Разбиение сферы на многоугольники

[ИСН]

Solist в сообщении #825935 писал(а):

мне понравилось предположение с функцией от сферических координат, которая бы задавала центры участков, 12 из которых пенты - вершины икосаэдра...вот найти бы эту функцию...

Вам её уже сказали (несколько человек, по частям). Ещё раз, всё вместе: возьмите икосаэдр. Разбейте каждую грань на 4, 9, 16 или сколько заблагорассудится маленьких и уже не совсем равных сферических треугольников. Теперь возьмите от этого двойственную фигуру.

-- менее минуты назад --

Фуллерены-то разные бывают, не только 60.

[Sender]

ИСН в сообщении #825971 писал(а):

Фуллерены-то разные бывают, не только 60.

Действительно, какие же они бывают? Пусть мы хотим построить выпуклый многогранник $P$ из 5- и 6-угольников. Рассмотрим многогранник $P'$, двойственный к нему. Пусть он имеет $V$ вершин, $E$ рёбер и $F$ граней. Поскольку он тоже будет выпуклым, для него справедливо $V+F-E=2$. Его гранями будут треугольники, так что $E=\frac{3F}{2}$, отсюда $F=2V-4$, $E=3V-6$.
Поскольку гранями $P$ являются 5- и 6-угольники, в каждой вершине многогранника $P'$ сходится 5 или 6 рёбер. Обозначим количество вершин, в которых сходится 5 рёбер, $V_5$, а количество вершин, в которых сходится 6 рёбер, - $V_6$. Тогда $V=V_5+V_6$,
$E=\frac{1}{2}(5V_5+6V_6)=3(V_5+V_6)-6$, откуда получаем: $V_5=12$.
Иными словами, что бы мы ни делали, у нас получится автомат Калашниковаикосаэдр. В каждой из его 12 вершин будет сходиться по 5 треугольников. Очевидно, именно эти треугольники будут отличаться от равносторонних наиболее сильно и при бесконечном увеличении мелкости разбиения их углы будут стремиться к $\frac{2\pi}{5},\;\frac{3\pi}{10},\;\frac{3\pi}{10}$. Во всех остальных вершинах треугольники разбиения будут сходиться по 6 и будут всё более походить на равносторонние при движении от углов граней икосаэдра к их центрам. Это означает, что при таких условиях радикально улучшить предложенные ранее методы разбиения не удастся.

[belolyubtzeff]

Я делю так:
http://imglink.ru/show-image.php?id=28b ... ba60d1ba20
http://imglink.ru/show-image.php?id=cc8 ... 25a4d2c767

[dometer]

А почему все пытаются до треугольников довести ?
Если делать разбиение сферы ради карты для пошаговой стратегии "на планете", то лучше разбивать на равновеликие (равные и правильные не получатся !) ПЯТИУГОЛЬНИКИ.

А разбивается по примитивной процедуре: каждый пятиугольник разбивается на шесть равновеликих пятиугольника. И каждый пятиугольник далее разбивается на меньшие шесть пятиугольников.

Если начинать с правильного пятиугольника, то по центру строится меньший правильный пятиугольник (площадью в шесть раз меньшей внешнего), повёрнутый на 36 градусов относительно внешнего, и к его вершинам опускаются перпендикуляры от сторон внешнего пятиугольника (да, не очень правильные пятиугольники на периферии, но углы всё же не такие острые, как у треугольников).
Для (слегка) неправильных пятиугольников процедуру я не прорабатывал, но [теоретических] проблем не вижу (топология сохранятся !).

Преимущество такого разбиения - минимизация количества "соседей" для каждого пятиугольника - только 5 !
(Деление на квадраты даёт четырёх "граничных" соседей и четырёх "вершинных" ).

[Sender]

dometer в сообщении #1460259 писал(а):

А почему все пытаются до треугольников довести ?

ИСН в сообщении #825971 писал(а):

Теперь возьмите от этого двойственную фигуру.

[dometer]

В старт-теме поднимается проблема разбиения сферы, а не построение многогранника. «Двойственные фигуры» - это про многогранники. А нам надо иметь возможность разделить сферу, и если сочли деление слишком крупным - продолжать делить получившиеся участки на более мелкие. Таким образом все мысли о многогранниках (кроме исходного правильного, как зачаток первоначального разбиения СФЕРЫ) офтопны
(ведь многогранник делением граней не превращается в много-больше-гранник) .

«Пятиугольное» разделение лучше треугольного прежде всего тем, что соотношение описанной и вписанной окружности у треугольника существенно дальше от единицы, чем у пятиугольника. В пятиугольник объекты лучше помещаются.

[Sender]

dometer в сообщении #1461955 писал(а):

ведь многогранник делением граней не превращается в много-больше-гранник

Сферический вполне себе превращается. Может, возьмёте наконец на себя труд как следует прочитать тему?