Высшие симметрии систем уравнений в частных производных

[пианист]

(Оффтоп)

Mea culpa, не ответил.
Тема еще актуальна?

[olenellus]

(Оффтоп)

Да

[пианист]

olenellus в сообщении #1085817 писал(а):

Меня интересует, как в эту концептуальную схему вкладываются дифференциальные уравнения с граничными условиями

Вроде бы в статье Воробьев Е.М. Частичные симметрии систем дифференциальных уравнений.// ДАН СССР.– 1986.–Т.287.–№5.–С.408–418. что-то на эту тему было.
Т.е. точно, что Воробьев этим занимался, и кажется, именно этот текст. К сожалению, в сети не нашел.

[пианист]

VanD
Я все-таки не понимаю, как это можно использовать в мирных целях.
Вот смотрите: если $C \ne C_{p + k}$, это значит, что какие-то из производных после действия преобразования потеряют свой смысл.
Вы с этим согласны, но говорите, что эта трудность обходится за счет проектирования:

VanD в сообщении #1065012 писал(а):

Это выполнится потому что решения $S_p^{(k)}$ лежат на $S$ и в каждой точке их касательные плоскости лежат в $C$, тогда и после действия группой это будет выполнено

Текст я так и не вкурил (как решение может удовлетворять чему-то менее стеснительному, чем $C_{p + k}$?), но, ориентируясь на общее направление мысли (как я его уловил), полагаю, речь идет о том, что часть из производных нас по какой-то причине не интересует, поэтому мы их игнорируем, отбрасывая при проектировании. Но интересующие-то должны преобразовываться правильно, т.е. должно существовать "правильное" преобразование, совпадающее с "неправильным" на нужных координатах - ну так и давайте его, "правильное", рассматривать! В чем профит?
Скажем, в уже рассмотренном примере теплопроводности post1060595.html#p1060595
рассматриваемое преобразование не сохраняет соотношение
$du_{ttt} - u_{tttt}dt - u_{tttx}dx = 0$
поэтому смысл, скажем, $u_{tttt}$ теряется:
$u_{tttt} \rightarrow u_{tttt}$
вместо положенного
$u_{tttt} \rightarrow u_{tttt} + a u_{ttttxxx}$
Что это неправильно, убеждаемся, дифференцируя по $t$
$u_{tt} + a u_{ttxxx} = f_{tt}$
(предполагается, что решение, образ которого мы стоим, $u = f(t,x)$)
и вычитая соотношение
$u_{ttt} = f_{ttt}$
получаем, что минимум должно быть
$u_{tttxxx} = 0$
что, очевидно, не для всех решений уравнения теплопроводности верно.
Так что процедура построения новых решений сбоит.

[VanD]

пианист в сообщении #1133420 писал(а):

как решение может удовлетворять чему-то менее стеснительному, чем $C_{p + k}$

решения касаются $C_{p + k}$, которое лежит в $C$, следовательно, они касаются и $C$. Под действием преобразований, сохраняющих касание $C$, они будут переходить в поверхности, касающиеся $C$ (но в общем случае уже не касающиеся $C_{p + k}$). То есть они переходят не в решения, но это досадное обстоятельство корректирует проекция $\pi_{p + k, p}$.

пианист в сообщении #1133420 писал(а):

поэтому смысл, скажем, $u_{tttt}$ теряется:
$u_{tttt} \rightarrow u_{tttt}$
вместо положенного
$u_{tttt} \rightarrow u_{tttt} + a u_{ttttxxx}$

я хотел, чтобы преобразования образовывали группу (локальную).

пианист в сообщении #1133420 писал(а):

и вычитая соотношение
$u_{ttt} = f_{ttt}$

если я не вру, в описанном примере с теплопроводностью для образа решения координата $u_{ttt}$ теряет смысл производной. Она не преобразуется, поэтому должно было быть $u_{ttt} = \varphi_{ttt}$, где $u = \varphi(x, t)$ -- решение, которое преобразовалось в $u = f(x, t)$.

