Матричное уравнение

[Red_Herring]

Если $P$ -проектор, то$ I-P$ тоже, просто образ и ядро меняются местами и потому достаточно описать проекторы с рангом, не превосходящим половину размерности

[Munin]

Спасибо, а то я засомневался, что там разные гиперболоиды получаются...

[g______d]

Munin в сообщении #1057665 писал(а):

Как я понял, задача состоит в том, чтобы разыскать множество матриц, характеристический многочлен которых будет совпадать с тем матричным многочленом, который рассматривается изначально.

Не характеристический, а минимальный. И не совпадает, а делит.

[Munin]

У как сложно. Тогда не буду углубляться в это. Буду тихо-мирно искать проекторы.

[g______d]

На самом деле можете в 2d рассмотреть все 3 варианта и вычислить характеристический многочлен у каждого из них. Можете даже в уме.

-- Вт, 29 сен 2015 10:44:33 --

В общем случае я не уверен, но думаю, что множество проекторов находится в соответствии с чем-то вроде что-то вроде $\mathrm{GL(n)}/(\mathrm{GL(k)}\times\mathrm{GL(n-k)})$, по аналогии с грассманианом. Возможно, кроме случая $n=2k$. Но я не уверен.

[Dan B-Yallay]

karandash_oleg в сообщении #1057651 писал(а):

Нельзя же здесь сказать, что или $A=0$ или $A-E=0$

Нет, нельзя. У меня была мысля протолкнуться через характеристический многочлен, но она расползлась по швам.

[sergei1961]

Есть ещё такая популярная статья на тему: С.И.Гельфанд. О числе решений квадратного уравнения. Глобус, общематический семинар, выпуск 1, 2004. Может кому интересно. Там на уровне простых примеров вроде этого и философских рассуждений.
Автор правда не знал, что есть и монографии, и законченные теории про ур. Риккати, и матричное, и дифференциальное. Правда, один хороший математик сказал мне, что в книгах есть проколы, и он построил свою теорию. Не знаю.

[Munin]

g______d в сообщении #1057694 писал(а):

На самом деле можете в 2d рассмотреть все 3 варианта

2d меня уже не интересует. Я уже построил картинку. Лень только нарисовать её в графредакторе и выложить.

Меня сейчас интересует вопрос, как выглядит геометрическое место ортогональных проекторов ранга $m$ в $n$ измерениях при $m\geqslant 2,\quad n-m\geqslant 2.$

g______d в сообщении #1057694 писал(а):

В общем случае я не уверен, но думаю, что множество проекторов находится в соответствии с чем-то вроде что-то вроде $\mathrm{GL(n)}/(\mathrm{GL(k)}\times\mathrm{GL(n-k)})$, по аналогии с грассманианом. Возможно, кроме случая $n=2k$. Но я не уверен.

Красивая формула, но я боюсь даже начать её читать пока :-) (Кстати, а $n=2k$-то чем выделен?)
Меня скорее интересует суметь найти эту вещь в явном виде, а не написать абстрактно.

sergei1961
Спасибо. Попробую глянуть.

[provincialka]

Я смотрю, наши высокоумные товарищи "решают общую задачу о столе с произвольным числом ножек"? Похвально...
Но у ТС-а пока система четырех уравнений нерешанная стоит...
Вычитая первое уравнение из последнего, можно переписать ее в виде

$$\left\{ \begin{array}{lcl} a^2+bc&=&a \\ b(a+d-1)&=& 0\\ c(a+d-1)&=& 0\\ (a-d)(a+d-1)&=& 0\\ \end{array} $$

Если $a+d = 1$, то последние равенства выполняются.

karandash_oleg в сообщении #1057651 писал(а):

1) $a+d=1$. Тут все равно не знаю -- что дальше делать

Ну что? Оставлять первое равенство. Получим семейство решений с двумя параметрами.

karandash_oleg в сообщении #1057651 писал(а):

Я понимаю, что можно так $A^2=A\;\Leftrightarrow\;(A-E)A=0$, но разве это упростит дело?

