Высшие симметрии систем уравнений в частных производных

[VanD]

пианист в сообщении #1063398 писал(а):

А чем это поможет? в $u_1, u_2,..$ все равно "подтянутся" старшие производные, с тем же эффектом при "обрубании".

Да. Но c другой стороны, если напрямик ограничиться только теми преобразованиями, в которых производные порядка до $p - 1$ включительно преобразуются зависимо от производных порядка не старше, чем $p + k - 1$, то всё сработает как в примере с теплопроводностью.

То есть в случае:

$$ \begin{cases} x \to x'(x, u, \underset{p + k - 1}{u}, a),\\ u \to u'(x, u, \underset{p + k - 1}{u}, a),\\ \underset{1}{u} \to \underset{1}{u'} (x, u, \underset{p + k - 1}{u}, a),\\ ...\\ \underset{p - 1}{u} \to \underset{p - 1}{u'} (x, u, \underset{p + k - 1}{u}, a),\\ \underset{p}{u} \to \underset{p}{u'} (x, u, \underset{p + k}{u}, a),\\ ...\\ \underset{p + k}{u} \to \underset{p + k}{u'} (x, u, \underset{p + k}{u}, a) \end{cases} $$

формулы продолжения дадут нужный эффект (позволят группе не промахнуться распределением Картана мимо объемлющего распределения на $J^{p + k}$, проектирующегося в распределение Картана на $J^p$).

[Deggial]

флуд отделён

[VanD]

Теперь мне кажется, описанные преобразования совсем не то, что высшие симметрии.

Описанные преобразования множества решений системы действуют по схеме:
пусть $h$ - решение системы $S_p$, тогда искомое преобразование $T_g(L^p_h) = \pi_{p + k, p}(g(L^p_h))$ должно переводить решения в решения, где $g$ - элемент некоторой подходящей (в смысле подходящего действия на распределение Картана) локальной группы $G: J^{p + k} \to J^{p + k}$.
При этом пока не понятно даже, образуют ли $T_g, \ g \in G$ группу.

Думаю, что на самом деле в общем случае не образуют, потому что в общем случае $L^{p + k}_{\pi_{p + k, p}(g(L^p_h))} \neq g(L^p_h)$ и они, вероятно, не обратимы силами той же $G$, то есть к $T_g$ может не быть обратного $T_k, k \in G$.

[пианист]

Я все-таки не вижу, как Ваша конструкция способна обойти бесконечную цепочку зависимостей от производных следующего порядка.
Ни на каком порядке $k$ ограничиться необходимостью сохранения $d\underset{k}{u}-\underset{k+1}{u} \cdot dx = 0$ нельзя, потому что в формулы преобразования тех соотношений, которыми Вы ограничились, войдут производные следующих порядков, стало быть, нужно будет добавлять соотношения и для них.

[VanD]

Для групп преобразований ограничиться нельзя, но можно искать не группы подходящих преобразований $J^{p + l}$ в себя, для некоторых $l$ (я понимаю, что таких не будет, отличных от продолжений точечных/контактных), а нечто иное. На данный момент основная мысль заключается в следующем:
решения и систему с $J^p$ можно поднимать на $J^{p + k}$, откуда их можно отображать обратно на $J^p$ уже по-разному. Некоторые из таких отображений (пусть для простоты не семейства/группы из них, а просто одиночные) тоже могут отображать все решения системы (пусть регулярной, разрешимой) в её же решения. Для этого от такого отображения достаточно потребовать соблюдения двух условий:
1) Поднятую на $J^{p + k}$ систему отображать в систему на $J^{p}$
2) Распределение Картана на $J^{p + k}$ отображать в распределение Картана на $J^{p}$.

И эти требования менее жестокие, чем сохранить распределение Картана на $J^{p + k}$, да ещё и систему.

[пианист]

Речь не о дифференциальных подстановках?
Эти-то точно существуют; вот, уравнение Бюргерса, которое Вы вспоминали итт.

