Задача из учебника Минкина Симкина "Теория строения молекул"

[Fanfate]

Здравствуйте уважаемые форумчане.
Решил порешать задачи из учебника Минкина Симкина - Теория строения молекул (учебник прикладываю).
В задаче №1.9 (как и в следующей) ответы не сходятся с ответами предложенными в конце учебника. Задача простая, но факта это не меняет.
Звучит она следующим образом:
Можно ли одновременно измерить с любой степенью точности скорость и потенциальную энергию частицы, движущейся в сферически симметричном потенциальном поле $V(r) = av^2 + (br^2 + e^{-cr^2})$, $a,b,c$ -константы; $v$ - скорость.
Тут надо взять коммутатор $[v,V(r)]$ и судя по ответам он должен быть равен нулю, но у меня так не выходит. Если оператор скорости представить через импульс, то всё сведется к тому, что коммутатор $[p,r]$ должен быть равен нулю, но это не так.

А в задаче 1.10 очень большие подозрения на опечатку. В ответах при вычислении средней энергии в интеграл откуда-то добавляют $r^2$, хотя может быть я чего-то не понимаю.


Не нашел как вставлять сюда файлы поэтому кидаю ссылки на учебник:
Ссылки проверил.
http://www.twirpx.com/file/232094/
http://www.newlibrary.ru/book/minkin_v_ ... lekul.html

[amon]

А что такое скорость?

[Fanfate]

Тут не указывается, задача решается в общем виде.
И не совсем скорость как я понимаю это оператор скорости который выражается через оператор импульса $\hat{v} = \hat{p}/m$ , где оператор импульса $p = p_xi + p_yj + p_zk$, где $\hat{p_x} = -i\hbar(d/dx)$

[amon]

Fanfate в сообщении #1054038 писал(а):

как я понимаю это оператор скорости который выражается через оператор импульса $\hat{v} = \hat{p}/m$

Это неверно. $\hat{v}_x =\frac{d\hat{x} }{dt}$. От этого и пляшите.

[Fanfate]

Спасибо большое, как-то даже слишком просто получается.
Просто везде, где я смотрел оператор скорости всегда через импульс выражали.

А вот в задаче 1.10 другой вопрос
С помощью вариационного метода найти $c$ в функции $\Psi = e^{-cr^2}$ (в атомных единицах. $\hat{H} = -1/2\Delta-1/r$
Здесь нужно найти среднее значение E: $\bar{E} = \int{{\Psi*}\hat{H}{\Psi}dr}$, т.е. должно быть $\bar{E} = \int{e^{-cr^2}(-1/2\Delta-1/r)e^{-cr^2}dr}$, но в ответах в конце в интеграле ещё умножают на $r^2$ почему?

[DimaM]

Fanfate в сообщении #1054042 писал(а):

но в ответах в конце в интеграле ещё умножают на $r^2$ почему?

Сдается мне, что интеграл должен быть по объему - ну и запишите элемент объема в сферически-симметричном случае.

[Munin]

amon в сообщении #1054041 писал(а):

Это неверно. $\hat{v}_x =\frac{d\hat{x} }{dt}$.

Объясните, пожалуйста, почему, и как этим пользоваться.

[amon]

Присоединяюсь к вопросу, а то вот это

Fanfate в сообщении #1054042 писал(а):

как-то даже слишком просто получается

вводит в сомнения.

[physicsworks]

Munin в сообщении #1054098 писал(а):

Объясните, пожалуйста, почему, и как этим пользоваться.

потому что $\hat{v} = \hat{p}/m$ --- это не общее выражение оператора скорости, а работает только для свободной частицы и в некоторых других случаях (см. ниже). Вообще, разумно определить оператор скорости исходя из уравнения Гейзенберга:
$\dfrac{d \hat{x}}{dt} = \dfrac{1}{i\hbar}[\hat x, \hat H]$.
Тогда для свободной частицы $\hat H = \hat p^2/2m$ получим $\hat{x}/dt=\hat{p}/m$.
Если же частица находится в потенциале $\hat U$, то
$\dfrac {d\hat{x}}{dt}=\dfrac{\hat{p}}{m}+\dfrac{1}{i\hbar}[\hat x, \hat U]$.
То, что это разумное определение, подтверждается тем, что средние значения, получающиеся из этих уравнений, ведут себя как соответствующие классические величины.

[Munin]

Если говорить о потенциале в нерасширенном смысле, то $U=U(x),$ и кажется, получается, $[\hat{x},\hat{U}]=0.$
То есть, различия начинаются не раньше того, как вводится магнитное поле.

А, а в данном случае как раз потенциал зависит от скорости.

Спасибо, всё, понял.

[espe]

Fanfate в сообщении #1054036 писал(а):

В задаче №1.9 (как и в следующей) ответы не сходятся с ответами предложенными в конце учебника. Задача простая, ...

Имхо задача просто не корректная. Разве что у химиков своя квантовая механика ...

[amon]

espe в сообщении #1054676 писал(а):

Имхо задача просто не корректная

Поскольку ТС пропал куда-то, то хочу сказать, что задачка не так проста, если ее решать формально (спасает квадратичная зависимость потенциала от скорости). Надо сначала перейти от функции Лагранжа (зависящей от скорости) к функции Гамильтона (зависящей от импульсов). Потом переписать потенциал через канонический импульс, и только после этого, сосчитав предварительно скорость, посчитать коммутатор.

[espe]

Абсолютно с Вами согласен. Осталась только мелочь: всё это попытаться проделать.

[amon]

Sicker в сообщении #1055182 писал(а):

У меня получился удвоенный оператор скорости.

А $\frac{1}{2m}$ ни где не посеяли?

[Sicker]

amon
Да, ее и посеял)
PS. del