2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Разбиение сферы на многоугольники
Сообщение13.02.2014, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13379
с Территории
Solist в сообщении #825935 писал(а):
мне понравилось предположение с функцией от сферических координат, которая бы задавала центры участков, 12 из которых пенты - вершины икосаэдра...вот найти бы эту функцию...
Вам её уже сказали (несколько человек, по частям). Ещё раз, всё вместе: возьмите икосаэдр. Разбейте каждую грань на 4, 9, 16 или сколько заблагорассудится маленьких и уже не совсем равных сферических треугольников. Теперь возьмите от этого двойственную фигуру.

-- менее минуты назад --

Фуллерены-то разные бывают, не только 60.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение сферы на многоугольники
Сообщение15.02.2014, 10:41 


14/01/11
2671
ИСН в сообщении #825971 писал(а):
Фуллерены-то разные бывают, не только 60.

Действительно, какие же они бывают? Пусть мы хотим построить выпуклый многогранник $P$ из 5- и 6-угольников. Рассмотрим многогранник $P'$, двойственный к нему. Пусть он имеет $V$ вершин, $E$ рёбер и $F$ граней. Поскольку он тоже будет выпуклым, для него справедливо $V+F-E=2$. Его гранями будут треугольники, так что $E=\frac{3F}{2}$, отсюда $F=2V-4$, $E=3V-6$.
Поскольку гранями $P$ являются 5- и 6-угольники, в каждой вершине многогранника $P'$ сходится 5 или 6 рёбер. Обозначим количество вершин, в которых сходится 5 рёбер, $V_5$, а количество вершин, в которых сходится 6 рёбер, - $V_6$. Тогда $V=V_5+V_6$,
$E=\frac{1}{2}(5V_5+6V_6)=3(V_5+V_6)-6$, откуда получаем: $V_5=12$.
Иными словами, что бы мы ни делали, у нас получится автомат Калашниковаикосаэдр. В каждой из его 12 вершин будет сходиться по 5 треугольников. Очевидно, именно эти треугольники будут отличаться от равносторонних наиболее сильно и при бесконечном увеличении мелкости разбиения их углы будут стремиться к $\frac{2\pi}{5},\;\frac{3\pi}{10},\;\frac{3\pi}{10}$. Во всех остальных вершинах треугольники разбиения будут сходиться по 6 и будут всё более походить на равносторонние при движении от углов граней икосаэдра к их центрам. Это означает, что при таких условиях радикально улучшить предложенные ранее методы разбиения не удастся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение сферы на многоугольники
Сообщение24.10.2015, 22:20 


24/10/15
1
Я делю так:
http://imglink.ru/show-image.php?id=28b ... ba60d1ba20
http://imglink.ru/show-image.php?id=cc8 ... 25a4d2c767

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение сферы на многоугольники
Сообщение05.05.2020, 06:20 


05/05/20
3
А почему все пытаются до треугольников довести ?
Если делать разбиение сферы ради карты для пошаговой стратегии "на планете", то лучше разбивать на равновеликие (равные и правильные не получатся !) ПЯТИУГОЛЬНИКИ.

А разбивается по примитивной процедуре: каждый пятиугольник разбивается на шесть равновеликих пятиугольника. И каждый пятиугольник далее разбивается на меньшие шесть пятиугольников.

Если начинать с правильного пятиугольника, то по центру строится меньший правильный пятиугольник (площадью в шесть раз меньшей внешнего), повёрнутый на 36 градусов относительно внешнего, и к его вершинам опускаются перпендикуляры от сторон внешнего пятиугольника (да, не очень правильные пятиугольники на периферии, но углы всё же не такие острые, как у треугольников).
Для (слегка) неправильных пятиугольников процедуру я не прорабатывал, но [теоретических] проблем не вижу (топология сохранятся !).

Преимущество такого разбиения - минимизация количества "соседей" для каждого пятиугольника - только 5 !
(Деление на квадраты даёт четырёх "граничных" соседей и четырёх "вершинных" ).

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение сферы на многоугольники
Сообщение05.05.2020, 09:11 


14/01/11
2671
dometer в сообщении #1460259 писал(а):
А почему все пытаются до треугольников довести ?

ИСН в сообщении #825971 писал(а):
Теперь возьмите от этого двойственную фигуру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение сферы на многоугольники
Сообщение12.05.2020, 02:44 


05/05/20
3
В старт-теме поднимается проблема разбиения сферы, а не построение многогранника. «Двойственные фигуры» - это про многогранники. А нам надо иметь возможность разделить сферу, и если сочли деление слишком крупным - продолжать делить получившиеся участки на более мелкие. Таким образом все мысли о многогранниках (кроме исходного правильного, как зачаток первоначального разбиения СФЕРЫ) офтопны
(ведь многогранник делением граней не превращается в много-больше-гранник) .

«Пятиугольное» разделение лучше треугольного прежде всего тем, что соотношение описанной и вписанной окружности у треугольника существенно дальше от единицы, чем у пятиугольника. В пятиугольник объекты лучше помещаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение сферы на многоугольники
Сообщение12.05.2020, 08:51 


14/01/11
2671
dometer в сообщении #1461955 писал(а):
ведь многогранник делением граней не превращается в много-больше-гранник

Сферический вполне себе превращается. Может, возьмёте наконец на себя труд как следует прочитать тему?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group