[VanD]

Да, речь теперь об отображениях $T: J^{p + k} \to J^p$, которые не являются преобразованиями (и группы они образовывать не могут из-за этого - операции на их множестве нет естественной). Зато можно находить что-то в духе "гладких семейств локальных отображений". Для этой цели можно использовать подходящие локальные группы на $J^{p + k}$ (потом ещё композицию с $\pi_{p + k, p}$ брать). А именно (насколько я понимаю):

если мы хотим, чтобы элементы такой группы (пусть речь об ОДУ - для УрЧП то же самое, только выписывать форм больше надо, группа однопараметрическая) распределение Картана на $J^{p + k}$ отображали в прообраз распределения Картана, лежащего на $J^{p}$ (прообраз при $d\pi_{p + k, p}$), то нам необходимо и достаточно потребовать сохранения в специальных координатах:

не всего пространства линейных комбинаций (с коэффициентами, зависящими от точки) форм $\omega^1, ..., \omega^{p + k}$, где $\omega^r = d\underset{r - 1}{u} - \underset{r}{u}dx$, а хоть какого-нибудь подпространства из линейных комбинаций форм $\omega^1, ..., \omega^p, w^{p + 1} = \lambda^{p + 1}_i \omega^{p + i}, ..., w^{p + k - 1} = \lambda^{p + k - 1}_i \omega^{p + i}$ (по $i$ предполагается суммирование, $\omega^1, ..., \omega^p, w^{p + 1}, ..., w^{p + k - 1}$ - независимы в каждой точке).

По крайней мере, в рассмотренном примере с уравнением теплопроводности так и получилось.

(Оффтоп)

Наверно, я непонятно выражаюсь, грубо говоря нам достаточно сохранения пусть не всей пфаффовой системы $\omega^s = 0$, а подсистемы, которая получится выкидыванием из этой последнего уравнения или подобным образом.

[пианист]

Не представляю, как бы преобразования непрерывной группы "распределение Картана на $J^{p + k}$ отображали в прообраз распределения Картана, лежащего на $J^{p}$ (прообраз при $d\pi_{p + k, p}$)" (т.е. переносили бы из одного заданного множества в другое заданное множество). Это отдельное конечное преобразование так может (ну, теоретически может, детально я не разобрался), но никак не группа. Группа может только сохранять что-то, что Вы ей укажете сохранять. Если решите сохранять подпространство, его и сохранит; соответственно, смысл производных нарушится, сохранятся только какие-то соотношения между ними как у "настоящих производных"; но как отсюда получится интересующее Вас свойство?

Не понял, что именно получилось с уравнением теплопроводности.

[VanD]

пианист в сообщении #1064750 писал(а):

Не понял, что именно получилось с уравнением теплопроводности.

С ним получилось следующее:
1) не сохраняя распределения Картана, тем не менее удалось сохранить некоторое другое распределение, содержавшее его:
если обозначить $\omega_{q} = dq - q_x dx - q_t dt$, то в этих терминах сохранилось ядро системы форм $\omega_u, \omega_{u_x}, \omega_{u_t}, \omega_{u_{xxx}}, \omega_{u_{xxt}}, \omega_{u_{xtt}}, \omega_{u_{ttt}}, \omega_{u_{xxxx}}, \omega_{u_{xxxt}}, \omega_{u_{xxtt}}, \omega_{u_{xttt}}, \omega_{u_{tttt}}$.

2) Кроме того, группа продолжение уравнения (до пятого порядка) удержала на поверхности $u_t = u_{xx}$, которая под действием проекции $\pi_{5, 2}$ отображается в исходное уравнение.

Группы преобразований $J^{p + k}$ в себя, отвечающие аналогичным двум требованиям, в композиции с проекцией $\pi_{p + k, p}$, дают гладкие семейства локальных отображений решений в решения. Основную сложность здесь представляет второе условие (под первое с грехом пополам можно предъявить алгоритм его проверки). Нужен какой-нибудь легко проверяемый критерий того, что орбита подповерхности целиком лежит на поверхности, где группа преобразует пространство, содержащее эти поверхности, в себя. У Вас такого не завалялось?)

[пианист]

VanD в сообщении #1064824 писал(а):

Группы преобразований $J^{p + k}$ в себя, отвечающие аналогичным двум требованиям, в композиции с проекцией $\pi_{p + k, p}$, дают гладкие семейства локальных отображений решений в решения

Почему Вы так думаете? Не вижу оснований.

