Ускорение точки крепления маятника для избежания раскачки.

[Viktor92]

В головы пришли чисто инженерные решения, насколько я понял вам кроме программы управления двигателем ничего менять не хотелось бы в конструкции, но возможно в подвесе каретке если установить демпферы-амортизаторы (ну конечно придётся полностью перепроектировать конструкцию каретки и пропуск лебёдки), то колебания будут быстрее затухать, и если ещё к этому, задать ограничение на скорость каретки, например когда она проходит допустим $3/5$ длины стрелы,
автоматически угловую скорость двигателя равномерно уменьшать, и возможно что расстояние, на котором следует начать уменьшать эту угловую скорость, должно зависеть от длины спуска лебёдки.
Тут ещё много зависит от свойств самого двигателя каретки, даже если вы теоретически найдёте какой-то оптимальный закон управления, то на практике двигатель может не успеть отработать данную программу.

[OlegCh]

OlegCh в сообщении #1051986 писал(а):

У вас конечная фаза движения не эквивалентна начальной - если повторить движение каретки "наоборот" при приближении к целевой точке, то груз не будет в этой целевой точке иметь нулевую скорость.

Да, был неправ, признаю. Картина симметрична. Но фазу равномерного движения можно исключить - т.е. если так подобрать движение каретки чтобы $t_1=t_2$, то общее время перемещения груза будет минимальным (вроде бы). Осталось только найти эту функцию.

[Xey]

Munin в сообщении #1052009 писал(а):

Я "открыл", что задача техническая, а не математическая.

А что Вы при этом имеете в виду ? Ведь применения ОС и ПИД регулирования не предполагалось.

Для реализации движения груза без качания надо посчитать время , в течении которого скорость груза достигает скорости каретки, и время, в течении которого можно "убрать" наклон тросса (остановкой каретки или ее обратным движением ). Длину троса и скорость каретки можно считать известными.

[OlegCh]

Xey в сообщении #1052227 писал(а):

Для реализации движения груза без качания

Движения груза без качания не будет. Качание в любом случае будет в начале и в конце. А тот этап, когда груз и каретка движутся равномерно, он просто не нужен - он лишь увеличивает время перемещения и его можно исключить. Необходимо лишь добиться того, чтобы в средней точке пути скорости каретки и груза совпадали.

[Munin]

Xey в сообщении #1052227 писал(а):

А что Вы при этом имеете в виду ?

Что надо не допиливать условия до математической постановки, в которой будет "существование и единственность решения" (при этом доугадано будет слишком много ненужного),
а надо дотелепатить, что на самом деле нужно заказчику (иногда с применением допроса третьей степени), и мыслить в направлении сделать это максимально просто и дёшево, и чтобы он при этом был доволен. Единственность решения не требуется. Точность выполнения именно того, что буквально произнесено заказчиком, тоже не требуется.

Это совсем другая постановка задачи, которая постоянно встречается практикам, но совершенно неведома кабинетным теоретикам.

Xey в сообщении #1052227 писал(а):

Длину троса и скорость каретки можно считать известными.

Ну вот кстати, а откуда вы будете знать длину троса? Мерять как-то надо :-) (Вес груза тоже, хотя он и меньше влияет.)

Кроме того, есть ещё вопрос, а убирать ли раскачивание от ветра. В том числе, это вообще не всегда физически возможно.

-- 10.09.2015 13:47:53 --

OlegCh в сообщении #1052235 писал(а):

А тот этап, когда груз и каретка движутся равномерно, он просто не нужен - он лишь увеличивает время перемещения и его можно исключить.

Вот это как раз противоречит максимальной простоте решения. Напротив, именно этот этап должен составлять наибольшую часть времени перемещения, а $t_1$ должно стать константой, достаточно малой. Схема такая: крановщик дёргает за рычаг, в ответ двигателем исполняется короткая программа по началу равномерного движения, после чего крановщик сидит и ждёт, пока груз доедет, и крановщик дёргает рычаг на остановку - двигателем исполняется другая короткая программа.

[oleg_2]

OlegCh в сообщении #1052235 писал(а):

Необходимо лишь добиться того, чтобы в средней точке пути скорости каретки и груза совпадали.

Тут неточность. Надо еще чтобы в этот момент груз был точно под кареткой, а то вся симметрия
нарушится.

