Нечетные числа в ВТФ

[krestovski]

Уважаемый lasta!

Начинайте доказательство.
Но, - в данном случае, - вы лишены выбора. Потому как ваше неравенство $(10)$ составлено только для случая $d=1$.
Рассудите сами.
У вас удвоен последний куб. И так как вы собираетесь определить сумму двух кубов $a^3+x^3$ и предполагаете, что сумма этих двух кубов рана только одному кубу, то это может быть только куб, следующий за $x^3$ , - это отсутствущее последнее слагаемое в ряду $1^3+2^3+…+2a^3+(a+1)^3+…+2x^3+(?)$.
Вы составили так неравенство и задали такие условия, что если у вас $d=2$, то вы уже рассматриваете равенство следующего вида $a^3+x^3=(x+1)^3+(x+2)^3$. - И так далее, так как с ростом $d$ вы увеличиваете количество невведённых в равенство последних слагаемых - последующих кубов. Но в этом случае уже не работает равенство (9). - Оно определено и работает для конечного количества суммы первых кубов. А новое выражение, - то что следует за знаком неравенства в построении $(10)$, оно составлено только для одного случая $d=1$ .
Теперь предположим, что вы смещаете $x^3$ с места последнего слагаемого, тем самым увеличивая значение $d$. Что происходит в этом случае? В этом случае вы должны поправить неравенство $(10)$. В части ряда слагаемых кубов оно должно выглядеть следующим образом $1^3+2^3+…+2a^3+(a+1)^3+…+2x^3+(x+1)^3+...+(x+d-1)^3$. И теперь ваш квадрат работает.
Ну и верхний индекс над суммой поправить соответственно.
Но для удобства я бы выразил основания кубов через одну переменную. Хотя... кому как удобно.
Вот как-то так...
И, если позволите, замечание по формулировке

lasta в сообщении #1074234 писал(а):

Суммой последовательного ряда кубов, начиная с 1, является сумма непрерывного ряда нечетных чисел, поэтому эта сумма равна квадрату.

Позволю себе не согласиться с вами, потому как мне знакомо следующее:
Поскольку сумма первых кубов равна квадрату суммы их оснований, то эту сумму первых кубов можно представить в виде суммы первых нечётных чисел, количество которых равно основанию квадрата.
Что, собственно, оказывается с точностью до наоборот. Это непосредственно касается того, что вы собираетесь сделать, - из яйца вырастить курицу или от курицы получить яйцо. - Без всяких споров о том, что первично...

[lasta]

krestovski в сообщении #1074476 писал(а):

Позволю себе не согласиться с вами, потому как мне знакомо следующее:
Поскольку сумма первых кубов равна квадрату суммы их оснований, то эту сумму первых кубов можно представить в виде суммы первых нечётных чисел, количество которых равно основанию квадрата.
Что, собственно, оказывается с точностью до наоборот. Это непосредственно касается того, что вы собираетесь сделать, - из яйца вырастить курицу или от курицы получить яйцо. - Без всяких споров о том, что первично...

Уважаемый krestovski!
Согласно (1) ограниченное сверху количество кубов полностью заполняет соответствующий ограниченный нечетный ряд. Любой ограниченный сверху нечетный ряд равен квадрату. Это известно и имеет простое доказательство. Основание квадрата в данном случае не $x$, а его определяет правая часть (9).

$$(\frac{x(x+1)}{2})^2=(\frac{x(x+1)}{2})(\frac{x(x+1)}{2})$$

Первое число нечетного ряда, образующего квадрат, равно $(\frac{x(x+1)}{2})-((\frac{x(x+1)}{2})-1)=1$ Последнее число нечетного ряда, образующего квадрат, равно $(\frac{x(x+1)}{2})+((\frac{x(x+1)}{2})-1)= x^2+(x-1)$, что соответствует последнему нечетному числу последовательности, сумма которой определяет $x^3$ (последний куб суммы (9)).
Как видите, начинать доказательство рано. Необходимо полное понимание постановки.

[krestovski]

Уважаемый lasta!