[пианист]

VanD в сообщении #1134161 писал(а):

решения касаются $C_{p + k}$, которое лежит в $C$, следовательно, они касаются и $C$. Под действием преобразований, сохраняющих касание $C$, они будут переходить в поверхности, касающиеся $C$ (но в общем случае уже не касающиеся $C_{p + k}$). То есть они переходят не в решения, но это досадное обстоятельство корректирует проекция $\pi_{p + k, p}$.

Для корректировки Вам нужно, чтобы порча старших производных не затрагивала младшие. Полагаю, это неверно.
В общем случае изменение одного коэффициента приводит к изменению всех координат.

VanD в сообщении #1134161 писал(а):

в описанном примере с теплопроводностью для образа решения координата $u_{ttt}$ теряет смысл производной.

Да

VanD в сообщении #1134161 писал(а):

Она не преобразуется, поэтому должно было быть $u_{ttt} = \varphi_{ttt}$, где $u = \varphi(x, t)$ -- решение, которое преобразовалось в $u = f(x, t)$.

Тут не понял. Как связаны $f(x, t)$ и $\varphi(x, t)$?

[VanD]

пианист в сообщении #1134246 писал(а):

Как связаны $f(x, t)$ и $\varphi(x, t)$?

Я понял, что неверно трактовал Ваши обозначения (я думал, что $u = f(x, t)$ -- это уже образ некоторого решения $u = \varphi(x, t)$, с которого мы стартовали).

Верну Ваши обозначения, надеюсь не запутать. Пусть было стартовое решение $u = f(x, t)$. Его преобразование из post1060595.html#p1060595 даст
$u' = f(x, t) + a\dfrac{\partial^3 f(x, t)}{\partial x^3}$,
$(u_t)' = \dfrac{\partial f(x, t)}{\partial t} + a\dfrac{\partial^4 f(x, t)}{\partial x^3 \partial t}$,
$(u_{xx})' = \dfrac{\partial^2 f(x, t)}{\partial x^2} + a\dfrac{\partial^5 f(x, t)}{\partial x^5}$, то есть решение перейдёт в решение так как $\dfrac{\partial f(x, t)}{\partial t} + a\dfrac{\partial^4 f(x, t)}{\partial x^3 \partial t} = \dfrac{\partial^2 f(x, t)}{\partial x^2} + a\dfrac{\partial^5 f(x, t)}{\partial x^5}$ верно.

пианист в сообщении #1134246 писал(а):

Для корректировки Вам нужно, чтобы порча старших производных не затрагивала младшие

в том же сообщении post1060595.html#p1060595 я "оборвал в координатах" бесконечный оператор симметрии для уравнения теплопроводности и в результате испортились преобразования зависимой переменной и всех производных, но испортились удачно, так что экспонента полученного поля сумела сохранить некоторое подходящее $C$. Я думаю, что в общем случае подобные "симметрии" как-то связаны с высшими, но, возможно, не напрямую. И способ построения их должен быть другой какой-то. Да и пока не ясно, может ли это быть полезно.

[пианист]

VanD в сообщении #1134252 писал(а):

решение перейдёт в решение

Надо тогда как-то опровергнуть появление допусловий:

пианист в сообщении #1133420 писал(а):

получаем, что минимум должно быть
$u_{tttxxx} = 0$

Или Вы имеете в виду - отдельные решения переходят в решения?

[VanD]

пианист в сообщении #1134303 писал(а):

Надо тогда как-то опровергнуть появление допусловий:

Я, честно говоря, не понял, как они у Вас получились. Предыдущее рассуждение, если я не путаю, напрямую показывает, что решения $u = f(x, t), \ u_x = \dfrac{\partial f}{\partial x} , ..., u_{ttttt} = \dfrac{\partial^5 f}{\partial t^5}$ переходят сначала в некоторые поверхности, не являющиеся в общем случае решениями: $u = f(x, t) + a\dfrac{\partial^3 f}{\partial x^3}, ..., u_{ttttt} = \dfrac{\partial^5 f}{\partial t^5}$, но после действия на эти поверхности проекции $\pi_{5, 2}$ получаются уже честные решения $u = f(x, t) + a\dfrac{\partial^3 f}{\partial x^3}, ..., u_{tt} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial t^2} + a\dfrac{\partial^5 f}{\partial t^2 \partial x^3}$.

