Дискретнтые и непрерывные собственные значения - в чем суть?

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1064274 писал(а):

Математики, пожалуй, будут недовольны таким изложением.

Мне очень нравится изложение оттуда. Можно придраться к отсутствию полных доказательств, это да, но с формулировками там всё на высшем уровне. Мне было интересно, смогу ли я там найти серьёзный ляп, и, кажется, я не смог. Хотя это, конечно, говорит о чём-то, являющемся функцией как минимум двух вещей -- меня и книжки :)

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1064282 писал(а):

Мне очень нравится изложение оттуда.

Мне приходилось сталкиваться с математиками, которые на дух не переносят изложение Рихтмайера. Хотя из единичных случаев, конечно, нельзя делать общий вывод. Потому и "пожалуй", я ни на чем не настаиваю. Характерной особенностью Рихтмайера (довольно редкой для математиков, опять же лишь пожалуй) является то, что он хорошо понимает методологическую разницу между физикой и математикой (он и в предисловии об этом говорит). И потому для физиков излагает чистую математику в стиле, для них довольно понятном.

[Munin]

g______d в сообщении #1064267 писал(а):

Ну, как было сказано выше, наиболее правильная аналогия с мерами: любую меру можно разбить на 3 компоненты: точечную, абсолютно непрерывную и сингулярно непрерывную. Если понятие меры слишком абстрактно, можно рассмотреть вместо неё монотонную функцию на $\mathbb R$.

А монотонную функцию на какие компоненты надо разбивать? А то я перевода этих словей не знаю.

[g______d]

Munin в сообщении #1064400 писал(а):

А монотонную функцию на какие компоненты надо разбивать? А то я перевода этих словей не знаю.

Ок. Для начала заметим, что мера определяется своими значениями на множествах вида $(-\infty,x]$, и это является монотонной функцией $x$. Поэтому без разницы, работать с мерами или монотонными функциями. Будем работать с монотонными функциями.

Заметим, что монотонная функция имеет не более чем счетное число разрывов. Выделим эти разрывы в отдельную монотонную функцию, рассмотрев

$$ g(x)=\sum\limits_{y<x}\lim\limits_{t\to y+0}f(t)-\lim\limits_{t\to y-0}f(t). $$

Сумма имеет смысл, потому что ненулевых слагаемых не более чем счётное число. Функция $g$ монотонна, она называется "функцией скачков" функции $f$. Функция $h=f-g$ тоже монотонна и непрерывна; мы удалили все разрывы.

Дальше, более сложная теорема (без доказательства): монотонная функция почти везде дифференцируема, и её производная интегрируема по Лебегу. Рассмотрим $u(x)=\int_{-\infty}^x h'(t)\,dt$. Можно показать, что $v=h-u$ тоже монотонна.

Таким образом,

$$ f=g+u+v, $$

где все три слагаемых монотонны. $g$ является ступенчатой функцией, содержащей все разрывы $f$.

$u$ является абсолютно непрерывной функцией, т. е. дифференцируемой почти везде и удовлетворяющей формуле Ньютона-Лейбница.

$v$ почти везде дифференцируема, монотонна, и производная почти везде равна нулю. Такая функция называется сингулярно непрерывной.

Перейдём обратно к мерам. Мы разложили нашу меру на три компоненты: $\mu_{\mathrm{pp}}+\mu_{\mathrm{ac}}+\mu_{\mathrm{sc}}$ (purely point, absolutely continuous, and singular continuous, respectively). Охарактеризуем каждую из них.

$\mu_{\mathrm{pp}}$ -- это не более чем счётная сумма $\delta$-мер.

$\mu_{\mathrm{ac}}$ абсолютно непрерывна; иногда говорят "абсолютно непрерывна относительно меры Лебега". Она обладает тем свойством, что отличается от меры Лебега только весом. Т. е. для любого отрезка (или борелевского множества) $U$ имеем $\mu_{\mathrm{ac}}(U)=\int_U u'(t)\,dt$, где интеграл в правой части является обычным интегралом Лебега, а $u(x)=\mu_{\mathrm{ac}}(-\infty,x]$.

