Парадокс

[Metaphysic]

shwedka

Цитата:

Приведите место у Кутателадзе или кого еще, где произведение бесконечного множества чисел определено. Если не можете сами определить!!

Милочка! Повторяю, везде, где Вы говорите "число", необязательно, вообще говоря, уточнять, что оно финитное, т. е. конечное.

[Someone]

Metaphysic писал(а):

shwedka

Цитата:

Приведите место у Кутателадзе или кого еще, где произведение бесконечного множества чисел определено. Если не можете сами определить!!

Милочка! Повторяю, везде, где Вы говорите "число", необязательно уточнять, что оно финитное, т. е. конечное.

Вот именно: "число". В произведении

$$\prod\limits_{n=1}^{\infty}p_n}$$

символ $\infty$ - не число.

[Metaphysic]

Someone

Именно число! (если, конечно, не предел --- понятие, отсутствующее в нестандартном анализе).
Если Вы думаете что бесконечные числа изображаются обычными цифрами, то глубоко заблуждаетесь. Это Вы на теме Paradox экзальтировано требовали "циферку"?

Повторю еще раз для непонятливых. Инфинитным числам нельзя дать определения, ибо они вводятся в математику формально. Можно только доказать, что их введение не противоречит арифметике. Если Вам не нравятся дедуктивные новшества, то это означает, что в великом споре интуиционистов-корнструктивистов (Брауэр и т. д.) и актуалистов Вы на стороне первых. Вам предоставляется право внести в это противостояние свое решительное и заключительное слово.

[Someone]

Metaphysic писал(а):

Someone

Именно число! Если Вы думаете что бесконечые числа изображаются обычными цифрами, то глубоко заблуждаетесь. Это Вы на теме Paradox экзальтировано требовали "циферку"?

Повторю еще раз для непонятливых. Инфинитным числам нельзя дать определения, ибо они вводятся в математику формально.

Я понимаю, что они вводятся аксиоматически. Однако все утверждения, относящиеся к натуральным числам, сохраняются (в этом, собственно говоря, и состоит смысл введения гипернатуральных чисел). В частности, поскольку символ $\infty$ натуральному ряду не принадлежит, то это остаётся верным и для гипернатурального ряда.

Гипернатуральные числа - это не мощности каких-либо множеств. В частности, не существует гипернатурального числа, соответствующего кардинальному числу $\aleph_0$.
Гипернатуральные числа - это не ординальные числа. В частности, не существует гипернатурального числа, соответствующего первому бесконечному ординальному числу $\omega_0$.

[Metaphysic]

Someone

Цитата:

Также гипернатуральные числа - это не мощности каких-либо множеств. В частности, не существует гипернатурального числа, соответствующего кардинальному числу .

Я нигде не утверждал. что трасфинитные числа и числа инфинитные одно и то же.

Говорить о "гипернатуралном ряде" здесь преждевременно. Можете считать, что "восьмерка набоку" означает наименьшее бесконечное число, большее всех конечных чисел.
Сначала решите для себя, можно ли сравнить в смысле биекции обычный натуральный ряд и множество чисел, являющихся произведениями неповторяющихся простых чисел.

[Someone]

Metaphysic писал(а):

Сначала решите для себя, можно ли сравнить в смысле биекции обычный натуральный ряд и множество чисел, являющихся произведениями неповторяющихся простых чисел.

Видите ли, поскольку своих определений Вы не представили, я буду пользоваться общепринятыми. В таком случае речь идёт о множестве натуральных чисел, которые разлагаются в произведение попарно различных простых чисел (такие натуральные числа, включая 1, называются свободными от квадратов). Поскольку множество натуральных чисел, свободных от квадратов, по определению является частью натурального ряда и, как легко видеть, бесконечно, то оно равномощно натуральному ряду, то есть, биекция существует. Её можно определить конструктивно, просто перечисляя в порядке возрастания натуральные числа, свободные от квадратов.

[Metaphysic]

Someone

Цитата:

Поскольку множество натуральных чисел, свободных от квадратов, по определению является частью натурального ряда и, как легко видеть, бесконечно, то оно равномощно натуральному ряду, то есть, биекция существует.

Отлично, дружище!
Это означает, что мощность множества чисел без квадратов равна алеф-нуль. Но по теореме, обратной теореме Кантора, мощность множества простых чисел меньше множества чисел без квадратов.
Иначе говоря мощность мн-ва простых чисел меньше нулевого алефа. Я же с самого начала утверждал именно это!

