Дискретнтые и непрерывные собственные значения - в чем суть?

[Muha_]

Munin в сообщении #1065163 писал(а):

Ещё раз, у вас с барабаном всё ясно? А то всякие квантовые гармонические осцилляторы - это искусственные усложнения, вам надо более простые вещи разобрать сначала.

Ясной картины у меня похоже нет. Почему барабан или струна колеблются с определенным набором частот? Наверно потому, что не периодические процессы по каким-то глубоким причинам теряют энергию быстрее чем периодические. Поверхность барабана ограничена, поэтому периодические колебания соответствуют только определенным кратным размерам барабана гармоникам. Эти гармоники имеют наибольшую интенсивность спустя некоторое время после возмущения.
Второй вопрос - аналогия с собственными значениями операторов. Если струна колеблется с длиной волны кратной длине струны, то можно описать ее состояние функцией, которая со временем будет не меняться а только умножаться на комплексное число (собственное состояние). Подобные функции составляют полный набор в смысле, что любое колебание можно представить в виде их суммы.
Как это все представить как нахождение собственных значений оператора не знаю.

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1065330 писал(а):

Вроде сказать, что $L-\lambda$ не имеет обратного это то же самое, что сказать, что есть собственные функции. Разве нет? Но так получится только дискретная часть спекта, это я знаю. Обратный может быть, но быть при этом неограниченным

Можно сказать "не имеет ограниченного обратного", тогда будет весь спектр.

Alex-Yu в сообщении #1065330 писал(а):

А остаточный мне просто не интересен

И правильно. У самосопряжённых операторов его и нет, а в КМ операторы обычно самосопряжённые.

Alex-Yu в сообщении #1065330 писал(а):

Думаю, для физиков в этом вопросе была бы полезна некая "апроксимация" промежуточная между честной математикой и тем, что пишут в курсах квантовой механики.

Какая-то аппроксимация есть: рассматривать все решения уравнения $H\psi=E\psi$ и выделять из них растущие не быстрее полинома, а среди последних -- принадлежащие $L^2$. Так мы получим весь спектр (с точностью до множества нулевой спектральной меры) и разделим его на точечный и непрерывный.

Проблемы начнутся, когда мы попытаемся разделить абсолютно непрерывный и сингулярно непрерывный спектр. Здесь уже без теории меры не обойтись, даже чтобы понять эти слова.

-- Чт, 22 окт 2015 00:57:07 --

Munin в сообщении #1065300 писал(а):

Да. И волновой пакет тоже аппроксимация. И при этом, это всё ж таки немножко разные аппроксимации.

В случае спектрального проектора мы, фактически, рассматриваем инвариантное подпространство оператора. При сужении оператора на инвариантное подпространство проследить за спектром легко. В случае ящика мы тоже сужаем оператор на подпространство, но не инвариантное.

[Munin]

Muha_ в сообщении #1065343 писал(а):

Ясной картины у меня похоже нет. Почему барабан или струна колеблются с определенным набором частот? Наверно потому, что не периодические процессы по каким-то глубоким причинам теряют энергию быстрее чем периодические.

У-у-у, вот здесь надо разгребать.

Непериодические процессы могут быть разложены по периодическим как по базису. Вот что главное, что вы должны уловить.

Оказывается, даже дискретного набора периодических процессов - достаточно, чтобы образовывать базис в нужном пространстве (в счётномерном пространстве нужное-число-раз-гладких функций от $t$).

Кроме того, я бы советовал освежить ураматы вообще. Вспомнить суть, и эквивалентность между собой, трёх способов решения волновых и гиперболических уравнений:
- разложение в бегущие волны, или метод характеристик, или метод Римана;
- разложение в стоячие волны, или метод собственных колебаний, или метод Фурье;
- разложение по фундаментальным решениям, или по волнам от точечных источников, или метод Грина, или в физике упоминается ещё как принцип Гюйгенса.
(Они отвечают важным типам физических задач: задача рассеяния, стационарные состояния, и переходные процессы.)

А разговоры про потерю энергии и затухание отложим до момента, когда у вас эта картина в голове сложится. (По сути, потеря энергии - это ровно те же дискретные частоты, только немножко комплексные, так что экспоненты затухают, и возникают всякие резонансы конечной ширины. А тот факт, что любой процесс разлагается по этому дискретному базису, никуда не девается.)