пианист в сообщении #1133420 писал(а):

$u_{tt} + a u_{ttxxx} = f_{tt}$

Как у Вас появилось это равенство? Ведь $u = f(x, t)$ -- это вроде стартовое решение (которое подверглось преобразованию).

пианист в сообщении #1134303 писал(а):

Или Вы имеете в виду - отдельные решения переходят в решения?

Насколько я понимаю, в результате описанной процедуры по каждому решению в итоге восстанавливается решение.

[пианист]

VanD в сообщении #1134316 писал(а):

пианист в сообщении #1133420 писал(а):

$u_{tt} + a u_{ttxxx} = f_{tt}$

Как у Вас появилось это равенство? Ведь $u = f(x, t)$ -- это вроде стартовое решение (которое подверглось преобразованию).

Да. Продолжаем его на второй порядок, берем выражение со второй производной по $t$, меняем все координаты на преобразованные (как бы в обратную сторону, так удобнее) в соответствии с post1060595.html#p1060595 (собс-но, только $u_{tt}$ и меняется), получаем соотношение, которое, стало быть, должно выполняться на том, что получается из решения после преобразования.

[VanD]

пианист в сообщении #1134337 писал(а):

меняем все координаты на преобразованные

Если я правильно понял, так у Вас получится, что $u = f(x, t)$ -- это не исходное решение, а уже результат преобразования некоторого исходного решения $u = \varphi(x, t)$. Тогда в результате этого преобразования станет не $u_{ttt} = \dfrac{\partial^3 f}{\partial t^3}$, а $u_{ttt} = \dfrac{\partial^3 \varphi}{\partial t^3}$.

[пианист]

?
Ну, пожалуйста, пусть будет $\varphi$.
Производные то мы тоже должны будем брать от нее же, так что это будет просто переобозначение.

[VanD]

пианист в сообщении #1134420 писал(а):

Производные то мы тоже должны будем брать от нее же, так что это будет просто переобозначение.

Я пока что не понимаю, что Вас смущает. Ваше рассуждение просто доказывает, что нельзя вдоль произвольного решения получить преобразованную $u_{ttt}$ просто продифференцировав выражение для преобразованной $u_{tt}$. Но я об этом и говорил, что у части переменных "пропадёт смысл производных", то есть полученные поверхности перестанут быть поднятиями графиков $u = u(x, t)$, ну и ладно. Зато их проекции на $J^2(2, 1)$ уже станут честными поднятиями графиков, а большего нам и не надо.

[пианист]

VanD в сообщении #1134426 писал(а):

Я пока что не понимаю, что Вас смущает.

Я не понимаю, как Ваша механика работает.
Точнее, думаю, что "не взлетит".

VanD в сообщении #1134426 писал(а):

у части переменных "пропадёт смысл производных", то есть полученные поверхности перестанут быть поднятиями графиков $u = u(x, t)$, ну и ладно. Зато их проекции на $J^2(2, 1)$ уже станут честными поднятиями графиков, а большего нам и не надо.

Вот этого я и не понимаю. В общем случае случае все переменные перемешиваются. Откуда возьмется Ваша фильтрация?

[VanD]

пианист в сообщении #1134623 писал(а):

В общем случае случае все переменные перемешиваются. Откуда возьмется Ваша фильтрация?

В рассматриваемом случае (уравнение теплопроводности и его продолжение до 5 порядка) критерий такой фильтрации есть условие того, что экспонента векторного поля $X \in \Gamma(J^{5}(2, 1))$ сохраняет некоторое $C$ такое что $C_{5}\subset C\subset C_{5, 2}$ и некоторую $S$ такую что $S_{2}^{(3)}\subset S\subset S_{5, 2}$. Для выписанного ранее поля это выполняется, что и гарантирует успех . Тогда просто по определению решений уравнений $S_{2}, S^{(3)}_{2}$ композиция $\pi_{5, 2}\circ\exp(aX): J^5(2, 1) \to J^2(2, 1)$ переводит решения $S^{(3)}_{2}$ в решения $S_2$.