Нечетные числа в ВТФ

[lasta]

lasta в сообщении #1088750 писал(а):

Хотя этот вывод можно сделать короче. Согласно УФ, известная формула

$$(x+y-z)^3=3(x+y)(z-x)(z-y) ,\qquad \e (22)$$

при ($z=y+1$) имеет вид

$$(x-1)^3=3(x+y)(y+1-x) , \qquad \e (23)$$

Необходимо доказать, что правая часть (23) не является кубом для целых $x,y$.

Это выполнено в теме Редукция в ВТФ. А здесь можно изложить идею доказательства, выполненную с помощи редукции (бесконечного спуска). Суть ее такова. Если наименьший куб $x^3$ из УФ является кубом числа из тройки натуральных чисел представляющих решение, то тогда существует другой куб составного числа

$$(x-1)^3=3(x+y)(y+1-x) , \qquad \e (24)$$

но меньший куба $x^3$. Но тогда снова существует меньший куб, с теми же свойствами, что и у куба $(x-1)^3$, то есть является составным числом, и кубом из новой тройки решения, что противоречит принципу единственности наименьшего решения.