Действие перестановок на функцию

[Olivka]

Зачем простые теоремы доказывать сложно?
Лемма. $\alpha\beta (f) = \alpha(\beta(f))$. Все условия оговорены.
Д-во. Рассмотрим действие подстановки на произвольный образ:
$\alpha\beta (f(...,x_i,...)) = f(...,x_{\alpha\beta (i)},...) = f(...,x_{\alpha(\beta (i))},...) =\alpha (f(...,x_{\beta (i)},...))= \alpha(\beta(f(...,x_i,...)))$

Brukvalub в сообщении #1062428 писал(а):

обозначения в учебнике Кострикина в этом месте стандартны

Можно посочувствовать тем, кто использует "стандартные" обозначения.

[Evgenjy]

Согласно определению (12) в книге Костарикина правила применения композиции перестановки и функции противоположно правилу композиции обычных функций. Если для обычных функций $f\circ g(x_1, x_2, ..., x_n)=f(g(x_1, x_2, ..., x_n))$, то для композиции перестановки с обычной функцией $\pi\circ f(x_1, x_2, ..., x_n)=f(\pi(x_1, x_2, ..., x_n))$. Соответственно при нескольких перестановках:

$$\alpha\circ\beta\circ\gamma\circ f(x_1, x_2, ..., x_n)=f(\gamma(\beta(\alpha(x_1, x_2, ..., x_n))))=(\alpha\cdot\beta\cdot\gamma)\circ f(x_1, x_2, ..., x_n),$$

где $$\alpha\cdot\beta\cdot\gamma$ есть произведение в группе перестановок.

[Olivka]

Evgenjy в сообщении #1062488 писал(а):

$\pi(x_1, x_2, ..., x_n)$.

Следует, прежде всего, считать, что подстановка действует не на сам набор аргументов, а на их номера, в результате получается другой образ. В учебнике (проверьте сами!) содержится, согласно определению (12), именно такой вариант: $(x_{\pi 1}, x_{\pi 2}, ..., x_{\pi n})$. Какую запись использовать — это кому как удобно, я не буду придираться.
Кроме того нужно отличать обычное действие подстановки на номер и введенную в книге операцию $\circ$. Образ номера — номер. Образ операции — функция.

Evgenjy в сообщении #1062488 писал(а):

$$\alpha\circ\beta\circ\gamma\circ f(x_1, x_2, ..., x_n)=...=(\alpha\cdot\beta\cdot\gamma)\circ f(x_1, x_2, ..., x_n),$$

Что вы этим хотели сказать?

Evgenjy в сообщении #1062488 писал(а):

$$f(\gamma(\beta(\alpha(x_1, x_2, ..., x_n))))=(\alpha\cdot\beta\cdot\gamma)\circ f(x_1, x_2, ..., x_n),$$

Это неверно. В качестве примера $f(x_1, x_2, x_3)$ возьмем импликацию между первым и вторым аргументом, третий не играет роли. Например $f(1, 1, 0)=1$. В роли подстановок нам подойдут транспозиции $(1,2)$, $(2,3)$ и тождественное преобразование ($\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ соответственно). Можно найти сразу цикл $(\alpha\cdot\beta\cdot\gamma)=(1,2,3)$. Подействуем этим циклом на наш образ:
$(1,2,3)\circ f(1, 1, 0)=(1,2,3)\circ f(x_1, x_2, x_3)=f(x_2, x_3, x_1)=f(1, 0, 1)=0$
Левую часть будем упрощать (можно сразу сократить тождественное преобразование):
$f(\beta(\alpha(1, 1, 0)))=f(\beta(\alpha(x_1, x_2, x_3)))=f(\beta(x_2, x_1, x_3))=f(x_3, x_1, x_2)=f(0, 1, 1)=1$

Evgenjy, подстановка (как функция) действует на номера, то есть на нижние индексы, найдите это определение в учебнике. На этом определении основано мое короткое доказательство.

[RIP]

Evgenjy в сообщении #1062488 писал(а):

Согласно определению (12) в книге Костарикина правила применения композиции перестановки и функции противоположно правилу композиции обычных функций.

Отнюдь. По крайней мере, в третьем издании от 2004 г., которое у меня перед глазами, написано:

Кострикин писал(а):

Определение. Пусть $\pi\in S_n$ и $f$ — функция от любых $n$ аргументов. Полагаем
\begin{equation*}(\pi\circ f)(x_1,\dotsc,x_n)=f(x_{\pi1},\dotsc,x_{\pi n}).\qquad(12)\end{equation*}
Говорят, что функция $g=\pi\circ f$ получается действием $\pi$ на $f$.

