Нечетные числа в ВТФ

[lasta]

Определенные ниже суммы ряда нечетных чисел

$$\makebox{\underbrace{1}_{1^3}},\makebox{\underbrace{3+5}_{2^3}},\makebox{\underbrace{7+9+11}_{3^3}},\makebox{\underbrace{13+15+17+19}_{4^3}},\makebox{\underbrace{21+23+25+27+29}_{5^3}},\makebox{\underbrace{31+33+35++37+39+41}_{6^3}},....,\qquad \e(1)$$

образуют последовательность всех кубов. Каждый куб определяется оригинальной суммой последовательности нечетных чисел. При этом количество чисел в последовательности равно основанию куба. Это легко объяснимо тем, что любой куб является разностью квадратов. А произвольный квадрат

$$x^2=1+3+5+7+9+...+(2k+1),\qquad \e(2)$$

то есть является суммой последовательности нечетного ряда чисел.
Это удивительное свойство кубов. Каждый куб имеет свой набор нечетных чисел. Числа произвольного куба не повторяются в других кубах. Сумма последовательности кубов равна сумме непрерывного ряда нечетных чисел. Эти свойства позволяют легче рассмотреть отдельные случаи ВТФ. Начнем с соседних кубов.
Легко заметить, что разности соседних кубов, например,

$$6^3-5^3=(31+33+35++37+39+41)-(21+23+25+27+29)=10+10+10+10+10+41=50+41$$

Или в общем виде

$$(x+1)^3-x^3=x(c-b)/2+c, \qquad \e(3)$$

где $b,c$ -соответственно - первое и последнее нечетные числа из суммы нечетных чисел, составляющих $(x+1)^3$.
Утверждение 1. Разность соседних кубов $(x+1)^3-x^3$ не может быть представлена последовательностью нечетных чисел меньших тех, что составляют соседние кубы, при количестве чисел в последовательности равным основанию предполагаемого куба, равного разности соседних степеней. А это значит, что решения для соседних кубов не существует.
Следует отметить, что предполагаемый куб имеет основание $(x-1)-d$, где $d$ -натуральное число и может быть кубом, если $x$ не делится на 3. Поэтому максимальное нечетное число в предполагаемом кубе не может быть больше чем $(b_1-2d)$, где $b_1$ минимальное нечетное число из нечетных чисел, составляющих $x^3$
Этот материал был подготовлен для использования в теме «псевдо числа в ВТФ. Однако полагаю, что он заслуживает отдельного рассмотрения.

[alexo2]

lasta в сообщении #1060821 писал(а):

Легко заметить, что разности соседних кубов, например,

$$6^3-5^3=(31+33+35++37+39+41)-(21+23+25+27+29)=10+10+10+10+10+41=50+41$$

Или в общем виде

$$(x+1)^3-x^3=x(c-b)/2+c, \qquad \e(3)$$

где $b,c$ -соответственно - первое и последнее нечетные числа из суммы нечетных чисел, составляющих $(x+1)^3$.

Что-то не получается по этой формуле посчитать..

[lasta]

alexo2 в сообщении #1060967 писал(а):

Что-то не получается по этой формуле посчитать.

Уважаемый alexo2! Действительно, делитель 2 лишний. Это видно и из числового примера выше. Правильно

$$(x+1)^3-x^3=x(c-b)+c$$

[vasili]

Уважаемый Lasta! Скорее всего у Вас в формуле число с- наибольшее нечетное образующее $(x + 1)^3$,

а b - наименьшее нечетное число образующее $x^3$.

К примеру:

$7^3 - 6^3 = 6(55 -31)/2 + 55 = 127$,

где $7^3 = 43 +45 +47 +49 + 51 + 53 + 55$.

[lasta]

vasili в сообщении #1060999 писал(а):

$7^3 - 6^3 = 6(55 -31)/2 + 55 = 127$,

Уважаемый vasili! Для той формулировки, которая в моем тексте, делитель 2 лишний. Ваш пример - $7^3 - 6^3 = 6(55 -43) + 55 = 127$. Но, понятно, что если брать минимальное нечетное число из другого куба, то потребуется этот делитель. Лишние усложнения. Спасибо за участие.