$\mu_{\mathrm{sc}}$ -- то, что осталось. Пример: канторова лестница. Это непрерывная монотонная функция с почти везде нулевой производной. Она порождает канторову меру, которая является сингулярно непрерывной.

[Munin]

Понятно. Большое спасибо! Пошёл курить пример Кантора-Валесница.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1064267 писал(а):

Первое нарушается, например, в модели Андерсона или в упомянутом выше Almost Mathieu (при $\lambda>1$ и почти всех $\alpha$ и $\omega$). Это называется "плотный точечный спектр"

Неизолированный—да, плотный—да, но к тому же и нигде не плотный.

Цитата:

Ну а действительность еще кошмарней

Как выясняется писал(а):

Theorem 1 (Metal-Insulator Transition).
(a) If  $\lambda< 1$, then for every  $\alpha$ and every $\omega$, the spectrum is purely absolutely continuous.
(b) If  $\lambda= 1$, then for every  and all but countably many $\omega$, the spectrum is purely singular continuous.
(c) If  $\lambda> 1$, then for almost every  $\alpha$ and almost every $\omega$ the spectrum is pure point and the eigenfunctions decay exponentially.
(d) If $\lambda> 1$, then for generic $\alpha$ and every $\omega$, the spectrum is purely singular continuous.
(e) If  $\lambda> 1$, then for every  $\alpha$ and generic $\omega$, the spectrum is purely singular continuous.

Theorem 2 (Ten Martini Problem). The spectrum of a Cantor set, that is, it is closed and it contains no isolated points and no intervals.

Обратите внимание на три последних утверждения в Теореме 1, в которых проявляется "ортогональность" понятий "общего положения" и "почти всякий". Я, сознаюсь, думал что это чисто математический артефакт, но, оказывается, она проявляется и в настоящих задачах

[g______d]

Red_Herring в сообщении #1064970 писал(а):

Неизолированный—да, плотный—да, но к тому же и нигде не плотный.

Да, в AMO он одновременно плотный и нигде не плотный; в смысле что собственные значения плотны в спектре, а спектр имеет положительную меру (в условиях пункта c)) и является канторовым множеством. А в модели Андерсона он просто плотен на полуоси.

Red_Herring в сообщении #1064970 писал(а):

Обратите внимание на три последних утверждения в Теореме 1, в которых проявляется "ортогональность" понятий "общего положения" и "почти всякий". Я, сознаюсь, думал что это чисто математический артефакт, но, оказывается, она проявляется и в настоящих задачах

Да, "топологически типичные" (т. е. dense $G_{\delta}$) множества могут иметь (и часто имеют) нулевую меру.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1064980 писал(а):

а спектр имеет положительную меру (в условиях пункта c))

У Вас есть хорошая ссылка?

g______d в сообщении #1064980 писал(а):

Да, "топологически типичные" (т. е. dense $G_{\delta}$) множества могут иметь (и часто имеют) нулевую меру.

Дело не в том, как разбить отрезок на множество меры 0 и на множество 1й категории, а в том, что это само выплыло в этой задаче.

[Munin]

Red_Herring в сообщении #1064970 писал(а):

Обратите внимание на три последних утверждения в Теореме 1, в которых проявляется "ортогональность" понятий "общего положения" и "почти всякий".

А как это может быть, и что это значит? Для дилетантов, если вообще можно объяснить.

[Red_Herring]

Munin в сообщении #1065028 писал(а):

А как это может быть, и что это значит? Для дилетантов, если вообще можно объяснить.

Есть два распространённых понятия пренебрежимого множества:

(1) Из теории меры: множества меры 0. В частности, $M \subset \mathbb{R}$ имеет меры 0 если для любого $\epsilon>0$ его можно покрыть не более чем счётной системой интервалов общей длины $<\epsilon$.

(2) Из топологии: множества 1й категории Бэра т.е. объединения не более чем счётного числа нигде не плотных множеств. $N \subset \mathbb{R}$ нигде не плотно если любой интервал $I$ содержит подинтервал $J$ полностью свободный от элементов $N: N\cap J=\emptyset$.

"Почти все" относится к (1): Утверждение справедливо для п.в. $x$ если оно справедливо для всех $x$ не принадлежащих множеству меры 0.

