Задача из учебника Минкина Симкина "Теория строения молекул"

[Fanfate]

Извиняюсь за исчезновение, просто подумал, что с задачей покончено, поскольку в указаниях к задаче сказано: взять коммутатор $[v,V(r)]$, а в ответах, что "можно". И поэтому я решил, что нужно просто взять коммутатор и убедиться, что он равен нулю. Т.к. производная и координата коммутируют, а потенциал не зависит от времени, то и пришел к тривиальному решению.

[amon]

Ну, теперь у Вас есть возможность отличиться. Судя по проделанным в уме выкладкам, ответ неправильный, но я мог и ошибиться, так что Вам проверять.

[Fanfate]

Мне придется отличиться, т.к. всё это начинание потеряет смысл.

[Fanfate]

amon в сообщении #1054680 писал(а):

Поскольку ТС пропал куда-то, то хочу сказать, что задачка не так проста, если ее решать формально (спасает квадратичная зависимость потенциала от скорости). Надо сначала перейти от функции Лагранжа (зависящей от скорости) к функции Гамильтона (зависящей от импульсов). Потом переписать потенциал через канонический импульс, и только после этого, сосчитав предварительно скорость, посчитать коммутатор.

Попробовал несколько способов следования вашему совету, но дальше всего прошел только так
Классический формализм:
Формула перехода от функции Лагранжа к функции Гамильтона: $H = pv-L$, где $L = \frac{1}{2}mv^2 - U$, $H = pv - \frac{1}{2}mv^2 + U$
1. Сначала я представил $v$ следующим образом через $ \frac{\partial L}{\partial v} = p = mv - \frac{\partial U}{\partial v}$, отсюда $v = \frac{p}{m} + \frac{1}{m}\frac{\partial U}{\partial v}$.
Подставил $v$ в $H$ - $H = \frac{p^2}{m}+\frac{p}{m}+\frac{\partial U}{\partial v}-L$
В итоге $H = -\frac{1}{2}\frac{p^2}{m}-\frac{1}{2}\frac{p}{m}\frac{\partial U}{\partial v}-\frac{1}{2m}\frac{\partial ^2U}{\partial v^2}$
$\frac{\partial ^2U}{\partial v^2} = 2a$
Ну и тут встал, т.к. $\frac{\partial U}{\partial v} = 2av$

Тут есть хоть что-то правильное?)
Остальные попытки заканчивались ещё раньше.

-- 21.09.2015, 12:16 --

DimaM в сообщении #1054050 писал(а):

Сдается мне, что интеграл должен быть по объему - ну и запишите элемент объема в сферически-симметричном случае.

$dV = dxdydz = J(r,\theta ,\varphi )drd\theta d\varphi = r^2 \sin{\theta} drd\theta d\varphi$ - это для симметричного случая.
Тут решается только радиальная часть и $\sin{\theta}$ уходит, но я немного не понимаю каким образом.
Т.е. по сути вместо полного решения $\Psi = R(r)Y(\theta , \varphi )$ мы работаем только с R(r)

[amon]

А давайте мы функцию Лагранжа напишем по-человечески:

$$L=T-U=\frac{mv^2}{2}-av^2-V(r)=\frac{\tilde{m}v^2}{2}-V(r)$$

Ни на какие мысли не наводит?

[Fanfate]

Да что же это такое Ничерта не понимаю

Теперь $p = \frac{\partial L}{\partial v} = \tilde{m}v$ и $v = \frac{p}{\tilde{m}}$
Тогда функция Гамильтона: $\frac{1}{2}\frac{p^2}{\tilde{m}} + V(r) $, где $V(r) = br^2 + e^{-cr^2}$
$U=a\frac{p^2}{\tilde{m}^2} + V(r)$

[amon]

Так Вы, собственно, все правильно написали. Осталось коммутатор $[v,U]$ сосчитать, и золотой ключик в кармане.

[espe]

Хоть на окончательный ответ это не влияет, но может быть лучше определить $U$ как разность полного гамильтониана

Fanfate в сообщении #1055408 писал(а):

Тогда функция Гамильтона: $\frac{1}{2}\frac{p^2}{\tilde{m}} + V(r) $, где $V(r) = br^2 + e^{-cr^2}$

и гамильтониана свободной частицы $H_0=\frac{p^2}{2m}$?

[Fanfate]

В каком виде импульс нужно подставлять?
Получается $[v,U]=vU\Psi - Uv\Psi = \frac{p_r}{\tilde{m}}(a\frac{{p_r}^2}{\tilde{m}^2}+V(r))\Psi - (a\frac{{p_r}^2}{\tilde{m}^2}+V(r))\frac{p_r}{\tilde{m}}\Psi $
а импульс тут $p_r = -i\hbar \nabla = \frac{1}{r^2} \frac{\partial r^2 f_r}{\partial r}$
Т.е. я представил оператор набла как дивергенцию в сферических координатах.

[amon]

Fanfate в сообщении #1055744 писал(а):

В каком виде импульс нужно подставлять?

Строго говоря, это вопрос к составителям задачи. Скорость - вектор, и что имелось в виду - пес его знает. Давайте будем считать, что проверке подлежат коммутационные соотношения для декартовых компонент $v_x,v_y,v_z$. Поскольку в $U$ координаты входят симметрично, достаточно проверить коммутатор только для одной компоненты. Потом можно будет подумать над вопросом, что надо взять в качестве $v$, что бы ответ совпал с ответом в задачнике.

[espe]

amon в сообщении #1055750 писал(а):

Потом можно будет подумать над вопросом, что надо взять в качестве $v$, что бы ответ совпал с ответом в задачнике.

Каково бы ни было определение оператора скорости он будет коммутировать сам с собой. Поэтому имеем $[v,U]=[v,V(r)].$ Для того, чтобы этот коммутатор был равен нулю оператор скорости не должен зависеть от оператора импульса, что очень странно.

И ещё вопрос, что понимать под потенциалом $U$. В том виде как написал ТС или в том, который предложил я. Замечу, что это разные операторы.

[Fanfate]

Я думаю тот, что в условии задачи. А зачем представлять его как разность?

[espe]

Потому что обычно полный гамильтониан $H$ записывают как сумму гамильтониана свободной частицы $H_0=\frac{p^2}{2m}$ плюс взаимодействие. Всё что не входит в свободный гамильтониан есть взаимодействие, т.е. оператор потенциальной энергии.

[amon]

espe в сообщении #1055754 писал(а):

Для того, чтобы этот коммутатор был равен нулю оператор скорости не должен зависеть от оператора импульса, что очень странно.

IMHO, есть еще одна возможность.

[Fanfate]

amon в сообщении #1055844 писал(а):

IMHO, есть еще одна возможность.

Я пробовал просто взять коммутатор в надежде, что что-то сократится, но остается ещё 2 слагаемых.