[lasta]

Указанные последовательности для $x^3$ определяются по формулам для первого и последнего чисел последовательности. Соответственно $b=x^2-(x-1);\quad c=x^2+(x-1)$. Например,$x^3=11^3$

$$ b=11^2-10=111;\quad c=11^2+10=131;\quad 11^3=111+113+115+117+119+121+123+125+127+129+131$$

[vasili]

Уважаемый Lasta!
Обобщаю Вашу тему
Пусть наименьшее нечетное число образующее $x^3$ равно $x(x-1) + 1$,
тогда непрерывный ряд нечетных чисел образующих $x^3$ будет

$x(x-1) + 1$,

$x(x-1) + 1 + 2$,

$x(x-1) + 1 + 4$,

$x(x-1) + 1 + 6$,
…………………,
…………………,
$x(x-1) + 1 + 2(x-1)$.

После сложения всех чисел получим

$[x(x-1) + 1]x + [2 + 2(x-1)](x-1)/2 = x^3$.

[lasta]

vasili в сообщении #1061284 писал(а):

Обобщаю Вашу тему

Уважаемый vasili!
Все правильно. Но поможет ли это лучше увидеть свойства нечетных?
Воспользуюсь случаем показать другие степени с простым показателем. Эти степени можно представить в виде произведения квадрата и куба

$$x^p=(x^m)^2 x^3=\sum_{i=0}^{(x^m-1)/2} {(2i+1)}\sum_{i=(b-1)/2}^{(c-1)/2}{(2i+1)},\qquad \e(4)$$

где $c,b$ соответственно начало и конец непрерывного нечетного ряда чисел.
То есть указанные степени представляются в виде произведения сумм нечетного ряда чисел, образующих квадрат, на сумму ряда нечетных, образующих куб.

[lasta]

lasta в сообщении #1061292 писал(а):

Эти степени можно представить в виде произведения квадрата и куба

$$x^p=(x^m)^2 x^3=\sum_{i=0}^{(x^m-1)/2} {(2i+1)}\sum_{i=(b-1)/2}^{(c-1)/2}{(2i+1)},\qquad \e(4)$$

Ошибка. Правильно

$$x^p=(x^m)^2 x^3=\sum_{i=1}^{x^m} {(2i-1)}\sum_{i=(b-1)/2}^{(c-1)/2}{(2i+1)},\qquad \e(4)$$

[vasili]

Уважаемый Lasta!

Ваше Утверждение мне кажется можно доказать так:

Пусть $x^3 -(x-1)^3 = (x-d)^3\engo(1)$

И пусть наименьшее нечетное число, образующее куб числа $(x-d)^3$ равно

$(x-d)(x-d-1) + 1$, тогда наибольшее нечетное число, образующее куб числа $(x-d)^3$

будет равно

$(x-d)^2 + x-d-1$, с учетом этого имеем

$(x-d)^3 = \frac{(x-d)(x-d-1) + 1 + (x-d)^2 + (x-d-1)}{2}$, преобразуем числитель

$(x-d-1)(x-d +1) + (x-d)^2 + 1 = (x-d)^2 -1 +(x-d)^2 + 1 =2(x-d)^2$, тогда

$(x-d)^3 = $2(x - d)^2/2 = $(x-d)^2$, отсюда

$x-d = 1\engo(2)$.

C учетом (2) равенство (1) будет

$x^3 -(x-1)^3 = 3x(x-1) +1 = 1$, отсюда

$3x(x-1) =0$.

Пришли к противоречию, так как $x-1> 0$

-- 11.10.2015, 13:12 --

Уважаемый Lasta! Прошу прощения. В моем доказательстве допущена грубая ошибка , в результате я сделал ложный вывод.
Вместо $(x-d)^3 = \frac{(x-d)(x-d-1) + 1 + (x-d)^2 + (x-d-1)}{2}$, правильно будет

$(x-d)^3 = x[\frac{(x-d)(x-d-1) + 1 + (x-d)^2 + (x-d-1)}{2}]$.