Ничего не рано. Самое время. Просто не торопитесь и исправляйте ошибки по ходу. Вот вы написали

lasta в сообщении #1074511 писал(а):

Последнее число нечетного ряда, образующего квадрат, равно $(\frac{x(x+1)}{2})+((\frac{x(x+1)}{2})-1)= x^2+(x-1)$, что соответствует последнему нечетному числу последовательности, сумма которой определяет $x^3$ (последний куб суммы (9)).

.
Теперь исправьте ошибку в (2). - В выражении общего члена ряда. Если вы прибавляете единицу для перевода числа из разряда чётных в разряд нечётных, то постоянный числовой коэффициент при переменной не может быть больше первого члена ряда. Если вычитаете единицу, - тогда да, - может.
Просто повнимательнее. Вы ведь постоянно ссылаетесь на предыдущие построения.
А по поводу квадратов... - так определителей первого и последнего члена ограниченной последовательности нечётных чисел множество. Вы выбрали такой - ваше право. Как по мне, так немного тяжеловесный. Но вы плясали от куба. Вот и всё.
И по поводу полного понимания постановки вопроса. - Поверьте, мне понятно, что, почему и как вы собираетесь делать. - Из всех ваших рассуждений. Будет не понятно, - спрошу. Тем более, что вы выбрали этот один вариант. А он ведь не один.

С уважением, krestovski.

[lasta]

krestovski в сообщении #1074605 писал(а):

Теперь исправьте ошибку в (2).

Уважаемый krestovski!
(2) в порядке, так как $k=0,1,2,....$

krestovski в сообщении #1074476 писал(а):

Начинайте доказательство.

krestovski в сообщении #1074605 писал(а):

Ничего не рано. Самое время.

На форуме каждый имеет право на ошибочное доказательство Великой Теоремы. Потом бьют сильно. Я не спешу. Да и заголовок не обязывает.

[lasta]

lasta в сообщении #1074880 писал(а):

На форуме каждый имеет право на ошибочное доказательство Великой Теоремы.

Итак, $x^2=1+3+5+…..+(2x-1)$, и кубы, (степени) представимы арифметической прогрессией $x^3=xx^2=x(1+3+5+…..+(2x-1))$. При этом могут быть разные варианты по первому числу и шагу между числами, а также из каких чисел составлена прогрессия (четные, нечетные или комбинированные). Для того, чтобы сузить область, мы рассматриваем в основном нечетные числа. И в дополнении к рассматриваемому (1) добавим вариант, с первым числом 1, и с шагом между соседними числами $t>2$. Пусть

$$x^3=1+(1+t)+(1+2t)+…+(1+(x-1)t) \qquad \e(11)$$

количество единиц в правой части (11) равно $x$. Тогда

$$x^3=x+\frac {(x-1)x}{2} t \qquad \e(12)$$

Оттуда

$$t=\frac {(x^3-x)2}{(x-1)x}=2(x+1) \qquad \e(13) $$

Полезно показать другое доказательство этого. Шаг между числами последовательности определяется

$$t=\frac {(x^2+ D)-(x^2-D)}{x-1}=\frac{2D}{x-1},\qquad \e(14)$$

где в скобках числителя соответственно последнее и первое числа последовательности, а $x-1$ - количество шагов последовательности из $x$ чисел. Пусть первое число равно 1. Тогда $D=x^2-1$ и шаг

$$t=\frac {2(x^2- 1)}{x-1}=2(x+1),\qquad \e(15)$$

Таким образом, каждый куб имеет свой шаг в сумме последовательности нечетных, начинающейся с 1.
$2^3=1+7,$
$3^3=1+9+17,$
$4^3=1+11+21+31,$
$5^3=1+13+25+37+49,$
$6^3=1+15+29+43+57+71,\qquad \e(16)$
..................................................................
А разность соседних кубов образуется суммой арифметической прогрессии, к которой добавлена единица.

