2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Высшие симметрии систем уравнений в частных производных
Сообщение09.06.2016, 09:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО

(Оффтоп)

Mea culpa, не ответил.
Тема еще актуальна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшие симметрии систем уравнений в частных производных
Сообщение09.06.2016, 17:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


12/06/09
951

(Оффтоп)

Да

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшие симметрии систем уравнений в частных производных
Сообщение10.06.2016, 08:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
olenellus в сообщении #1085817 писал(а):
Меня интересует, как в эту концептуальную схему вкладываются дифференциальные уравнения с граничными условиями

Вроде бы в статье Воробьев Е.М. Частичные симметрии систем дифференциальных уравнений.// ДАН СССР.– 1986.–Т.287.–№5.–С.408–418. что-то на эту тему было.
Т.е. точно, что Воробьев этим занимался, и кажется, именно этот текст. К сожалению, в сети не нашел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшие симметрии систем уравнений в частных производных
Сообщение22.06.2016, 21:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
VanD
Я все-таки не понимаю, как это можно использовать в мирных целях.
Вот смотрите: если $C \ne C_{p + k}$, это значит, что какие-то из производных после действия преобразования потеряют свой смысл.
Вы с этим согласны, но говорите, что эта трудность обходится за счет проектирования:
VanD в сообщении #1065012 писал(а):
Это выполнится потому что решения $S_p^{(k)}$ лежат на $S$ и в каждой точке их касательные плоскости лежат в $C$, тогда и после действия группой это будет выполнено

Текст я так и не вкурил (как решение может удовлетворять чему-то менее стеснительному, чем $C_{p + k}$?), но, ориентируясь на общее направление мысли (как я его уловил), полагаю, речь идет о том, что часть из производных нас по какой-то причине не интересует, поэтому мы их игнорируем, отбрасывая при проектировании. Но интересующие-то должны преобразовываться правильно, т.е. должно существовать "правильное" преобразование, совпадающее с "неправильным" на нужных координатах - ну так и давайте его, "правильное", рассматривать! В чем профит?
Скажем, в уже рассмотренном примере теплопроводности post1060595.html#p1060595
рассматриваемое преобразование не сохраняет соотношение
$du_{ttt} - u_{tttt}dt - u_{tttx}dx = 0$
поэтому смысл, скажем, $u_{tttt}$ теряется:
$u_{tttt} \rightarrow u_{tttt}$
вместо положенного
$u_{tttt} \rightarrow u_{tttt} + a u_{ttttxxx}$
Что это неправильно, убеждаемся, дифференцируя по $t$
$u_{tt} + a u_{ttxxx} = f_{tt}$
(предполагается, что решение, образ которого мы стоим, $u = f(t,x)$)
и вычитая соотношение
$u_{ttt}  = f_{ttt}$
получаем, что минимум должно быть
$u_{tttxxx} = 0$
что, очевидно, не для всех решений уравнения теплопроводности верно.
Так что процедура построения новых решений сбоит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшие симметрии систем уравнений в частных производных
Сообщение26.06.2016, 22:10 


29/08/13
282
пианист в сообщении #1133420 писал(а):
как решение может удовлетворять чему-то менее стеснительному, чем $C_{p + k}$

решения касаются $C_{p + k}$, которое лежит в $C$, следовательно, они касаются и $C$. Под действием преобразований, сохраняющих касание $C$, они будут переходить в поверхности, касающиеся $C$ (но в общем случае уже не касающиеся $C_{p + k}$). То есть они переходят не в решения, но это досадное обстоятельство корректирует проекция $\pi_{p + k, p}$.

пианист в сообщении #1133420 писал(а):
поэтому смысл, скажем, $u_{tttt}$ теряется:
$u_{tttt} \rightarrow u_{tttt}$
вместо положенного
$u_{tttt} \rightarrow u_{tttt} + a u_{ttttxxx}$

я хотел, чтобы преобразования образовывали группу (локальную).

пианист в сообщении #1133420 писал(а):
и вычитая соотношение
$u_{ttt}  = f_{ttt}$

если я не вру, в описанном примере с теплопроводностью для образа решения координата $u_{ttt}$ теряет смысл производной. Она не преобразуется, поэтому должно было быть $u_{ttt} = \varphi_{ttt}$, где $u = \varphi(x, t)$ -- решение, которое преобразовалось в $u = f(x, t)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшие симметрии систем уравнений в частных производных
Сообщение27.06.2016, 20:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
VanD в сообщении #1134161 писал(а):
решения касаются $C_{p + k}$, которое лежит в $C$, следовательно, они касаются и $C$. Под действием преобразований, сохраняющих касание $C$, они будут переходить в поверхности, касающиеся $C$ (но в общем случае уже не касающиеся $C_{p + k}$). То есть они переходят не в решения, но это досадное обстоятельство корректирует проекция $\pi_{p + k, p}$.