[Echo-Off]

Metaphysic писал(а):

Но по теореме, обратной теореме Кантора, мощность множества простых чисел меньше множества чисел без квадратов.

Что же это за теорема? Что $|A|<2^{|A|}$? И в качестве $A$ вы берёте множество всех простых, так?

[Someone]

Metaphysic писал(а):

Но по теореме, обратной теореме Кантора, мощность множества простых чисел меньше множества чисел без квадратов.

Теорема Кантора. Если $A$ - любое множество, то $|A|<2^{|A|}$.
Теорема, обратная теореме Кантора. Если $|A|<2^{|A|}$, то $A$ - любое множество.

Так?

Я только не понял, причём тут эта теорема.

Metaphysic писал(а):

Но по теореме, обратной теореме Кантора, мощность множества простых чисел меньше множества чисел без квадратов.

Множество чисел, свободных от квадратов, не есть множество подмножеств множества простых чисел. Оно соответствует множеству конечных подмножеств множества простых чисел. Вы мгновенно забыли, что мы рассматриваем обычный натуральный ряд.

Но даже если мы рассмотрим гипернатуральный ряд, в котором определены произведения вида

$$\prod\limits_{n=1}^Np_n\text{,}\eqno{(1)}$$

где $N$ - гипернатуральное число, всё равно не получится того, что Вы хотите. Прежде всего потому, что такие произведения не являются натуральными числами (они будут гипернатуральными числами, но не натуральными), а для доказательства того, что Вы хотите доказать, они должны быть именно натуральными, потому что равенство $|\mathbb N|=\aleph_0$ относится к обычному натуральному ряду $\mathbb N$, а не к гипернатуральному. Другая причина состоит в том, что произведения такого рода, вообще говоря, не дают произведений для всех подмножеств множества простых чисел (не важно, обычных простых или гипернатуральных).
Ещё раз повторю, что символ

$$\prod\limits_{n=1}^{\infty}p_n\eqno{(2)}$$

не является произведением вида (1) ни при каком гипернатуральном $N$. Символ (2) обозначает произведение чисел $p_n$, включающее в качестве индексов все $n\in\mathbb N$. Независимо от того, интерпретируем ли мы этот символ для гипернатурального ряда как произведение, включающее в качестве интедкса все натуральные $n$ или все гипернатуральные $n$, соответствующего гипернатурального $N$ в произведении (1) мы подобрать не сможем.

[shwedka]

Metaphysic писал(а):

Someone

Цитата:

Поскольку множество натуральных чисел, свободных от квадратов, по определению является частью натурального ряда и, как легко видеть, бесконечно, то оно равномощно натуральному ряду, то есть, биекция существует.

Отлично, дружище!
Это означает, что мощность множества чисел без квадратов равна алеф-нуль. Но по теореме, обратной теореме Кантора, мощность множества простых чисел меньше множества чисел без квадратов.
Иначе говоря мощность мн-ва простых чисел меньше нулевого алефа. Я же с самого начала утверждал именно это!

А. Попался клиент!!! Не заметил, что речь-то здесь идет только о КОНЕЧНЫХ подмножествах, а не обо всех. А говоря о конечных подмножествах, не имеете Вы права ссылаться на Кантора.
демонстрация квалификации!!

Б.

Цитата:

Милочка! Повторяю, везде, где Вы говорите "число", необязательно, вообще говоря, уточнять, что оно финитное, т. е. конечное.

Не позволяла я себя Вам 'милочкой' называть. И не Вам давать мне разрешение уточнять. При том, что Вы уточнить-то не можете!!!

В. Серьезнее. Можете ли Вы ответить на вопросы:
1. Какова мощность множества используемых Вами инфинитных чисел?
2. Как и какие там определяются операции?
3. Существует ли в том множестве простые элементы, помимо обычных простых чисел?
4. Действует ли там какой-либо аналог теоремы об однозначном разложении на простые?

И не подумайте отсылать меня к копанию в запылившихся источниках. Вы, как инициатор, обязаны представлять свои аргументы в полном виде. На слово в математике не принято верить, даже среди джентельменов, а, согласно пункту Б, Вы к таковым не относитесь.

[Brukvalub]

Metaphysic писал(а):

Повторю еще раз для непонятливых. Инфинитным числам нельзя дать определения, ибо они вводятся в математику формально. Можно только доказать, что их введение не противоречит арифметике.

