Действие перестановок на функцию

[student1138]

Нет, сначала применяется $\alpha$, вот прямо руками на конкретном примере проверял:

Пусть $\alpha = (1, 2), \beta = (1, 3)$. Тогда $\alpha \circ \beta = (2, 1, 3)$.

Имеем $f(x, y, z)$. Проверим что действие $\alpha, \beta$ в указанном прядке на функцию $f$ даст такой же результат как и действие $\alpha \circ \beta$ и что действие в обратном порядке даст отличный результат.

1) Действуем $\alpha$: $\alpha \circ f(x, y, z) = f(y, x, z)$
2) Действуем $\beta$: $\beta \circ f(y, x, z) = f(z, x, y)$
Во втором шаге нет ошибки: меняются местами именно аргументы в позициях 1 и 3 в соответствии с определением действия перестановки на функцию (она действует по номеру позиции).

Теперь подействуем на ту же функцию перестановкой $(2, 1, 3)$:
$(2, 1, 3) \circ f(x, y, z) = f(z, x, y)$

Результат совпал. Если же провести шаги 1 и 2 в обратном порядке то результат будет другой.

Отсюда я делаю вывод что запись $\alpha \circ (\beta \circ f)$ означает действие сначала $\alpha$, затем $\beta$ (и кстати при доказательстве леммы выше в выражениях оно именно так и получается)

[Otta]

student1138 в сообщении #1062337 писал(а):

Пусть $\alpha = (1, 2), \beta = (1, 3)$. Тогда $\alpha \circ \beta = (2, 1, 3)$.

Вы их, кажись, перемножили не в том порядке.

[arseniiv]

student1138
Значит, у вас с Кострикиным порядок умножения перестановок не совпадает, т. е. то, что вы пишете как $\alpha\circ\beta$, он записывает $\beta\circ\alpha$. В ходу обе договорённости, хотя удобнее та, которая согласована как раз с их левым действием, потому что его чаще пишут, чем правое.

[student1138]

Otta в сообщении #1062346 писал(а):

student1138 в сообщении #1062337 писал(а):

Пусть $\alpha = (1, 2), \beta = (1, 3)$. Тогда $\alpha \circ \beta = (2, 1, 3)$.

Вы их, кажись, перемножили не в том порядке.

Вроде в правильном, ведь это просто композиция отображений т.е. $(\alpha \circ \beta)(x) = \alpha(\beta(x))$. Таким образом сначала выполняется отображение $\beta$, затем $\alpha$. Если на бумаге расписать то получается такая перестановка: $\alpha \circ \beta = (1 \to 3, 2 \to 1, 3 \to 2) = (2, 1, 3)$

-- 14.10.2015, 00:59 --

arseniiv в сообщении #1062348 писал(а):

student1138
Значит, у вас с Кострикиным порядок умножения перестановок не совпадает, т. е. то, что вы пишете как $\alpha\circ\beta$, он записывает $\beta\circ\alpha$. В ходу обе договорённости, хотя удобнее та, которая согласована как раз с их левым действием, потому что его чаще пишут, чем правое.

Не похоже. На странице 37 этого же учебника он определяет композицию отображений именно так как я ее понимаю: $(f \circ g)(u) = f(g(u))$. И непосредственно из цитаты на скриншоте выше видно что он в доказательстве применяет отображения в таком порядке. Я еще дополнительно перепроверил по другому примеру из этого учебника: $(1 2 3) = (1 3)(1 2)$. Сначала применяется $(1 2)$ затем $(1 3)$

[Otta]

student1138 в сообщении #1062337 писал(а):

Пусть $\alpha = (1, 2), \beta = (1, 3)$. Тогда $\alpha \circ \beta = (2, 1, 3)$.

Хорошо.
Тогда

$$(\alpha\circ(\beta\circ f))(x_1,x_2,x_3)=(\beta\circ f)(x_2,x_1,x_3)=f(x_2,x_3,x_1)=((\alpha\circ\beta)\circ f) (x_1,x_2,x_3)$$

[RIP]

Otta в сообщении #1062358 писал(а):

student1138 в сообщении #1062337 писал(а):

Пусть $\alpha = (1, 2), \beta = (1, 3)$. Тогда $\alpha \circ \beta = (2, 1, 3)$.

Хорошо.
Тогда

$$(\alpha\circ(\beta\circ f))(x_1,x_2,x_3)=(\beta\circ f)(x_2,x_1,x_3)=f(x_2,x_3,x_1)=((\alpha\circ\beta)\circ f) (x_1,x_2,x_3)$$

У меня получается $(\beta\circ f)(x_2,x_1,x_3)=f(x_3,x_1,x_2)=\bigl((\alpha\circ\beta)\circ f\bigr)(x_1,x_2,x_3)$.

[Otta]

Да, Вы правы, конечно. )) Совсем уже спать пора ((

[RIP]

student1138 в сообщении #1062337 писал(а):

Пусть $\alpha = (1, 2), \beta = (1, 3)$. Тогда $\alpha \circ \beta = (2, 1, 3)$.

Имеем $f(x, y, z)$. Проверим что действие $\alpha, \beta$ в указанном прядке на функцию $f$ даст такой же результат как и действие $\alpha \circ \beta$ и что действие в обратном порядке даст отличный результат.

1) Действуем $\alpha$: $\alpha \circ f(x, y, z) = f(y, x, z)$
2) Действуем $\beta$: $\beta \circ f(y, x, z) = f(z, x, y)$
Во втором шаге нет ошибки: меняются местами именно аргументы в позициях 1 и 3 в соответствии с определением действия перестановки на функцию (она действует по номеру позиции).