Нет, не упростит. А вот определитель слева и справа в $A^2 = A$ взять можно.

[g______d]

Munin, Сначала можете подумать, как выглядит ГМТ всех $k$-мерных подпространств $n$-мерного пространства. Это не так тривиально. Ключевые слова "грассманиан" и "многообразие Грассмана".

[provincialka]

Может, стоит разделить тему на две? Уж слишком два обсуждения разные по уровню... Или это сложно, так как перемешано?

[Munin]

provincialka в сообщении #1057714 писал(а):

Но у ТС-а пока система четырех уравнений нерешанная стоит...
Вычитая первое уравнение из последнего, можно переписать ее в виде

Ну не надо до мелочей-то разжёвывать, пускай и сам что-то сделает. (Тем более что полный ответ тут в теме прозвучал ненароком... Правда, в достаточно "зашифрованном" виде.)

Я вообще гляжу, ТС в теме почти не появляется.

-- 29.09.2015 23:23:12 --

g______d в сообщении #1057721 писал(а):

Munin, Сначала можете подумать, как выглядит ГМТ всех $k$-мерных подпространств $n$-мерного пространства.

Ну да, я об этом и говорил. Просто "ГМТ подпространств" как-то подозрительно невнятно звучит :-) (ГМТ в каком пространстве?)

g______d в сообщении #1057721 писал(а):

Это не так тривиально.

Это я заметил.

g______d в сообщении #1057721 писал(а):

Ключевые слова "грассманиан" и "многообразие Грассмана".

Я по вашим ключевым словам боюсь ходить: заинтересуешься частным ответом на частный вопрос, а там сначала надо теории прочитать килограмма три :-) Я уже с "теорией Галуа" напарывался, долго ещё не сунусь...

[provincialka]

Munin в сообщении #1057725 писал(а):

Ну не надо до мелочей-то разжёвывать, пускай и сам что-то сделает.

Ну, то что я написала, ТС уже сделал, как я поняла )))

Munin в сообщении #1057725 писал(а):

Я вообще гляжу, ТС в теме почти не появляется.

Да уж... И поэтому ее оккупировали всякие высоколобые умники!

[g______d]

Munin в сообщении #1057725 писал(а):

Ну да, я об этом и говорил. Просто "ГМТ подпространств" как-то подозрительно невнятно звучит (ГМТ в каком пространстве?)

Это скорее ещё и ответ на вопрос "как ввести естественную структуру многообразия на множестве всех подпространств". Если помните, проективное пространство — это частный случай для $k=1$, т. е. множество всех прямых.

Вложить его тоже куда-то можно; на самом деле оно является даже алгебраическим многообразием и вкладывается (алгебраически) в проективное пространство достаточно большой размерности.

[karandash_oleg]

provincialka в сообщении #1057714 писал(а):

Я смотрю, наши высокоумные товарищи "решают общую задачу о столе с произвольным числом ножек"? Похвально...
Но у ТС-а пока система четырех уравнений нерешанная стоит...
Вычитая первое уравнение из последнего, можно переписать ее в виде

$$\left\{ \begin{array}{lcl} a^2+bc&=&a \\ b(a+d-1)&=& 0\\ c(a+d-1)&=& 0\\ (a-d)(a+d-1)&=& 0\\ \end{array} $$

Если $a+d = 1$, то последние равенства выполняются.

karandash_oleg в сообщении #1057651 писал(а):

1) $a+d=1$. Тут все равно не знаю -- что дальше делать

Ну что? Оставлять первое равенство. Получим семейство решений с двумя параметрами.

karandash_oleg в сообщении #1057651 писал(а):

Я понимаю, что можно так $A^2=A\;\Leftrightarrow\;(A-E)A=0$, но разве это упростит дело?

Нет, не упростит. А вот определитель слева и справа в $A^2 = A$ взять можно.

Спасибо большое! Так вроде как вот оно решение уже или я что-то не так понял?

-- 30.09.2015, 00:13 --

Да, не много путают меня многообразия-проекторы-грассмианы, вроде бы и хочется вникнуть, но понимаешь, что еще рановато....