$$(x+1)^3-x^3=1+3[ x(x+1)] \qquad \e(16)$$

Выражение в квадратных скобках разности соседних кубов можно рассматривать как удвоенное значение суммы арифметической прогрессии натурального ряда чисел. Следовательно, разности соседних кубов можно представить в виде следующих сумм
$2^3-1^3=1+6$
$3^3-2^3=1+[6+12]$
$4^3-3^3=1+[6+12+18]$
$5^3-4^3=1+[6+12+18+24]$
$6^3-5^3=1+[6+12+18+24+3] \qquad\e(17)$
……………………………
или
$2^3-1^3=1+6 $
$3^3-2^3=1+[8+10]$
$4^3-3^3=1+[10+12+14]$
$5^3-4^3=1+[12+14+16+18] $
$6^3-5^3=1+[14+16+18+20+22] \qquad\e (18)$
.......................................................
В обоих случаях добавление 1 к выражению $3[ x(x+1)]$ разрушает прогрессию. Шаг между первым и вторым числами (17), (18)отличается от шага в квадратных скобках (другая четность чисел в квадратных скобках не главное). Это позволяет сделать утверждение, что разность соседних кубов не может быть представлена прогрессией аналогичной
прогрессиям, сумма чисел которых образует куб.

[lasta]

Всегда нечетное число - разность соседних кубов

$$(y+1)^3-y^3=1+3y(y+1)=1+6\frac{y(y+1)}{2}=1+6\sum_{i=1}^y{i}=1+[6\sum_{i=1}^{x-1}{i}]+[6\sum_{i=x}^y{i}]\qquad \e (19)$$

С использованием формулы для разности соседних кубов определяется и третий куб УФ.

$$x^3=1+[6\sum_{i=1}^{x-1}{i}]+(x-1)^3.\qquad \e (20)$$

Тогда, согласно УФ и(19), (20)

$$(x-1)^3=[6\sum_{i=x}^y{i}]=3(x+y)(y+1-x)\qquad \e (21)$$

Хотя этот вывод можно сделать короче. Согласно УФ, известная формула

$$(x+y-z)^3=3(x+y)(z-x)(z-y) ,\qquad \e (22)$$

при ($z=y+1$) имеет вид

$$(x-1)^3=3(x+y)(y+1-x) , \qquad \e (23)$$

Необходимо доказать, что правая часть (23) не является кубом для целых $x,y$.

[vasili]

Уважаемый Lasta! Если $[(z =y +1), 3] = 3$, то благодаря формулам Абеля

$3(x + y) = z_1^3$, а $(y +1)-x =z-x = y_1^3$, где $z = z_2z_1$, а $y =y_2y_1$

Правая часть (23) является кубом.

[ananova]

Вольфрам говорит, что решений в целых положительных числах нет.
Можно ли это решение Вольфрама считать доказательством частного случая?

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... E3%3Dx%5E3

[lasta]

vasili в сообщении #1088769 писал(а):

Правая часть (23) является кубом.

Уважаемый vasili! Правая часть (23) выведена на основании УФ без всякой оговорки о существовании предполагаемого целого решения, на котором основаны формулы Абеля. Признание правой части кубом опровергало бы утверждение Ферма.

-- 07.01.2016, 22:48 --

ananova в сообщении #1088785 писал(а):

Вольфрам говорит, что решений в целых положительных числах нет.

Уважаемый ananova!
Доказательство по Вашей ссылке основывается на существовании иррациональных решений, но я не увидел в этом какой то связи с отсутствием решений в целых числах.

[ananova]

lasta в сообщении #1088801 писал(а):

Доказательство по Вашей ссылке основывается на существовании иррациональных решений, но я не увидел в этом какой то связи с отсутствием решений в целых числах.

Почему же, он указывает, что есть решения в целых числах : -1,1 и 1,0.
Делаем вывод - больше решений нет в целых числах.

