Действие перестановок на функцию

[student1138]

Добрый день.

Помогите, пожалуйста разобраться с одним доказательством (или даже с обозначением в нем).

В учебнике Кострикина "Введение в алгебру. Часть 1" доказывается одна лемма о действии композиции перестановок на функцию. А именно:

Цитата:

Определение. Пусть $\pi$ - перестановка на множестве из n элементов и f - функция от любых n аргументов. Полагаем:
$\pi \circ f(x_1, ..., x_n) = f(x_{\pi(1)}, ..., x_{\pi(n)})

Лемма. Пусть $\alpha, \beta$ - любые перестановки, тогда
$(\alpha\beta)\circ f = \alpha \circ (\beta \circ f)$

Доказательство. В соответствии с определением имеем:
$\alpha \circ (\beta \circ f)(x_1, ..., x_n) = (\beta \circ f)(x_{\alpha(1)}, ..., x_{\alpha(n)})$, ...

Здесь мне не понятно почему сначала применяется перестановка $\alpha$, ведь в соответствии со скобками кажется что должна применться сначала $\beta$, т.е. в моем понимании: $\alpha \circ (\beta \circ f) = \alpha(\beta(f))$

И что еще больше запутывает, это то что в последующих доказательствах, опирающихся на эту лемму, он применяет перестановки в обратном порядке.

Я проверял руками на бумаге - действительно правильно получается если действовать в том порядке в котором написано в учебнике (т.е. сначала $\alpha$ потом $\beta$). Но тогда это противоречит привычному использованию скобок. Т.к. в соответствии со скобками должно было бы быть наоборот.

[Otta]

Ну а что странного, обозначьте $\beta\circ f = g$, например. И действуйте по определению.

[student1138]

Я так и делал но ведь это означает что сначала должна действовать на функцию перестановка $\beta$.

А в доказательстве сначала действует перестановка $\alpha$. Причем это правильно, это дает правильный итоговый результат а если сначала действует $\beta$ то результат неправильный (руками проверял).

Вот я и думаю - здесь что какое-то нестандартное применение скобок или я неправильно понимаю запись $\alpha \circ ( \beta \circ f)$ ?

[Otta]

student1138 в сообщении #1062191 писал(а):

Я так и делал но ведь это означает

Напишите здесь это подробно, пожалуйста.

[student1138]

Ну в моем понимании если $h = \alpha \circ (\beta \circ f)$ то последовательнось операций должна быть такой:

1) $g = \beta \circ f$
2) $h = \alpha \circ g$

Т.е. на первом шаге перестановка $\beta$ действует на функцию f, на втором шаге перестановка $\alpha$ действует на получившуюся из первого шага функцию.

[Otta]

Зачем Вам лишнее обозначение?
Ну и чему равно $\alpha\circ g (x_1,\ldots, x_n)$? Пишите формулы, не надо слов.

[student1138]

Хорошо, обозначим $g = \beta \circ f$. Тогда $g = f(x_{\beta(1)}, ..., x_{\beta(n)})$.

Обозначим $y_k = x_{\beta(k)}$. Тогда
$\alpha \circ g(y_1, ..., y_n) = g(y_{\alpha(1)}, ..., y_{\alpha(n)}) = f(x_{\beta(\alpha(1))}, ..., y_{\beta(\alpha(n))}) = f(x_{\beta\circ\alpha(1)}, ..., y_{\beta\circ\alpha(n)}) = (\beta\circ\alpha)\circ f $

Таким образом если следовать моему пониманию порядка операций, получается что $\beta$ и $\alpha$ должны были бы поменяться местами в итоговом выражении. Но в учебнике они уже на первом шаге действуют в ином порядке поэтому в итоговом выражении бета и альфа на своих местах.

[Otta]

student1138
Вы можете ответить на тот вопрос, который задан, не отвлекаясь на другие?
Не надо никаких

student1138 в сообщении #1062203 писал(а):

Тогда $g = f(x_{\beta(1)}, ..., x_{\beta(n)})$.