"Общего положения" относится к (2): там пренебрежимыми являются мн-ва 1й категории Бэра.

Многие естественно возникающие исключительные множества пренебрежимы в обоих смыслах. Однако известно, что числовую прямую (или отрезок) можно разбить на два подмножества—пренебрежимое в смысле (1) и пренебрежимое в смысле (2). В этом смысле эти два понятия "ортогональны". Тополог и специалист по теории меры могут разделить прямую так, что каждый возьмёт всю её, исключая нечто пренебрежимое (в его понимании). Но это упражнение по функциональному анализу. А тут такое возникает в естественной задаче первоначально никакого отношения к этому не имеющей.

А здесь такие множества

[Munin]

Арнольд. Теория катастроф:

Цитата:

Уитни заметил, что в случаях «общего положения» *) встречаются особенности (отображения гладкой поверхности на плоскость) лишь двух видов (складки и сборки). Все другие особенности разрушаются при малом шевелении тел или направлений проектирования, в то время как особенности этих двух видов устойчивы и сохраняются при малых деформациях отображения.

*) То есть для всех случаев, кроме некоторых исключительных.

Как-то я не могу сопоставить это с приведённым вами определением.

[Muha_]

Alex-Yu в сообщении #1064274 писал(а):

Я бы порекомендовал книгу Рихтмайера "Принципы современной математической физики" (2 тома). Этот вопрос в первом томе. Математики, пожалуй, будут недовольны таким изложением. Но для физика --- самый раз. И относительно несложно.

Попробовал читать. Ясно, что это надолго.

Интересно, можно ли как-то просто объяснить, откуда у самосопряженного оператора (наблюдаемой) вообще может появиться дискретный спектр одновременно с непрерывным. Если оператор - матрица, тогда спектр оператора дискретен. Если векторы заданы функциями, тогда спектр оператора непрерывен. Найти бы пример, где спектр дискретен несмотря на то, что векторы состояния - функции.

[Munin]

Muha_
Вот почему у барабана набор частот дискретен, вы понимаете?

[Alex-Yu]

Muha_ в сообщении #1065126 писал(а):

Если векторы заданы функциями, тогда спектр оператора непрерывен.

Это бы с какой такой радости? Бесконечно много собственных векторов -- да, но с чего бы спектр был непрерывным обязательно? Нет логики. Пример? Да в КМ их куча: тот же атом водорода. Да и в классической физике примеры найти можно. Возьмите колебания струны --- набор частот дискретный. А квадраты частот --- это как раз собственные числа некого оператора. Здесь, правда, функции не на всей оси чисел. Ну, можно взять электромагнитный волновод с переменным поперечным сечением. Для такого волновода, как известно, имеются "частоты отсечки": ниже некоторой частоты волна распространяться не может (волновое число становится мнимым, затухающая экспонента). Ну вот и берем бесконено длинный волновод с утолщением. В толстой части частота может будет выше частоты отсечки, а в тонких бесконечных концах --- ниже. Получится дискретный спектр (кроме непрерывного). Тонкими бесконечными концами волновод, в некоторой части частот, как бы "заперт", из волновода получается резонатор. А у резонатора дискретный набор частот.

Можно еще взять среду с переменной (от пространственной точки) диэлектрической проницаемостью. Тогда тоже резонатор может получится. Кстати, именно подобным образом получается оптоволоконный волновод. Правда, там только поперек излучение "заперто", поскольку повдоль неоднородности нет, повдоль волна может распространяться с любым волновым вектором (получается непрерывный спектр частот). Но если устроить еще неоднороднось диэлектрической проницаемости повдоль волокна тоже, то вполне можно "запереть" излучение в неком конечном участке волокна (по точно такому же механизму, как "запирается" излучение поперек волокна). Резонатор. Набор частот дискретный.

[Muha_]

Т.е. оператор с дискретным спектром при непрерывных волновых функциях я могу найти в рассмотрении энергии квантового гармонического осциллятора?
Пока читал только очень поверхностное рассмотрение. Там дискретность получалась из за "нефизичности" большинства решений. Это меня сбило с толку (причем здесь математика?). Почитаю более серьезные рассмотрения квантового осциллятора.