Для корректировки Вам нужно, чтобы порча старших производных не затрагивала младшие. Полагаю, это неверно.
В общем случае изменение одного коэффициента приводит к изменению всех координат.

VanD в сообщении #1134161 писал(а):
в описанном примере с теплопроводностью для образа решения координата $u_{ttt}$ теряет смысл производной.

Да
VanD в сообщении #1134161 писал(а):
Она не преобразуется, поэтому должно было быть $u_{ttt} = \varphi_{ttt}$, где $u = \varphi(x, t)$ -- решение, которое преобразовалось в $u = f(x, t)$.

Тут не понял. Как связаны $f(x, t)$ и $\varphi(x, t)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшие симметрии систем уравнений в частных производных
Сообщение27.06.2016, 21:13 


29/08/13
282
пианист в сообщении #1134246 писал(а):
Как связаны $f(x, t)$ и $\varphi(x, t)$?

Я понял, что неверно трактовал Ваши обозначения (я думал, что $u = f(x, t)$ -- это уже образ некоторого решения $u = \varphi(x, t)$, с которого мы стартовали).

Верну Ваши обозначения, надеюсь не запутать. Пусть было стартовое решение $u = f(x, t)$. Его преобразование из post1060595.html#p1060595 даст
$u' = f(x, t) + a\dfrac{\partial^3 f(x, t)}{\partial x^3}$,
$(u_t)' = \dfrac{\partial f(x, t)}{\partial t} + a\dfrac{\partial^4 f(x, t)}{\partial x^3 \partial t}$,
$(u_{xx})' = \dfrac{\partial^2 f(x, t)}{\partial x^2} + a\dfrac{\partial^5 f(x, t)}{\partial x^5}$, то есть решение перейдёт в решение так как $\dfrac{\partial f(x, t)}{\partial t} + a\dfrac{\partial^4 f(x, t)}{\partial x^3 \partial t} = \dfrac{\partial^2 f(x, t)}{\partial x^2} + a\dfrac{\partial^5 f(x, t)}{\partial x^5}$ верно.

пианист в сообщении #1134246 писал(а):
Для корректировки Вам нужно, чтобы порча старших производных не затрагивала младшие

в том же сообщении post1060595.html#p1060595 я "оборвал в координатах" бесконечный оператор симметрии для уравнения теплопроводности и в результате испортились преобразования зависимой переменной и всех производных, но испортились удачно, так что экспонента полученного поля сумела сохранить некоторое подходящее $C$. Я думаю, что в общем случае подобные "симметрии" как-то связаны с высшими, но, возможно, не напрямую. И способ построения их должен быть другой какой-то. Да и пока не ясно, может ли это быть полезно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшие симметрии систем уравнений в частных производных
Сообщение28.06.2016, 08:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
VanD в сообщении #1134252 писал(а):
решение перейдёт в решение

Надо тогда как-то опровергнуть появление допусловий:
пианист в сообщении #1133420 писал(а):
получаем, что минимум должно быть
$u_{tttxxx} = 0$

Или Вы имеете в виду - отдельные решения переходят в решения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшие симметрии систем уравнений в частных производных
Сообщение28.06.2016, 10:03 


29/08/13
282
пианист в сообщении #1134303 писал(а):
Надо тогда как-то опровергнуть появление допусловий:

Я, честно говоря, не понял, как они у Вас получились. Предыдущее рассуждение, если я не путаю, напрямую показывает, что решения $u = f(x, t), \ u_x = \dfrac{\partial f}{\partial x} , ..., u_{ttttt} = \dfrac{\partial^5 f}{\partial t^5}$ переходят сначала в некоторые поверхности, не являющиеся в общем случае решениями: $u = f(x, t) + a\dfrac{\partial^3 f}{\partial x^3}, ..., u_{ttttt} = \dfrac{\partial^5 f}{\partial t^5}$, но после действия на эти поверхности проекции $\pi_{5, 2}$ получаются уже честные решения $u = f(x, t) + a\dfrac{\partial^3 f}{\partial x^3}, ..., u_{tt} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2} + a\dfrac{\partial^5 f}{\partial t^2 \partial x^3}$.