Чему равно $\alpha\circ g (x_1,\ldots, x_n)$?

[student1138]

Otta в сообщении #1062205 писал(а):

Чему равно $\alpha\circ g (x_1,\ldots, x_n)$?

Оно равно $f(x_{\alpha\beta(1)}, ..., x_{\alpha\beta(n)})$

[Otta]

Там буковка $g$ была. А буковки $f$ не было.
Не спешите, пишите все пошагово.

[student1138]

Otta в сообщении #1062215 писал(а):

Там буковка $g$ была. А буковки $f$ не было.
Не спешите, пишите все пошагово.

Расписываю подробнее как получил такой результат. Пусть $g = \beta \circ f$. Тогда
$ \alpha \circ (\beta \circ f)(x_1, ..., x_n) = \alpha \circ g(x_1, ..., x_n) = g(x_{\alpha(1)}, ..., x_{\alpha(n)}) = \beta \circ f(x_{\alpha(1)}, ..., x_{\alpha(n)}) = f(x_{\alpha\beta(1)}, ..., x_{\alpha\beta(n)}) = (\alpha \circ \beta)f $

На самом деле в таком варианте все сходится с утверждением леммы. Только я еще не до конца понял что неправильно в моих предыдущих рассуждениях. Надо будет подумать над этим.

Otta, спасибо за помощь!

[Otta]

Ага, ну хорошо. Просто не всегда правильно понимают, что такое $\alpha\beta (1)$.

[RIP]

student1138 в сообщении #1062203 писал(а):

Обозначим $y_k = x_{\beta(k)}$. Тогда
$\alpha \circ g(y_1, ..., y_n)=g(y_{\alpha(1)}, ..., y_{\alpha(n)})$

Это неверно. Перестановки действуют на номера иксов, а не игреков. Игреки — это функции от иксов, поэтому к ним перестановку нужно применять в соответствии с определением. Скажем, $y_1=x_{k}$, где $k=\beta(1)$. Действуя на это альфой, получаем $\alpha\circ y_1=x_{\alpha(k)}=x_{\alpha(\beta(1))}$.

[student1138]

Почитал еще учебник и все-таки непонимание остается. Вопрос не в доказательстве леммы а именно в порядке применения транспозиций (допустим все перестановки - транспозиции).

Исходя из нашего доказательства леммы выше, порядок действия транспозиций на функцию - от первой к последней т.е.:
1) Берем транспозицию $\alpha$, меняем местами переменные в соответствии с ней,
2) Берем транспозицию $\beta$, меняем местами переменные в соответствии с ней,
И так далее.
И это действительно так, я руками на бумажке проверял.

Однако дальше по учебнику идет доказательство с помощью кососимметрических функций того что четность перестановки не зависит от разложения на транспозиции и там автор действует в обратном порядке. Ниже цитата из учебника. Сразу прошу администрацию извинить за скриншот, но в данном случае не рационально перебивать сюда руками учебник.



Это сбивает меня с толку - во втором доказательстве порядок от $k$ к $1$ хотя в соответствии с леммой должен был бы быть от $1$ к $k$

-- 13.10.2015, 23:20 --

RIP
Спасибо, но теперь это не так важно т.к. с доказательством леммы вроде разобрались и главный вопрос теперь не в этом (см. выше).

[RIP]

student1138 в сообщении #1062286 писал(а):

Исходя из нашего доказательства леммы выше, порядок действия транспозиций на функцию - от первой к последней т.е.:
1) Берем транспозицию $\alpha$, меняем местами переменные в соответствии с ней,
2) Берем транспозицию $\beta$, меняем местами переменные в соответствии с ней,

Нет, как раз наоборот. Сначала применяется $\beta$ — в результате функция $f(x_1,\dotsc,x_n)$ меняется на функцию $g(x_1,\dotsc,x_n)=f(x_{\beta(1)},\dotsc,x_{\beta(n)})$. Затем переменные у функции $g$ переставляются в соответствии с $\alpha$.