[VanD]

Давайте введём несколько обозначений:

распределение Картана на $J^r$ обозначим $C_r$
прообраз $d \pi_{r + s, r}^{-1} (C_r)$ обозначим $C_{r + s, r}$
уравнение/систему, в которые входят производные порядка до $p$ включительно обозначим $S_p$
продолжение $S_p$, в которое входят производные порядка до $p + k$ включительно обозначим $S_p^{(k)}$
прообраз $\pi_{r + s, r}^{-1} (S_r)$ обозначим $S_{r + s, r}$

Идея следующая: если группа на $J^{p + k}$ переводит в себя некоторое распределение $C$, такое что $C_{p + k} \subset C \subset C_{p + k, p}$ и при этом переводит в себя некоторую поверхность $S$, такую что $S_p^{(k)} \subset S \subset S_{p + k, p}$, то после действия такой группой на решения, результат будет проектироваться в решение при помощи $\pi_{p + k, p}$. Это выполнится потому что решения $S_p^{(k)}$ лежат на $S$ и в каждой точке их касательные плоскости лежат в $C$, тогда и после действия группой это будет выполнено, а значит, результат под действием $\pi_{p + k, p}$ попадёт на $S_p$ и касательное пространство к результату в каждой точке попадёт в $C_p$, как сохранится и размерность поверхности-решения, потому что при действии самой $\pi_{p + k, p}$ она сохраняется, а такое семейство локальных отображений гладко зависит от параметра.
Но подходящей размерности интегральная поверхность $C_p$, лежащая на $S_p$ - и есть определение решения (в общем случае особого, непроектируемого).

Только как их прямо все находить - не понятно. Может, можно отдельные искать, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям, естественность которых пока под вопросом.

[VanD]

Такие группы (которые в композиции с проекцией дадут нужные семейства) можно искать исходя из необходимого условия, которому они подчиняются. А именно, алгебра Ли такой группы необходимо касается $S_{p + k, p}$ в точках $S_p^{(k)}$ и образ $C_{p + k}$ остаётся лежать в $C_{p + k, p}$.

Вопрос в том, как отсеять лишние группы, удовлетворяющие этим условиям. Можно добавить условия касания второго порядка для $S_{p + k, p}$ и орбиты точки с $S_{p}^{(k)}$ (в этой точке) и третьего и аналогично для распределения на вторые производные Ли и т.д. Однако, пока не понятно, насколько много окажется таких векторных полей. Какое-нибудь ещё условие бы на них найти, кроме порядка касания орбиты и прообраза системы.

[VanD]

Ещё наблюдение в тему, которое показалось мне интересным:

Рассмотрим уравнение первого порядка $\frac {\partial u}{\partial x} = 0$.
Его характеристическое поле будет иметь вид $\frac {\partial \ }{\partial x}$. Если теперь ограничить распределение Картана на уравнение, то окажется, что на уравнении поле $\frac {\partial \ }{\partial x}$ в каждой точке лежит в этом ограничении. И кроме того, его экспонента сохраняет это ограничение (ну и конечно же уравнение тоже).

Можно увидеть в некотором смысле аналогичную ситуацию с уравнением второго порядка $\frac {\partial^2 u}{\partial x^2} = 0$, если продолжить его до системы $\frac {\partial^2 u}{\partial x^2} = 0, \frac {\partial^3 u}{\partial x^2 \partial t} = 0, \frac {\partial^3 u}{\partial x^3} = 0$. Снова рассмотрим ограничение распределения Картана из $J^3(2, 1)$ на эту систему. Рассмотрим поле $\frac {\partial \ }{\partial x} + u_x \frac {\partial \ }{\partial u} + u_{xt}\frac {\partial \ }{\partial u_t} + u_{xtt}\frac {\partial \ }{\partial u_{tt}}$ - оно так же в каждой точке системы лежит в ограничении распределения. Его экспонента сохраняет пусть и не ограничение распределения Картана, но некоторое распределение, проекция которого на $\{u_{xx} = 0\} \subset J^2(2, 1)$ совпадает с проекцией ограничения распределения Картана. Кроме того, как было и с уравнением превого порядка, экспонента такого поля каждое решение будет переводить в себя. То есть, примерами полей, о которых я говорил ранее, будут ещё и такие, "псеводохарактеристические".