Опять пустая болтовня. Приведите определения и список аксиом для инфинитных чисел. Докажите их непротиворечивость. А, если не можете этого сделать, то не нужно бесконечно юлить, а давно пора честно признаться в своей безграмотности и некомпетентности, а не паразитировать на чужих попытках разъяснить Вам же Ваши благоглупости.

[Metaphysic]

Someone

Цитата:

Metaphysic: Сначала решите для себя, можно ли сравнить в смысле биекции обычный натуральный ряд и множество чисел, являющихся произведениями неповторяющихся простых чисел.

Значит Вы переиграли: между множеством чисел без квадратов и множеством натуральных чисел нельзя установить биекции.
Меня это тоже устраивает. Это означает, что булеан мн-ва простых чисел не существует!

Цитата:

Someone: Другая причина состоит в том, что произведения такого рода, вообще говоря, не дают произведений для всех подмножеств множества простых чисел (не важно, обычных простых или гипернатуральных).

В символе (2) символ бесконечности можете понимать как неименьшее инфинитное число большее любого конечного.

Добавлено спустя 23 минуты 4 секунды:

shwedka

Цитата:

Не позволяла я себя Вам 'милочкой' называть. И не Вам давать мне разрешение уточнять. При том, что Вы уточнить-то не можете!!!

Это несколько устарело, но по-русски "милочка" -- это просто "мадемуазель". Какое обращение предпочитаете? Фроккен, миледи, барышня, женщина (нужное подчеркнуть)?

Цитата:

И не подумайте отсылать меня к копанию в запылившихся источниках. Вы, как инициатор, обязаны представлять свои аргументы в полном виде. На слово в математике не принято верить, даже среди джентельменов, а, согласно пункту Б, Вы к таковым не относитесь.

Товарищ shwedka, я не буду Вас отсылать к пыльным источникам, поскольку все они с недавних пор устарели. Но, с другой стороны, рассказать об инфинитных числах с подробностью необходимой для настоящей дискуссии здесь не представляется возможным. Поэтому я посылаю Вас к ..., извините, я хотел сказать отсылаю по адресу http:\\translimit.narod.ru Там всего две странички. Потрудитесь, пожалуйста

[Brukvalub]

Metaphysic писал(а):

Но, с другой стороны, рассказать об инфинитных числах с подробностью необходимой для настоящей дискуссии здесь не представляется возможным. Поэтому я посылаю Вас к ..., извините, я хотел сказать отсылаю по адресу http:\\translimit.narod.ru Там всего две странички.

Сходить туда, чтобы вновь прочесть тот же бред, который нарезан кусочками в этой и соседней, закрытой модераторами теме. "На колу мочало - начинай сначала"! Не мытьем, так катаньем, но Metaphysic заставит всех здесь поверить, что мощности множеств натуральных и простых чисел различны! (с этого конфуза все у него и начинается в ссылке). Воинствующее невежество не является добродетелью.

[Metaphysic]

Someone
Уважаемый Someone! Мы можем долго и безрезультатно препираться по пустякам. Вы должны понять, куда я гребу. Натуральный ряд, это множество лишь в потенции. На самом деле запись {0, 1, ...} -- это всего лишь специфическая форма записи элементарной рекурсии, определяемой аксиомами Пеано. Я предлагаю понимать "актуальное множество" иначе как вполне конкретное количество каких-либо элементов, неважно выражается это количество конечным или инфинитным числом. Совершенно понятно, что теория таких актуальных множеств, будь она создана, не будет иметь никакого отношения к канторовой теории множеств: понятие мощности, например, неприменимо к актуальным множествам, как таковым.
Я, вообще, не хочу с Вами спорить, но заинтересовать такой постановкой проблемы. Мне представляется, что я значительно продвинулся в этом направлении и прошу Вас посетить сайт http:\\translimit.narod.ru , но обязательно без презумпции моей глупости. На этом сайте под ссылкой "О континууме" Вы найдете, в частности, мое понимание инфинитных чисел: текст там совсем короткий.
Уважаемый Someone, здесь не место обсуждать затронутые там вопросы, поэтому, если, при непредвзятом отношении к делу, Вы захотите высказать мне критические замечания или. наоборот, у Вас найдутся полезные для теории актуальных множеств мысли напишите мне письмо.
Искренне Ваш, Metaphysic

[Brukvalub]

Metaphysic писал(а):

Мне представляется, что я значительно продвинулся в этом направлении

И первым делом "доказал", что мощности множества натуральных и множества простых чисел различны