Muha_ в сообщении #1065343 писал(а):

Поверхность барабана ограничена, поэтому периодические колебания соответствуют только определенным кратным размерам барабана гармоникам.

Вот это вы понимаете правильно. И дальше, у вас должно "щёлкнуть" в голове, что ничего кроме периодических колебаний, в барабане не существует.

Любое непериодическое колебание - это всего лишь сумма периодических с некратными периодами. В барабане полно таких некратных периодов (в более простых системах, например, в струне, могут быть только кратные, ну тогда и колебания будут только периодическими). Математически такое колебание - это блуждание по некоторому тору.

Muha_ в сообщении #1065343 писал(а):

Второй вопрос - аналогия с собственными значениями операторов. Если струна колеблется с длиной волны кратной длине струны, то можно описать ее состояние функцией, которая со временем будет не меняться а только умножаться на комплексное число (собственное состояние). Подобные функции составляют полный набор в смысле, что любое колебание можно представить в виде их суммы.
Как это все представить как нахождение собственных значений оператора не знаю.

Смотрите. Поставим рядом нестационарное уравнение Шрёдингера и стационарное уравнение Шрёдингера:

$$\xymatrix{{i\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}=\hat{H}\Psi\quad}\ar@{<->}[rrr]^{\textstyle i\dfrac{\partial\Psi}{\partial t}=E_k\Psi}&&&{\quad\hat{H}\Psi}=E_k\Psi.}$$

Условие сверху - это как раз условие, что функция со временем не меняется, а только умножается на комплексное число - потому что это уравнение попросту означает $\Psi=e^{-iE_k t}\Psi_0.$ А уравнение справа - это как раз уравнение на нахождение собственных значений $E_k$ и собственных функций $\Psi_k$ оператора $\hat{H}.$ (Со струной аналогично, но с УШ мне проще это показать.)

-- 22.10.2015 12:32:16 --

g______d в сообщении #1065348 писал(а):

В случае спектрального проектора мы, фактически, рассматриваем инвариантное подпространство оператора. При сужении оператора на инвариантное подпространство проследить за спектром легко. В случае ящика мы тоже сужаем оператор на подпространство, но не инвариантное.

"Интересно. А теперь по-русски?" Что такое инвариантное подпространство оператора? И что такое следить за спектром? :-)

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1065374 писал(а):

"Интересно. А теперь по-русски?" Что такое инвариантное подпространство оператора? И что такое следить за спектром?

Tо , которое оператор переводит в себя (тогда в силу самосопряженности таковым будет и ортогональное дополнение)

Нас интересует, что случится со спектром оператора. Если Вы сузите оператор на инвариантное подпространство, то спектр может только сузиться, часть спектра пропадёт. Если это инвариантное подпространство — образ спектрального проектора соответствующего какому-нибудь интервалу, то останется только спектр из этого интервала. Это птроисходит со всеми компонентами спектра (чисто точечным, абсолютно и сингулярно непрерывным отдельно).

А вот при сужении оператора на ящик меняется и спектр и его характер, причём явно "посчитать" спектр ящичного оператора как правило невозможно

[Munin]

О как. Спасибо, теперь ясно, почему g______d любит одно, и не любит другого.

А чем ящик так плох? Разве его нельзя достаточно просто описать на языке спектра?

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1065408 писал(а):

А чем ящик так плох? Разве его нельзя достаточно просто описать на языке спектра?

Можно. Но скажите, какая польза, например, от засовывания например 2мерного магнитного Шрёдингера?

Математики тоже время от времени это делают. Например, для введения плотности состояний.

[Munin]

Ну не знаю. Вдруг в физике такое случится где-нибудь. В поверхностных состояниях, например. А ящиком будет грань кристалла.

Кстати, если так посмотреть, то физиков, пожалуй, интересует смесь бульдога с носорогом: и ограниченный ящик, и в нём ещё и волновые пакеты, а не волны, заполняющие ящик целиком.

[g______d]

Munin в сообщении #1065408 писал(а):

Разве его нельзя достаточно просто описать на языке спектра?

