Задачи на понимание

[arseniiv]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1059299 писал(а):

Но во второй мне не нравится, что выражение $0x^2+0x+1=1$ не называют уравнением. Имхо, это полноценное уравнение.

Согласен. Но задачу-то можно рассказывать, даже не показывая их решение!

Munin в сообщении #1059299 писал(а):

И даже полиномиальное (хотя если придираться, то не квадратное, а несуществующей степени: нет наибольшей степени, при которой коэффициент не равен нулю).

Да ладно, уравнение нулевой же степени. Где «уравнение $n$-й степени» можно даже понимать как «уравнение не менее чем $n$-й степени». Это примерно из той же оперы, что подкольцо многочленов ровно одной степени не получится, а нужны и меньшие — только предыдущее этому «контравариантно».

Nemiroff в сообщении #1059205 писал(а):

Цитата:

Докажите, что невозможно построить середину отрезка, пользуясь только линейкой.

Линейка — «проективный» инструмент, а середина аффинная, QED. Интересно, что не всякому такая форма доказательства сойдёт с рук.

[Munin]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1059327 писал(а):

Да ладно, уравнение нулевой же степени. Где «уравнение $n$-й степени» можно даже понимать как «уравнение не менее чем $n$-й степени».

Это всё вопрос выбора термина в очевидно бессмысленной области. Я уже придумал название "уравнение $(-1)$-й степени", где "уравнение $n$-й степени" означает полиномиальное уравнение, где $n$ - минимальное число, что все коэффициенты полинома с $n+1$ и выше равны нулю.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Это чтобы уравнение нулевой степени всегда имело 0 корней?

[Munin]

(Оффтоп)

Ну например :-) (На комплексной плоскости, прошу внимания! И с учётом кратности!)

[Anton_Peplov]

Anton_Peplov в сообщении #1058638 писал(а):

Для этого функция $f(t)$ должна удовлетворять очевидным условиям, а именно:
1)$f(0) = 0$;
2)для любого $t>0$ $f(t)>0$;
3)для любых неотрицательных $t_1, t_2, t_3$ если $t_1 + t_2 \geqslant t_3$, то $f(t_1) + f(t_2) \geqslant f(t_3)$.

Попытался доказать пункт 3 для произвольной выпуклой функции, т.е. такой функции, что

Legioner93 в сообщении #1058655 писал(а):

$f(px + (1-p)y) \geq pf(x) + (1-p)f(y)$ для любых $p \in [0, 1]$.

Не смог. Подскажите идею, что ли.
При $p = \frac{1}{2}$ легко получаем уже цитированное неравенство $f(\frac{t_1 + t_2}{2})\geqslant \frac{f(t_1) + f(t_2)}{2}$. Ну и дальше что? Если бы из выпуклости функции удалось доказать, что для любых неотрицательных $t_1, t_2$ верно $f(t_1) +f(t_2)\geqslant f(t_1 + t_2)$, тогда все было бы просто: берем выпуклую возрастающую функцию и получаем, что для любых неотрицательных $t_1, t_2, t_3$ если $t_1 + t_2 \geqslant t_3$, то $f(t_1) + f(t_2) \geqslant f(t_1 + t_2) \geqslant f(t_3)$. Ну и как это доказать? Это вообще верно?

[provincialka]

Похоже в общем случае это неверно. Например, логарифм -- выпуклая функция. Но $\ln 1 + \ln e = 1 < \ln(e+1)$.

Возможно, неравенство верно, если $f(0)=0$, но я его еще не доказывала...

[Legioner93]

Anton_Peplov в сообщении #1060260 писал(а):

При $p = \frac{1}{2}$ легко получаем уже цитированное неравенство $f(\frac{t_1 + t_2}{2})\geqslant \frac{f(t_1) + f(t_2)}{2}$. Ну и дальше что?

У вас немного странная манера общения. Сначала вы "легко получаете" какую-то жухлую тривиальщину, а потом у меня спрашиваете "ну и дальше что?"

Anton_Peplov в сообщении #1060260 писал(а):

Если бы из выпуклости функции удалось доказать, что для любых неотрицательных $t_1, t_2$ верно $f(t_1) +f(t_2)\geqslant f(t_1 + t_2)$

Да, именно это и нужно получить. Чистой выпуклости вверх тут не хватит, но у нас есть есть ещё положительность значений и $f(0) = 0$
Пробуйте разные $p$.

