6}}$(КК'+ЗЗ'-2СС').
Да и выписанная Вами $\lambda^1$ на антиэрмитову не похожа.

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1067187 писал(а):

Всё-таки какая-то неудовлетворённость остаётся. Если есть унитарное преобразование, то оно может действовать на любой элемент единичной сферы. Почему кварк К не может "непрерывно излучать" глюон ЗС', при этом пусть даже сам кварк не меняется совсем никак (как вектор $\mathbf{k}$ при повороте вокруг оси $z$).

Просто он при этом будет "излучать глюон нулевой амплитуды". Это то же самое, что совсем его не излучать, как я и сказал.

Mikhail_K в сообщении #1067187 писал(а):

Если же есть запрет на излучение глюона ЗС' кварком К, не связанный с этой теорией групп и представлений (не может, и всё тут), то, наверное, этот запрет должен принимать довольно сложные формы в случае "смешанных" кварков и глюонов.

Всё очень просто: есть сохранение цвета. Сколько цвета изменилось у кварка, столько же его и получает глюон. Если цвет не изменился, то и глюона не будет.

Точнее, конечно, без изменения цвета можно излучать глюоны $\lambda_3$ и $\lambda_8.$ Они меняют фазу, то есть всё-таки меняют красный кварк как комплексное число.

Mikhail_K в сообщении #1067210 писал(а):

Да и выписанная Вами $\lambda^1$ на антиэрмитову не похожа.

Помножьте её на $i.$ Здесь просто разные соглашения у физиков и у математиков, антиэрмитовыми будут $i\lambda_k$ в таком базисе.

Mikhail_K в сообщении #1067210 писал(а):

А вот у Хелзена и Мартина выписаны восемь глюонов, и среди них красно-антизелёный и зелёно-антикрасный (разные!)
Именно, КЗ', КС', ЗК', ЗС', СК', СЗ', $\sqrt{\frac{1}{2}}$(КК'-ЗЗ'), $\sqrt{\frac{1}{6}}$(КК'+ЗЗ'-2СС').

Может быть, они говорят полуправду, с тем, чтобы позже сказать полную правду. Матрицы Гелл-Мана там есть, поищите.

[Mikhail_K]

Munin в сообщении #1067246 писал(а):

Всё очень просто: есть сохранение цвета.

Допускает ли этот "закон сохранения цвета" какую-нибудь короткую формулировку? С учётом того, что цвет может быть и вектором (у кварков), и матрицей (у глюонов). Кстати, я правильно понял, что цвет глюона - это не сама матрица Гелл-Манна, а её экспонента (с коэффициентом $t$ в показателе)?

[Munin]

Mikhail_K в сообщении #1067254 писал(а):

Допускает ли этот "закон сохранения цвета" какую-нибудь короткую формулировку?

Член лагранжиана $-g(\bar{q}\gamma^\mu T_a q)G^a_{\!\mu}$ (в обозначениях ХМ) должен быть скалярным, что значит, все его цветовые индексы должны быть свёрнуты: $\bar{q}Tq$ как матрица вычисляется в скаляр, то есть не несёт "фундаментальных" цветовых индексов, а $T_aG^a$ свёрнут по "присоединённым" цветовым индексам $a.$

Почему член лагранжиана должен быть скалярным? Потому что весь лагранжиан сам должен быть скалярным. Это ещё называется "калибровочно-инвариантным", потому что калибровочные преобразования, собственно, преобразуют то, что не скаляр по цветным индексам.

Вам всё-таки надо почитать хотя бы Рубакова про фундаментальное и присоединённое представление, и про группы и алгебры. А то уже путаться начинаем.