[vasili]

Уважаемый Lasta! Каким образом опровергает утверждение Ферма? Вы ведь доказательство ведете от противного,
и ищете противоречие, чтобы доказать истинность утверждение Ферма. Если такого противоречия не находите в выбранном Вами алгебраическом выражении $(x+y-z)^3 =3(x +y)(z-y)(z-x)$ , это не значит, что Ферма не прав. Выражение $(x+y-z)^3 =3(x +y)(z-y)(z-x)$ найдено из допущения существования решения ВТФ для $n =3$.
Для частного случая ВТФ $(z = y +1)$ решение в целых не равных нулю числах $y=-1$ и $x = 1$, как нашел ananova
очевидно. В натуральных числах такого решения нет.

[vasili]

Ошибся.Прошу прощения. Если $y = -1$, а $x = 1$, то $z = y + 1 =-1 + 1 = 0$.

Имеем решение $(-1,1,0)$ которое не соответствует утверждению, что не существует отличных от нуля целых рациональных чисел $x,y,z$, для которых
$x^n + y^n-z^n =0$.

[lasta]

ananova в сообщении #1088819 писал(а):

Почему же, он указывает, что есть решения в целых числах : -1,1 и 1,0.
Делаем вывод - больше решений нет в целых числах.

Уважаемые ananova, vasili !!
Если учитывать тривиальные решения (когда в уравнении Ферма одна из степеней равна нулю), то решений бесконечное множество $(0,a,a)$, где $a$ - произвольное целое число. Существование двух тривиальных решений в случае соседних кубов доказывает только то, что для соседних не существует других тривиальных решений. Кроме того, в ссылке, указанной уважаемым ananova, для соседних кубов показано одно иррациональное решение, а решений бесконечно много. Достаточно указать, что все известные разности соседних кубов ни что иное как куб с иррациональным основанием.
Спасибо за указание на неточность в моей формулировке. Правильно будет, что правая часть (23) не является кубом для натуральных (1,2,3,,,,) $x,y$.

-- 08.01.2016, 12:00 --

vasili в сообщении #1088836 писал(а):

Вы ведь доказательство ведете от противного,

Я не ищу доказательство от противного. Использую Уравнение Ферма как оно есть. Сумма двух кубов равна третьему. При этом не важно есть ли решение в натуральных или иррациональных числах.

-- 08.01.2016, 12:23 --

vasili в сообщении #1088836 писал(а):

Выражение $(x+y-z)^3 =3(x +y)(z-y)(z-x)$ найдено из допущения существования решения ВТФ для $n =3$.

Это не верно. Заблуждение многих. Указанное выражение верно и при отсутствии натуральных решений (уравнение Ферма существует же).

[vasili]

Уважаемый Lasta! Чтобы разобраться в Вашей логике, добавим к (23) то что Вы называете уравнение Ферма

$(x-1)^3 =3(x+y)(y +1-x) + [x^3 +y^3 -(y + 1)^3]$. Как только Вы захотели решить данное выражение в целых числах, Вы должны решить: добавка в квадратных скобках равна нулю или нет. Если Вы принимаете, что она равна нулю для целых чисел, то Вы явно делаете допущение из которого вытекают формулы Абеля и куб левой части (23) становиться равным кубу правой части (23). Доказывать нечего.

[lasta]

vasili в сообщении #1088960 писал(а):

добавим к (23) то что Вы называете уравнение Ферма $(x-1)^3 =3(x+y)(y +1-x) + [x^3 +y^3 -(y + 1)^3]$. Как только Вы захотели решить данное выражение в целых числах, Вы должны решить: добавка в квадратных скобках равна нулю или нет.

Уважаемый vasili !
На основании УФ эта добавка равна нулю всегда. Не зависимо от того существует ли решение в натуральных числах. Доказательство должно основываться не в поисках нарушения равенств по УФ (чего никогда не достичь), а в поисках нарушения свойств чисел. То есть надо доказать, что правая часть не куб для натуральных (x,y). А что это? Куб? Квадрат? Произведение простых или еще что-то? Мы не знаем. Кстати, чем хуже предположение, что правая часть есть произведение степеней простых чисел с показателями не кратными трем. Вы же предлагаете известный прием, который сразу же отметает другие предположения.