Anton_Peplov в сообщении #1060260 писал(а):

Это вообще верно?

Если вы в чём-то сомневаетесь, то ставьте эксперимент. Приходят вам в голову какие-нибудь подходящие функции? $\sqrt{x}, \frac{x}{1+x}, \arctg(x) \cdots$

-- Ср окт 07, 2015 18:19:28 --

provincialka
Прочитайте исходное сообщение, прежде чем что-то доказывать. Все непонятки сразу пропадут.
А то вы уже второй человек, который стремительно приводит контпримеры к сообщения Anton_Peplov

[provincialka]

Чё, правда что ли читать? Уф... Ну, почитаю, ладно...
А! Я читала, помню... Ну и в каком состоянии сейчас дело? Кто кому что должен доказать?

-- 07.10.2015, 18:53 --

Anton_Peplov
А вы попробуйте представить себе свойство выпуклой функции образно. Ведь смысл его в том, что точка графика лежит выше секущей (для $x$ между точками их пересечения). Проведите секущую через точки $(0;0)$ и $(x+y; f(x+y))$. Точки $x$ и $y$ лежат между $0$ и $x+y$. Вот и запишите для каждой неравенство выпуклости. Для этого подсчитайте соответствующие $p$.

[Legioner93]

provincialka в сообщении #1060286 писал(а):

Кто кому что должен доказать?

Да никто не должен. Всё по желанию, если есть интерес.
То, что я разместил - это мои собственные результаты размышлений годичной давности на тему "а какая функция оставляет любую метрику метрикой".
Нашёл вполне приятное глазу достаточное условие и чуть более страшное необходимое условие (условно-небходимое, я бы сказал).
Я понятия не имею, где про это можно прочитать и насколько условия могут быть улучшены.

[provincialka]

Ну, достаточное-то проверяется легко. С необходимым надо повозиться. Вопрос был в том, что именно пытается (на данный момент) доказать ТС.

[Anton_Peplov]

provincialka в сообщении #1060286 писал(а):

Ведь смысл его в том, что точка графика лежит выше секущей (для $x$ между точками их пересечения). Проведите секущую через точки $(0;0)$ и $(x+y; f(x+y))$. Точки $x$ и $y$ лежат между $0$ и $x+y$.

За геометрический смысл спасибо. Если точки графика лежат выше секущей, то достаточно доказать, что искомое неравенство выполняется для самой секущей.
Пусть $z = kx$ - уравнение секущей, проходящей через $(0,0)$ и $(x+y, f(x+y))$. Понятно, что $kx + ky = k(x+y)$, а по построению $k(x+y) = f(x+y)$. Таким образом, $kx + ky = f(x+y)$. По геометрическому смыслу выпуклости, $f(x) \geqslant kx$ и $f(y) \geqslant ky$. Тогда $f(x) + f(y) \geqslant f(x+y)$.

Осталось получить этот геометрический смысл из неравенства выпуклости. Над этим я подумаю еще чуть-чуть.

[provincialka]

Anton_Peplov
Тут желательно знать, что такое "деление в данном отношении"

(Оффтоп)

Помню, как поразило меня решение этой задачи в 5 классе! Больше, наверное, чем любое другое математическое "открытие".

Например, если надо найти число $x$, которое делит отрезок $[a;b]$ в отношении $2:5$, как его выразить через $a,b$, а также $2$ и $5$ ?

[arseniiv]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1060517 писал(а):

За геометрический смысл спасибо.

У-у, а когда я про выпуклость подграфика писал, вы не видели?

[provincialka]

arseniiv
Повторенье -- мать ученья!

[Anton_Peplov]

provincialka в сообщении #1060522 писал(а):

Например, если надо найти число $x$, которое делит отрезок $[a;b]$ в отношении $2:5$, как его выразить через $a,b$, а также $2$ и $5$ ?

Под "делит в отношении $2:5$" понимается, что длина отрезка $[a, x]$ относится к длине отрезка $[x, b]$ как $2$ к $5$? Или длина отрезка $[a, x]$ относится к длине всего отрезка $[a, b]$ как $2$ к $5$?

arseniiv в сообщении #1060523 писал(а):

У-у, а когда я про выпуклость подграфика писал, вы не видели?

Видел. Запутался я тогда в этих многочисленных определениях выпуклости вверх, выпуклости вниз и просто выпуклости и решил дать себе время разобраться.