Вопрос в том, каким образом спектр сужения оператора на ящик связан со спектром исходного оператора. Это на самом деле очень важный вопрос, потому что, например, для дискретного Шрёдингера оператор в ящике становится конечноменрным, и его спектр можно посчитать на компьютере.

Ну так вот, иногда можно получить спектр всего оператора путём некоего предельного перехода для последовательности расширяющихся ящиков. Но это будет информация о спектре как о множестве. Информацию о типе спектра извлечь отсюда очень затруднительно.

Фактически, действительно, при сужении оператора на ящик мы аппроксимируем не спектр, а плотность состояний. По ней восстанавливается спектр как множество (по крайней мере в ситуациях типа упомянутых выше -- AMO и модель Андерсона; есть даже теорема), но не тип спектра. Например, у AMO при $\lambda<1$ и при $\lambda>1$ одинаковая плотность состояний (с точностью до масштабирования), а тип спектра разный.

[Munin]

Спасибо. Осталась заноза: а для физики это важно? Или достаточно как раз "плотности состояний" и "спектра как множества"?

[g______d]

Важно. Я писал выше, но еще раз повторю. Разница в поведении решения уравнения Шредингера $\psi(t)=e^{iHt}\psi$.

Наиболее сильная разница между точечным и непрерывным спектром. В случае точечного спектра частица будет оставаться на месте. В случае непрерывного спектра она будет расползаться. Это теорема (называется теорема RAGE). Для AMO (см. пост Red_Herring) в режиме "c" будет точечный спектр, а в режиме "a" абсолютно непрерывный спектр. Т. е. качественное поведение волновых функций будет очень разным. А плотность состояний одинаковая.

Разница между абсолютно непрерывным и сингулярно непрерывным спектром более тонкая. Нужно рассмотреть среднее значение координаты как функцию времени: $x(t)=(x\psi(t),\psi(t))$. Оказывается, что во многих моделях с абсолютно непрерывным спектром $x(t)$ растет линейно со временем (это называется ballistic transport), а с сингулярно непрерывным спектром — медленнее, но все равно растет; порядка $t^{\gamma}$ для некоторого $0<\gamma<1$, т. е. происходит что-то типа диффузии.

Для точечного спектра, разумеется, $\gamma=0$.

Понятно, что эта $\gamma$ — величина, которую можно померить.

Среди моделей с сингулярно непрерывным спектром, видимо, следует упомянуть Fibonacci Hamiltonian. Ссылки на обзорные статьи по нему (включая физические) легко гуглятся. Это наиболее изученная математическая модель квазикристалла.

-- Чт, 22 окт 2015 12:35:22 --

Dan B-Yallay в сообщении #1065309 писал(а):

Подскажите список литературы.

Тоже мне проблема. Прочитайте Рида—Саймона, и будете знать больше меня :)

[Munin]

g______d в сообщении #1065587 писал(а):

Т. е. качественное поведение волновых функций будет очень разным. А плотность состояний одинаковая.

Да, вот это уже наконец наглядно.

Остаётся вопрос, можно ли как-то приближениями притянуть одно к другому. Но это вопрос абстрактный, потому что в деталях AMO я не разбираюсь.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

g______d в сообщении #1065587 писал(а):

Тоже мне проблема. Прочитайте Рида—Саймона, и будете знать больше меня :)

Спасибо. Осталось найти её.
А что делать, если потом захочется знать больше чем они??

[g______d]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1065980 писал(а):

А что делать, если потом захочется знать больше чем они??

Больше, чем Барри Саймон?

wiki писал(а):

Barry has always been remarkable for his vast knowledge of mathematics, so it was many years before I can recall ever telling him a published theorem he didn't already know. One day I saw Barry in Princeton shortly after a meeting and told him about an old inequality for PDEs, which, as I could tell from his intent look, was new to him. I said, "It seems to be useful. Do you want to see the proof?" His response "No, that's OK." Then he went to the board and wrote down a flawless proof on the spot.

[Munin]

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1065980 писал(а):

Спасибо. Осталось найти её.

Колхоз. Либген.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1066007 писал(а):

Колхоз. Либген.

Благодарю.

g______d в сообщении #1065995 писал(а):

Больше, чем Барри Саймон?

Ясно. Тогда хотя бы знать $\dfrac{\text{Barry Simon's knowledge}}{100}$.