При этом, у уравнения $\frac {\partial^2 u}{\partial x \partial t} = 0$ я такого поля не нашёл сходу (подробно не проверял, но по аналогии не вышло ничего подобного).

[olenellus]

Прошу модераторов меня простить за развитие небольшого офтопа, но очень хотелось бы воспользоваться присутствием в теме одновременно VanD и пианист и задать вопрос по геометрической теории дифференциальных уравнений.

С этой теорией я поверхностно знаком только по работам школы Виноградова. Меня интересует, как в эту концептуальную схему вкладываются дифференциальные уравнения с граничными условиями. Если про задачу Коши в книжках Виноградова хоть что-то есть, то про краевые задачи есть только упомянания в контексте "материализации траекторий характеристических полей бесконечно продолженных уравнений" без подробностей.

Сам я понимаю, что должно быть так. Пусть у нас есть система $m$ дифференциальных уравнений порядка $k$ на $n$-мерном многообразии $M^n$, то есть, на тотальном пространстве расслоения струй $\pi_k \colon J^k(n,m) \to M^n$ записью уравнения в адаптированных координатах ($F_i(x_j,u_l,p_\sigma) = 0$) задано подмножество $\mathscr E$. Решения системы уравнений — это такие $n$-мерные интегральные многообразия распределения Картана, которые лежат на $\mathscr E$. Иначе, это $n$-мерные интегральные многообразия распределения, порождаемого распределением Картана на $\mathscr E$. Классические решения — решения, диффеоморфно проектирующиеся на $M^n$. Что есть граничные условия? Во-превых Должна быть некоторая граница - подмногообразие базы коразмерности 1, являющееся циклом. Её можно задать дополнительным уравнением на базе $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$. Потом можно понимать это уравнение, как уравнение в $J^k(n,m)$, которое тоже задаёт подмногообразие коразмерности 1, содержащие все вертикальные направления (вертикальный цилиндр над границей). Во-вторых, это само условие на границе. С традиционным линейным граничным условиeм первого рода, например, для уравнения второго порядка, вроде бы, всё просто. Оно сводится к дополнительному условию $u = 0$. С линейным граничным условием второго рода у меня уже возникают проблемы. Кажется, для его определения нужно иметь метрику на базе и как-то согласованно индуцировать метрическую структуру на пространстве струй. А хотелось бы научиться понимать геометрический смысл произвольных обобщённых нелинейных граничных условий. Но вернёмся к случаю одного уравнения второго порядка с линейными граничными условиями первого рода. Получается, полное граничное условие задаёт поверхность $ B = \{f = 0\} \cap \{u = 0\}$, $\operatorname{codim} B = 2$. Классическим решением $L$ краевой задачи с такими граничными условиями будет $n$-мерное интегральное многообразие распределения Картана, лежащее на $\mathscr E$, диффеоморфно проектирующееся на базу и пересекающее $B$ таким образом, что $L\cap B$ диффеоморфно $\pi_2 \{f = 0\}$. Так что ли?

Что делать с более общими случаями граничных условий? Где об этом лучше почитать?

[VanD]

olenellus в сообщении #1085817 писал(а):

как в эту концептуальную схему вкладываются дифференциальные уравнения с граничными условиями

К сожалению, я ещё не встречал в литературе ответа на этот вопрос, хотя мне самому интересно.

olenellus в сообщении #1085817 писал(а):

Классическим решением $L$ краевой задачи с такими граничными условиями будет $n$-мерное интегральное многообразие распределения Картана, лежащее на $\mathscr E$, диффеоморфно проектирующееся на базу и пересекающее $B$ таким образом, что $L\cap B$ диффеоморфно $\pi_2 \{f = 0\}$

Мне кажется, что граница с базы тоже должна как-то подниматься на $ \mathscr E \subset J^k(n,m)$. Вопрос в том, как корректно определить это поднятие. Понятно, что если решение краевой задачи существует единственное, то этим поднятием должно быть подмногообразие поднятия графика этого решения, проектирующееся в границу на базе. Тогда поднятие граничного условия на систему должно быть интегральным многообразием распределения Картана, размерности на 1 меньшей, чем размерность базы.

Но это только домыслы.