Здесь $\pi$ употребляется в двух разных смыслах. Справа от знака равенства это обычная перестановка. А слева та же самая буква $\pi$ обозначает на самом деле отображение, которое функцию $f$ переводит в функцию $\pi(f)=\pi\circ f$.

Olivka в сообщении #1062548 писал(а):

Evgenjy, подстановка (как функция) действует на номера, то есть на нижние индексы, найдите это определение в учебнике. На этом определении основано мое короткое доказательство.

На самом деле это не то же самое, что в книжке. Определение, от которого Вы отталкиваетесь, формулируется так: $\pi\bigl(f(x_1,\dotsc,x_n)\bigr)=f(x_{\pi1},\dotsc,x_{\pi n})$. Грубо говоря, подстановка действует не на функцию, а на выражение, в котором фигурируют иксы; действие заключается в том, что эти самые иксы переставляются. Это определение сложнее формализовать.

[arseniiv]

Olivka в сообщении #1062548 писал(а):

подстановка (как функция) действует на номера

Ничего не стоит считать вместо этого, что она действует на кортежи (в данном случае аргументов). Если $\pi\in S_n$ соответствует функция $\pi^*\colon X^n\to X^n$, переставляющая элементы кортежа, тогда, кстати, $\pi\circ f$ — это всего-навсего $f\circ\pi^*$, где композиция — обычная функциональная, и если показать гомоморфность звёздочки, всё остальное приложится.

[Deggial]

Olivka в сообщении #1062411 писал(а):

Что вы хотите понять? Вам непонятны сами идеи доказательств теорем, либо обозначения? Во втором случае надо сказать, что учебник по алгебре Кострикина написан самым неподобающим образом.

Olivka, предупреждение за систематический оффтоп в учебном разделе

[Olivka]

arseniiv в сообщении #1062626 писал(а):

Ничего не стоит считать вместо этого, что она действует на кортежи (в данном случае аргументов). Если $\pi\in S_n$ соответствует функция $\pi^*\colon X^n\to X^n$, переставляющая элементы кортежа, тогда, кстати, $\pi\circ f$ — это всего-навсего $f\circ\pi^*$, где композиция — обычная функциональная, и если показать гомоморфность звёздочки, всё остальное приложится.

Вы правильно написали, что необходимо, чтобы задать функцию. Полностью согласен. Но, как вы понимаете, этого абсолютно не достаточно. Существуют разные всевозможные функции $X^n\to X^n$, и пока не указан способ образования пар, функцию нельзя считать заданной. В учебнике автор определяет через образы номеров, и поэтому речь шла только об этом:

Цитата:

$\langle x_1, x_2, ..., x_n\rangle \mapsto \langle x_{\pi 1}, x_{\pi 2}, ..., x_{\pi n}\rangle$

В моем высказывании, которое вы процитировали, я не нахожу никаких неточностей. Подстановка (в данном случае $\pi$) действует, как и было сказано, на номера. А вот функция, которую вы обозначили $\pi^*$ действует на множестве упорядоченных наборов (или, если более удобно, кортежей). Это просто пример того, как одно отображение задаётся с помощью другого, так делают часто.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Вы просто выразились там слишком резко. Ничто не мешает отождествить $\pi$ с $\pi^*$. Для педантов можно даже организовать одну единственную функцию $\pi\cup\pi^*$ для каждой. В конце концов, можно гипотетически определить перестановки как перестановки элементов кортежа сразу, и тогда вытаскивать оттуда индексы будет не только не нужно, но и неудобно.

P. S. Заранее отказываюсь от продолжения беседы, потому что примерно ясно, что вы начнёте отвечать, что я не прав и т. п.. Если что-то другое — пожалуйста; я подумаю об ответе.

[Evgenjy]

Olivka в сообщении #1062548 писал(а):

Следует, прежде всего, считать, что подстановка действует не на сам набор аргументов, а на их номера, в результате получается другой образ.

Вы правы. В соответствии с принятыми определениями последнее высказывание должно быть следующее.

Соответственно при нескольких перестановках:

$$(\alpha\circ(\beta\circ(\gamma\circ f)))(x_1, x_2, ..., x_n)=f((\alpha\beta\gamma)(x_1, x_2, ..., x_n))=((\alpha\beta\gamma)\circ f)(x_1, x_2, ..., x_n),$$

где $\pi(y_1, y_2, ..., y_n)=(y_{\pi 1}, y_{\pi 2}, ..., y_{\pi n})$