В принципе правильно, только рассуждать нужно в обратном порядке:
1) Сначала считаем функцию $g(x,y,z)=(\beta\circ f)(x,y,z)=f(z,y,x)$.
2) Потом к полученной функции применяем $\alpha$: $(\alpha\circ g)(x,y,z)=g(y,x,z)=f(z,x,y)$.

-- Ср 14.10.2015 02:00:03 --

Т.е. перестановку $\alpha$ Вы в итоге применяете к функции $\beta\circ f$, а не к функции $f$.

[student1138]

RIP в сообщении #1062381 писал(а):

В принципе правильно, только рассуждать нужно в обратном порядке:
1) Сначала считаем функцию $g(x,y,z)=(\beta\circ f)(x,y,z)=f(z,y,x)$.
2) Потом к полученной функции применяем $\alpha$: $(\alpha\circ g)(x,y,z)=g(y,x,z)=f(z,x,y)$.
Т.е. перестановку $\alpha$ Вы в итоге применяете к функции $\beta\circ f$, а не к функции $f$.

По-моему тут вкралась ошибка. Я переобозначю переменные в g чтобы не путать:

1) Сначала считаем функцию $g(a,b,c)=(\beta\circ f)(x,y,z)=f(z,y,x)$.
2) Потом к полученной функции применяем $\alpha$: $(\alpha\circ g)(a,b,c)=g(b,a,c)=f(y,z,x)$.

[RIP]

student1138 в сообщении #1062404 писал(а):

Я переобозначю переменные в g чтобы не путать:

Из-за этих переобозначений переменных путаницы ещё больше.

student1138 в сообщении #1062404 писал(а):

1) Сначала считаем функцию $g(a,b,c)=(\beta\circ f)(x,y,z)=f(z,y,x)$.

Кто такие $a,b,c$? $f(z,y,x)$ не зависит ни от каких $a,b,c$.

-- Ср 14.10.2015 07:51:59 --

Попробуем так. Забудем про перестановки. Ограничимся функциями $\mathbb R\to\mathbb R$. Пусть $f(x)=2x$, $g(x)=x^2$. Допустим, что мы хотим посчитать $f\circ(g\circ h)$ для некоторой абстрактной функции $h$ ($\circ$ — обычная композиция).

Вы считаете так: $f\circ(g\circ h)=2\cdot(g\circ h)=2h^2$.

А я предлагаю считать так: $f\circ(g\circ h)=f\circ(h^2)=2h^2$.

Разницы нет. С перестановками примерно то же самое.

[Olivka]

student1138, на второй странице темы я потерял уже терпение разбирать эти записи: выглядит слишком запутанно и вообще как-то непристойно. Только напомню, что для подстановок (а иногда даже для функций) используется первое соглашение:
$\alpha \circ \beta (j) = \alpha(\beta(j))$
Что вы хотите понять? Вам непонятны сами идеи доказательств теорем, либо обозначения? Во втором случае надо сказать, что учебник по алгебре Кострикина написан самым неподобающим образом.

[student1138]

Olivka в сообщении #1062411 писал(а):

student1138, на второй странице темы я потерял уже терпение разбирать эти записи: выглядит слишком запутанно и вообще как-то непристойно. Только напомню, что для подстановок (а иногда даже для функций) используется первое соглашение:
$\alpha \circ \beta (j) = \alpha(\beta(j))$
Что вы хотите понять? Вам непонятны сами идеи доказательств теорем, либо обозначения? Во втором случае надо сказать, что учебник по алгебре Кострикина написан самым неподобающим образом.

Меня смутило то что при доказательстве (см. цитату в моем посте от 13.10.2015, 23:10) в учебнике используется не тот порядок применения перестановок который вроде бы следует из леммы. Вот я и подумал что я может как-то неправильно понимаю в каком порядке их нужно применять.

Тем не менее, это доказательство вроде бы проходит если применять перестановки и в другом порядке. Поэтому, чтобы больше тратить время уважаемых участников форма, предлагаю эту тему закрыть.

Всем большое спасибо за помощь!

[Brukvalub]

Olivka в сообщении #1062411 писал(а):

Вам непонятны сами идеи доказательств теорем, либо обозначения? Во втором случае надо сказать, что учебник по алгебре Кострикина написан самым неподобающим образом.

Ага, и Kras, пока его не забанили, тоже ругал напропалую все, до чего он смог дотянуться, но не понял.
Раз уж вы взялись ругать учебник Кострикина, будьте любезны указать в нем конкретные "неподобающие" обозначения, чтобы ваша ругань стала предметной, а не "сам не читал, но осуждаю".

[Olivka]

Для того, чтобы разобраться с одним доказательством (или даже с обозначением в нем), ув. собеседники исписали 2 страницы и, по-моему, особенно не преуспели. Brukvalub, если вам этого кажется мало, то лучше всего создать отдельную тему, и возможно я вам отвечу. Здесь могут всё это расценить как оффтоп, мне уже были такие замечания.

[Brukvalub]

Olivka в сообщении #1062421 писал(а):

Для того, чтобы разобраться с одним доказательством (или даже с обозначением в нем), ув. собеседники исписали 2 страницы и, по-моему, особенно не преуспели.

Это только вам кажется, что они "не преуспели". Otta и RIP все прекрасно поняли и объяснили, а обозначения в учебнике Кострикина в этом месте стандартны. Проблема была у ТС, а не у Кострикина.