Интегрирование по частям в многомерном случае

[Munin]

Интересно, как обобщается формула интегрирования по частям на произвольные размерности.
(Ниже используются обозначения векторной алгебры в "физическом" варианте: вектор $\mathbf{v},$ скалярное произведение $(\mathbf{ab}),$ векторное произведение $[\mathbf{ab}].$ Также используются обозначения тензоров с индексами, обозначения дифформ. Если не оговорено, что формула касается дифформ, $d$ имеет символический смысл элемента интегрирования. Если $U$ - ориентируемое многообразие с краем, то $\partial U$ - его край с учётом ориентации, например: концы линии, линия края поверхности, поверхность 3-мерной области.)

Я однажды использовал нечто вроде:

Munin в сообщении #1053230 писал(а):

$$\int\limits_{S}[(\nabla f)\,\mathbf{v}]\,d\mathbf{S}=\oint\limits_{L=\partial S}f\,\mathbf{v}\,d\mathbf{L}-\int\limits_{S}f\,[\nabla\mathbf{v}]\,d\mathbf{S},$$

где $f$ и $\mathbf{v}$ - скалярная и векторная функции, $S$ - поверхность в трёхмерном пространстве, $d\mathbf{S}$ нормален $S,$ а $d\mathbf{L}$ касателен к $L.$

но совершенно без обоснования. (Чтобы написать эту формулу, написал её частный случай в координатах, и "обобщил".)

Википедия даёт только такой частный случай:

Цитата:

$$\int_\Omega \frac{\partial u}{\partial x_i} v \,d x = \oint_{\partial\Omega} u v n_i \,d\sigma - \int_\Omega u \frac{\partial v}{\partial x_i} \,d x,$$

где $\vec n$ − внешняя нормаль к $\partial\Omega.$

Этого совершенно недостаточно. Хотелось бы общую формулу для многообразия в $\mathbb{R}^n$ и/или просто многообразия. В левой части подразумевается что-то вроде

$$\int(uv)^{i\ldots j}{}^{k\ldots l}_{m\ldots n}\,d\sigma_{i\ldots j}=\ldots$$

в случае подмногообразия $\mathbb{R}^n$ или

$$\int(uv)^{i\ldots j}\,d\sigma_{i\ldots j}=\ldots$$

в случае гладкого многообразия.

[grizzly]

Здесь предлагают такую формулу интегрирования по частям для римановых многообразий (условия по ссылке):

$$ \int_M g(\operatorname{grad}f,X)d\mu = -\int_M f \operatorname{div}X d\mu + \int_{\partial M} f \cdot g(X, \nu) d\tilde{\mu} $$

Оставлю ещё ссылки раз и два, которые мне самому показались сколько-то интересными / полезными (где-то там приводится ещё кривая ссылка на "учебную" статью Terry Tao; кривизна легко исправляется удалением дефиса в конце той ссылки; статья не то чтоб по теме, но сама по себе может быть интересна).

[Munin]

Мне тут в ЛС прислали изящную вещь, но корреспондент что-то не торопится выложить её в теме. Жду.

[arseniiv]

То же, как я посмотрел, есть по первой ссылке «раз» от grizzly, притом с правильными слагаемыми в $d(u\wedge v)$, что я забыл (в который раз).

-- Чт окт 01, 2015 23:40:15 --

Но я совсем не против написать теперь правильный результат тут:

$$(-1)^{\operatorname{deg}u}\int_\Gamma u\wedge dv = \int_{\partial\Gamma} u\wedge v - \int_\Gamma du\wedge v.$$

[ewert]

Munin в сообщении #1058138 писал(а):

Хотелось бы общую формулу для многообразия в $\mathbb{R}^n$ и/или просто многообразия.

а формула Ньютона-Лейбница для многообразия имеется?... а правило дифференцирования произведения?...

[Munin]

ewert в сообщении #1058259 писал(а):

а формула Ньютона-Лейбница для многообразия имеется?...

Имеется, называется обобщённая формула Стокса. Собственно, arseniiv об этом мне и напомнил.

-- 02.10.2015 00:42:39 --

Итак, повторю вывод сам:

Произвольные дифформы, произвольное многообразие (по нему только дифформы и можно интегрировать):

$$\int\limits_M (-1)^{\operatorname{deg}(u)}u\wedge dv\stackrel{(1)}{=}\int\limits_M d(u\wedge v)-\int\limits_M du\wedge v\stackrel{(2)}{=}\oint\limits_{\partial M}u\wedge v-\int\limits_M du\wedge v,$$

где (1) - по правилу Лейбница для дифференцирования произведения, а (2) - по теореме Стокса.

Теперь, переводим на язык тензоров... тут у меня пока трудности.

[Munin]

А, нафиг, всё, кажется, просто.

Теперь, переводим на язык тензоров, добавляем произвольное количество тензорных индексов, и получаем формулу, справедливую только для подмногообразий $\mathbb{R}^n$ или $\mathbb{C}^n$:

$$\begin{gathered}\int\limits_M U^{\alpha}_{\beta}(\partial_{i}V^{\gamma}_{\delta})d\sigma^{[i\,\rho]}\stackrel{(1)}{=}\int\limits_M \partial_{i}(U^{\alpha}_{\beta}\,V^{\gamma}_{\delta})d\sigma^{[i\,\rho]}-\int\limits_M (\partial_{i}U^{\alpha}_{\beta})V^{\gamma}_{\delta}d\sigma^{[i\,\rho]}\stackrel{(2)}{=}\\\stackrel{(2)}{=}\oint\limits_{\partial M}(U^{\alpha}_{\beta}\,V^{\gamma}_{\delta})d\sigma^{[\rho]}-\int\limits_M (\partial_{i}U^{\alpha}_{\beta})V^{\gamma}_{\delta}d\sigma^{[i\,\rho]}.\end{gathered}$$

Здесь греческими буквами $\alpha,\beta,\gamma,\delta,\rho$ обозначены мультииндексы, квадратными скобками - антисимметризация, и наконец, $d\sigma$ - элемент интегрирования правильной размерности и ориентации.

И наконец, все эти формулы - только в таких случаях $M$ и $\partial M,$ где работает теорема Стокса. Например, если у нас функция задана в области на плоскости, но с выколотой точкой, то контуров необходимо два: один внешний, а другой бесконечно малый, обходящий эту точку, да ещё и в обратном направлении.

-- 02.10.2015 02:21:25 --

Ну и наконец, зная ходы, можно написать и обоснование первоначальной моей формулы:

$$\begin{gathered}{}[\nabla\,(f\mathbf{v})]=[(\nabla f)\,\mathbf{v}]+f\,[\nabla\mathbf{v}]\\\int\limits_{S}[\nabla\,(f\mathbf{v})]\,d\mathbf{S}=\oint\limits_{L=\partial S}f\mathbf{v}\,d\mathbf{L}.\end{gathered}$$

[Munin]

А вот аналогичную, казалось бы, формулу не могу преобразовать:

$$\int\limits_{S}[\mathbf{g}\,[\nabla\mathbf{a}]]\,d\mathbf{S}=?$$

$\partial S\ne 0.$ Прошу помощи зала.

[Munin]

В силу вот этого вот:

g______d в сообщении #1065718 писал(а):

Правда, если ещё немного подумать, то можно понять, что формула Стокса в локальных координатах вообще всегда является формулой Ньютона-Лейбница с параметром.

у меня такое ощущение, что ответа может и не быть. В лучшем случае, интеграл разбивается на два, один интегрируется по частям, другой нет. Смысл разбиения: в одном слагаемом частные производные идут вдоль поверхности, в другом - поперёк.