пианист в сообщении #1133420 писал(а):
$u_{tt} + a u_{ttxxx} = f_{tt}$

Как у Вас появилось это равенство? Ведь $u = f(x, t)$ -- это вроде стартовое решение (которое подверглось преобразованию).

пианист в сообщении #1134303 писал(а):
Или Вы имеете в виду - отдельные решения переходят в решения?

Насколько я понимаю, в результате описанной процедуры по каждому решению в итоге восстанавливается решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшие симметрии систем уравнений в частных производных
Сообщение28.06.2016, 12:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
VanD в сообщении #1134316 писал(а):
пианист в сообщении #1133420 писал(а):
$u_{tt} + a u_{ttxxx} = f_{tt}$

Как у Вас появилось это равенство? Ведь $u = f(x, t)$ -- это вроде стартовое решение (которое подверглось преобразованию).

Да. Продолжаем его на второй порядок, берем выражение со второй производной по $t$, меняем все координаты на преобразованные (как бы в обратную сторону, так удобнее) в соответствии с post1060595.html#p1060595 (собс-но, только $u_{tt}$ и меняется), получаем соотношение, которое, стало быть, должно выполняться на том, что получается из решения после преобразования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшие симметрии систем уравнений в частных производных
Сообщение28.06.2016, 15:24 


29/08/13
282
пианист в сообщении #1134337 писал(а):
меняем все координаты на преобразованные

Если я правильно понял, так у Вас получится, что $u = f(x, t)$ -- это не исходное решение, а уже результат преобразования некоторого исходного решения $u = \varphi(x, t)$. Тогда в результате этого преобразования станет не $u_{ttt} = \dfrac{\partial^3 f}{\partial t^3}$, а $u_{ttt} = \dfrac{\partial^3 \varphi}{\partial t^3}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшие симметрии систем уравнений в частных производных
Сообщение28.06.2016, 17:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
?
Ну, пожалуйста, пусть будет $\varphi$.
Производные то мы тоже должны будем брать от нее же, так что это будет просто переобозначение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшие симметрии систем уравнений в частных производных
Сообщение28.06.2016, 17:36 


29/08/13
282
пианист в сообщении #1134420 писал(а):
Производные то мы тоже должны будем брать от нее же, так что это будет просто переобозначение.

Я пока что не понимаю, что Вас смущает. Ваше рассуждение просто доказывает, что нельзя вдоль произвольного решения получить преобразованную $u_{ttt}$ просто продифференцировав выражение для преобразованной $u_{tt}$. Но я об этом и говорил, что у части переменных "пропадёт смысл производных", то есть полученные поверхности перестанут быть поднятиями графиков $u = u(x, t)$, ну и ладно. Зато их проекции на $J^2(2, 1)$ уже станут честными поднятиями графиков, а большего нам и не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшие симметрии систем уравнений в частных производных
Сообщение29.06.2016, 06:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
VanD в сообщении #1134426 писал(а):
Я пока что не понимаю, что Вас смущает.

Я не понимаю, как Ваша механика работает.
Точнее, думаю, что "не взлетит".
VanD в сообщении #1134426 писал(а):
у части переменных "пропадёт смысл производных", то есть полученные поверхности перестанут быть поднятиями графиков $u = u(x, t)$, ну и ладно. Зато их проекции на $J^2(2, 1)$ уже станут честными поднятиями графиков, а большего нам и не надо.

Вот этого я и не понимаю. В общем случае случае все переменные перемешиваются. Откуда возьмется Ваша фильтрация?

 Профиль  
                  
 
 Re: Высшие симметрии систем уравнений в частных производных
Сообщение29.06.2016, 09:34 


29/08/13
282
пианист в сообщении #1134623 писал(а):
В общем случае случае все переменные перемешиваются. Откуда возьмется Ваша фильтрация?

В рассматриваемом случае (уравнение теплопроводности и его продолжение до 5 порядка) критерий такой фильтрации есть условие того, что экспонента векторного поля $X \in \Gamma(J^{5}(2, 1))$ сохраняет некоторое $C$ такое что $C_{5}\subset C\subset C_{5, 2}$ и некоторую $S$ такую что $S_{2}^{(3)}\subset S\subset S_{5, 2}$. Для выписанного ранее поля это выполняется, что и гарантирует успех :D. Тогда просто по определению решений уравнений $S_{2}, S^{(3)}_{2}$ композиция $\pi_{5, 2}\circ\exp(aX): J^5(2, 1) \to J^2(2, 1)$ переводит решения $S^{(3)}_{2}$ в решения $S_2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group