2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение08.10.2015, 18:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Anton_Peplov в сообщении #1060542 писал(а):
Под "делит в отношении $2:5$" понимается, что длина отрезка $[a, x]$ относится к длине отрезка $[x, b]$ как $2$ к $5$? Или длина отрезка $[a, x]$ относится к длине всего отрезка $[a, b]$ как $2$ к $5$?

Первое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение13.10.2015, 23:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Предложу пару задач на базовые теоремы из анализа.

1. Пусть $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ - непрерывная функция, такая что $f(x)f(x) = x^2.$ Найти все такие $f$ и доказать что других нет.

2. Пусть $f$ - непрерывно дифференцируемая на отрезке $[0;1]$ функция, такая что $f(0)=0$ и $\max|f'(x)| + \max|f(x)|=1.$ Максимизировать площадь подграфика, т.е. найти $\sup \int\limits_{0}^{1} f(x)dx$ по всем таким $f$.

Во второй задаче уже имеется некий вычислительный процесс, но саму идею увидеть можно и без него.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение14.10.2015, 00:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8502
$f(x)f(x)$ - это в смысле $f^2(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение14.10.2015, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Лучше именно как написано. А то $f^2(x)$ можно случайно прочитать как $f\circ f(x),$ памятуя об обозначении $f^{-1}(x).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение14.10.2015, 00:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8502
Ага. Хорошая задача, поддерживаю.
Вторая все-таки для "проверки азов" сложновата.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение14.10.2015, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А я вот сразу сообразил, что максимум доставляется кусочно-линейной функцией из двух кусков: наклонного и горизонтального. Осталось найти корень квадратного уравнения, что уже нетрудно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение14.10.2015, 00:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8502
Ну, у меня в непрерывных и наглядно-геометрических делах с интуицией туго. Я больше клятый алгебраист по складу мышления:)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение18.10.2015, 13:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8502
Еще задачка на знание азов.
Построить всюду дифференцируемую функцию $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, которая является константой на $(-\infty, 0]$ и не является константой на $(0, \infty)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение18.10.2015, 15:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
$x^2\theta(x)$? Или вы про всюду бесконечно дифференцируемую функцию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение18.10.2015, 15:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8502
Не-не. Один раз дифференцируемую.
Собственно, задача на проверку тривиального понимания, что существование производной эквивалентно существованию, конечности и равенству правой и левой производной. А что такое $\theta(x)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение18.10.2015, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Функция Хевисайда. Просто чтобы не писать $\begin{cases}x^2,&x>0\\0,&x\leqslant 0.\end{cases}$

-- 18.10.2015 15:37:45 --

А при чём тут перечисленные вами "существование, конечность и равенство правой и левой производной", я как-то не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение18.10.2015, 16:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8502
Я имел в виду слепить функцию из константы слева и подходящей функции справа, например, так:
$\begin{cases}1,&x<0\\ \cos x ,&x\geqslant 0.\end{cases}$
В принципе, тут подойдет и сама функция Хевисайда, и даже более простая функция
$\begin{cases}0,&x<0\\ x ,&x\geqslant 0.\end{cases}$
Задача, собственно, в том, чтобы обеспечить дифференцируемость функции в точке $0$. А для этого достаточно поставить справа функцию, которая в точке $0$ совпадает с той константой, что слева, и имеет производную, равную нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение18.10.2015, 16:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Тогда, боюсь, вы неправы.
в нуле дифференцируема слева, дифференцируема справа, но не дифференцируема.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение18.10.2015, 16:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8502
Anton_Peplov в сообщении #1063975 писал(а):
В принципе, тут подойдет и сама функция Хевисайда, и даже более простая функция
$\begin{cases}0,&x<0\\ x ,&x\geqslant 0.\end{cases}$

Так, это беру назад. Не обратил внимания, что производная от $x$ равна единице. Глупейшая ошибка.
Но функция Хевисайда подойдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи на понимание
Сообщение18.10.2015, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ещё раз. $\theta(x)$ - это функция Хевисайда. А то, что я написал - это выражение с ней.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 113 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group