Задача из учебника Минкина Симкина "Теория строения молекул"

[Fanfate]

Хе-хе,
глянул я учебник, ошибка, где-то видна сразу.
По ответу $E = \frac{3c}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}\sqrt{c}$
У меня же все $c$ в отрицательной степени. Что приводит к совершенно другому ответу.
Отрицательная степень у меня появляется в интегралах Гаусса. Может быть ошибка там или я неправильно подставил Лапласиан в сферических координатах.
Ой, может быть да ну его? Может быть лучше пойти и порешать Киселева с Галицким?

[amon]

Fanfate в сообщении #1057522 писал(а):

Ой, может быть да ну его? Может быть лучше пойти и порешать Киселева с Галицким?

Мысль похвальная, но давайте уж добьём. Во-первых, проверим разумность ответа из учебника по размерности. Единицы вроде как безразмерные, проверить размерность вроде как невозможно, но исхитримся. Единственная величина, через которую все выражается это $c$. Будем считать $cr^2$ безразмерной величиной. Поскольку $\int \left|\Psi\right|^2r^2dr=1$, то все "размерности" проистекают от $\Delta\sim\frac{1}{r^2}\sim c$ и $\frac{1}{r}\sim\sqrt{c}$. Стало быть, правильный ответ должен содержать два слагаемых: одно пропорциональное $c$, а другое - $\sqrt{c}$. Смотрим, и видим, что ответ в учебнике похож на настоящий. К стати, по дороге мы почти решили задачу не взяв ни одного интеграла.

Теперь о том, куда же у Вас делся правильный ответ. Кажется мне, что Вы забыли:
1. Нормировочный множитель при $\Psi$. Ведь $e^{-cr^2}$ не даст $\int \left|\Psi\right|^2r^2dr=1$.
2. Те $c$, что получаются от дифференцирования $e^{-cr^2}$ по $r$.

[Fanfate]

Нормировочный множитель? Вот этот?
$\int\limits_{0}^{\infty}C_0^2e^{-2cr^2}r^2dr=C_0^2\int\limits_{0}^{\infty}e^{-2cr^2}r^2dr=-\frac{1}{2}C_0^2\frac{d}{dc}\int\limits_{0}^{\infty}e^{-2cr^2}dr=-\frac{1}{8}C_0^2\sqrt{\frac{\pi}{2}}c^{-3/2}=1$
$C_0^2=8\sqrt{\frac{2}{\pi}}c^{3/2}$
$C_0=_4\sqrt{\frac{128}{\pi}c^3}$
(А как сделать корень 4 степени?)

-- 29.09.2015, 10:47 --

Сошлось с точностью до множителя в первом слагаемом, сейчас буду искать ошибку. Но задачу думаю уже можно считать решенной. Спасибо вам большое

[amon]

Fanfate в сообщении #1057535 писал(а):

А как сделать корень 4 степени?

Вот так: $\sqrt[4]{16}$

[Fanfate]

Ошибку нашел
у меня было
$\int\limits_{0}^{\infty}e^{-cr^2}\nabla^2(e^{-cr^2}r^2)dr$, а наверно надо было так
$\int\limits_{0}^{\infty}e^{-cr^2}\nabla^2(e^{-cr^2})r^2dr$
это логично если идти от формулы $\int \Psi'\hat{H}(\Psi)dV$
Тогда у меня получился ответ:
$\bar{E}=\frac{3}{2}c-2\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}}\sqrt{c}$
Т.е. тот же что и в учебнике

-- 29.09.2015, 11:29 --

Задача добита
Ещё раз спасибо, теперь я даже не знаю как поступать, дальше идти или перейти к задачнику и учебнику по КМ

[amon]

Я - за нормальный учебник и задачник. Толку больше будет.