Задачи на понимание

[provincialka]

Anton_Peplov в сообщении #1060542 писал(а):

Под "делит в отношении $2:5$" понимается, что длина отрезка $[a, x]$ относится к длине отрезка $[x, b]$ как $2$ к $5$? Или длина отрезка $[a, x]$ относится к длине всего отрезка $[a, b]$ как $2$ к $5$?

Первое.

[demolishka]

Предложу пару задач на базовые теоремы из анализа.

1. Пусть $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ - непрерывная функция, такая что $f(x)f(x) = x^2.$ Найти все такие $f$ и доказать что других нет.

2. Пусть $f$ - непрерывно дифференцируемая на отрезке $[0;1]$ функция, такая что $f(0)=0$ и $\max|f'(x)| + \max|f(x)|=1.$ Максимизировать площадь подграфика, т.е. найти $\sup \int\limits_{0}^{1} f(x)dx$ по всем таким $f$.

Во второй задаче уже имеется некий вычислительный процесс, но саму идею увидеть можно и без него.

[Anton_Peplov]

$f(x)f(x)$ - это в смысле $f^2(x)$?

[Munin]

Лучше именно как написано. А то $f^2(x)$ можно случайно прочитать как $f\circ f(x),$ памятуя об обозначении $f^{-1}(x).$

[Anton_Peplov]

Ага. Хорошая задача, поддерживаю.
Вторая все-таки для "проверки азов" сложновата.

[Munin]

А я вот сразу сообразил, что максимум доставляется кусочно-линейной функцией из двух кусков: наклонного и горизонтального. Осталось найти корень квадратного уравнения, что уже нетрудно.

[Anton_Peplov]

Ну, у меня в непрерывных и наглядно-геометрических делах с интуицией туго. Я больше клятый алгебраист по складу мышления:)

[Anton_Peplov]

Еще задачка на знание азов.
Построить всюду дифференцируемую функцию $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, которая является константой на $(-\infty, 0]$ и не является константой на $(0, \infty)$.

[Munin]

$x^2\theta(x)$? Или вы про всюду бесконечно дифференцируемую функцию?

[Anton_Peplov]

Не-не. Один раз дифференцируемую.
Собственно, задача на проверку тривиального понимания, что существование производной эквивалентно существованию, конечности и равенству правой и левой производной. А что такое $\theta(x)$?

[Munin]

Функция Хевисайда. Просто чтобы не писать $\begin{cases}x^2,&x>0\\0,&x\leqslant 0.\end{cases}$

-- 18.10.2015 15:37:45 --

А при чём тут перечисленные вами "существование, конечность и равенство правой и левой производной", я как-то не понял.

[Anton_Peplov]

Я имел в виду слепить функцию из константы слева и подходящей функции справа, например, так:
$\begin{cases}1,&x<0\\ \cos x ,&x\geqslant 0.\end{cases}$
В принципе, тут подойдет и сама функция Хевисайда, и даже более простая функция
$\begin{cases}0,&x<0\\ x ,&x\geqslant 0.\end{cases}$
Задача, собственно, в том, чтобы обеспечить дифференцируемость функции в точке $0$. А для этого достаточно поставить справа функцию, которая в точке $0$ совпадает с той константой, что слева, и имеет производную, равную нулю.

[Munin]

Тогда, боюсь, вы неправы.

Anton_Peplov в сообщении #1063975 писал(а):

$\begin{cases}0,&x<0\\ x ,&x\geqslant 0\end{cases}$

в нуле дифференцируема слева, дифференцируема справа, но не дифференцируема.

[Anton_Peplov]

Anton_Peplov в сообщении #1063975 писал(а):

В принципе, тут подойдет и сама функция Хевисайда, и даже более простая функция
$\begin{cases}0,&x<0\\ x ,&x\geqslant 0.\end{cases}$

Так, это беру назад. Не обратил внимания, что производная от $x$ равна единице. Глупейшая ошибка.
Но функция Хевисайда подойдет.

[Munin]

Ещё раз. $\theta(x)$ - это функция Хевисайда. А то, что я написал - это выражение с ней.