[ananova]

vasili в сообщении #1061304 писал(а):

Ваше Утверждение мне кажется можно доказать так:

Пусть $x^3 -(x-1)^3 = (x-d)^3\engo(1)$

vasili в сообщении #1061304 писал(а):

$(x-d)^3 = x[\frac{(x-d)(x-d-1) + 1 + (x-d)^2 + (x-d-1)}{2}]$.

Так тоже противоречие. Нарушается взаимная простота целых чисел в тройке Фермa

$x^3 -(x-1)^3 = (x-d)^3=x[\dfrac{(x-d)(x-d-1) + 1 + (x-d)^2 + (x-d-1)}{2}]$

Наверное, все-таки не правильно выполнено преобразование $(x-d)^3$

[vasili]

Уважаемый Lasta!

Еще одна попытка доказать Ваше Утверждение


Пусть $x^3 - (x-1)^3 = (x-d)^3\engo(1)$,отсюда

$3x(x-1) + 1 = x^3 - 3x^2d + 3x d^2 - d^3$, а после переноса левой части в правую часть

имеем

$0 = (x-1)(x^2 + x +1) -3x(x-1) -d(3x^2 -3x d +d^2)$, после преобразований

$0 = (x-1)^3-d(3x^2 -3x d +d^2)$, отсюда все простые множители d принадлежать $x-1$, а

значит

$x-1 = k d\engo(2)$, где $(k, d) Є N^+$ и $(k, d) >1$,

тогда

$x = k d + 1\engo(3)$, а

$x-d = k d- (d -1)\engo(4)$.

С учетом (2),(3) и (4) равенство (1) будет

$3k d (k d + 1) + 1 = [k d - (d-1)]^3$, отсюда

$3k^2d^2 + 3kd + 1 = k^3d^3 -3k^2d^2(d-1) + 3k d (d-1) ^2 - (d-1)^3$, после раскрытия

скобок имеем

$3k^2d^2 + 3kd + 1 = k^3d^3 -3k^2d^3 + 3k^2d^2 + 3kd^3 - 6kd^2 +3kd - d^3 + 3d^2 -3d + 1$,

уничтожив подобные в правой и левой частях получили

$0 = k^3d^3 -3k^2d^3 + 3kd^3 - 6kd^2 - d^3 + 3d^2 -3d\engo(5)$, отсюда

$3d\equiv 0\mod d^2$,

т.е. $d = 3$, но тогда из (5) следует

$(3d = 9)\equiv 0\mod 27$.

Пришли к противоречию

-- 11.10.2015, 16:05 --

Уважаемый ananova! Благодарен Вам. Вы нашли еще ошибку.Правильно вместо $x[ M ]$читать

$(x-d)[ M ]$.

[ananova]

vasili

А поподробней можно? В чём заключается противоречие? $d=3^{3m-1}$, $m=1, 2, \ldots$

[ananova]

ananova в сообщении #1061463 писал(а):

А поподробней можно? В чём заключается противоречие? $d=3^{3m-1}$, $m=1, 2, \ldots$

Я снимаю свой вопрос. Он не совсем корректный. Понял в чём противоречие показанное Вами.
Надеюсь, кто-то еще, кроме меня, перепроверит Ваши выкладки. Я проверил - не нашел ошибок.

[ananova]

Есть не принципиальное добавление

vasili в сообщении #1061341 писал(а):

$0 = (x-1)^3-d(3x^2 -3x d +d^2)$, отсюда все простые множители d принадлежать $x-1$, а

значит

$x-1 = k d\engo(2)$, где $(k, d) Є N^+$ и $(k, d) >1$,

Из Ваших выводов, после переопределения переменных к привычному виду (для случая $z=y+1$ , $z^3=y^3+x^3$) ВТФ:
Ваши выкладки означают:

$$y^3=(kd)^3=d(3zx+d^2)$$

Однако, взаимная простота $z,x,y$ делает невозможным последнее равенство.