Задачу можно решить и интуитивно, вообще без формул.
Пусть длина подвеса $L$ и масса груза $M$ не меняются. Пусть каретка может менять скорость
практически мгновенно, и пусть есть две возможные скорости каретки $v_1$ и $v_2$, $v_1=v_2/2$.
$t_1$ -начало разгона груза;
$t_2$ -конец разгона, переход к равномерному движению.

Рассмотрим момент $t_1+$, это когда каретка уже начала двигаться со скорость $v_1$, а груз
еще точно под кареткой. Это математический маятник в положении равновесия, груз движется
относительно каретки со скоростью $v_1$ назад. Через полпериода $T/2$ своих колебаний
груз снова окажется точно под кареткой и будет двигаться относительно каретки со скоростью
$v_1$ вперед, это момент $t_2$. При этом относительно земли груз будет двигаться со
скоростью $v_2$. Остаётся только в этот момент включить вторую скорость, т. е. $v_2$.

Интуиция подсказывает, что закон движения каретки, время $t_2$ зависит от длины подвеса $L$.
Еще интуиция подсказывает, что возможен и другой закон движения каретки, важно только,
чтоб её скорость увеличивалась, а ускорение уменьшалось. Чтобы груз асимптотически стремился
занять своё положение под кареткой. Но вот зависимость от $L$ и $M$, тут интуиция ничего не
подсказывает.

(Оффтоп)

Мне довелось много раз бывать в кабине башенного крана и смотреть, как работает опытный
крановщик (я электриком работал на лесопилке). Так он примерно так и работает. Четыре ступени
регулирования, только кран старый, регулировалась не скорость, а тяга двигателя включением
сопротивлений.

[OlegCh]

oleg_2 в сообщении #1052262 писал(а):

Тут неточность. Надо еще чтобы в этот момент груз был точно под кареткой, а то вся симметрия
нарушится.

Ну так если скорости совпадают (вектора), то он и будет точно под кареткой.

[rustot]

(Оффтоп)

Любой крановщик решает эту задачу так же просто, как переставление ног при ходьбе. Чтобы избежать раскачки достаточно угадать в какой точке груз достигает верхней мертвой точки и аккурат к этому момент успеть расположить стрелу над этой точкой.

[OlegCh]

(Оффтоп)

rustot в сообщении #1052469 писал(а):

Любой крановщик решает эту задачу так же просто, как переставление ног при ходьбе. Чтобы избежать раскачки достаточно угадать в какой точке груз достигает верхней мертвой точки и аккурат к этому момент успеть расположить стрелу над этой точкой.

Не получится. Мы же считаем длину троса постоянной. А если каретка будет в том месте, где груз в в.м.т., то трос должен быть короче.

[rustot]

(Оффтоп)

OlegCh в сообщении #1052488 писал(а):

Не получится. Мы же считаем длину троса постоянной. А если каретка будет в том месте, где груз в в.м.т., то трос должен быть короче.

получится, я крановщиком год работал :) угадать нужно не точку где груз остановится если вы ничего делать не будете, а ту , чуть подальше, где он остановится с учетом того что вы отправите стрелу вслед за ним. это первое чему учат и реально уже на третий день вы это умеете так же легко как ходить или на велосипеде ездить.

если задачу поставить не "вообще" про какое то оптимальное движение, а следующим образом - "маятник в данный момент имеет угол отклонения A и скорость B. с какой ПОСТОЯННОЙ скоростью следует двигать подвес чтобы он оказался над грузом в момент перехода скорости груза через 0" - вполне решаемая задача. задача про переменную скорость с условием чтобы груз остановился не где попало а в заданной точке - посложнее, с нежестким но массивным подвесом еще сложнее

[Andrey Safonov]

Дамы и господа. Очень прошу вас перейти от диспута о постановки задачи к ее решению. Нужна формула(формулы) которые описывают движение этой системы. Очень благодарен

Oleg Zubelevich в сообщении #1051060 писал(а):

Пусть для определенности колебания груза будут малыми. Тогда система описывается следующим дифференциальным уравнением

$$\ddot\psi+\omega^2\psi=\ddot f(t),$$

где $\psi$ - угол отклонения троса от вертикали, $f(t)$ -- функция, характеризующая движение каретки. Если каретка движется с постоянной скоростью, то $f(t)=at+b$.

за попытку правильно ответить на вопрос. Прошу остальных участников обсуждения помочь решить, правильная ли это формула, вывести закон без $\ddot f(t)$ дифференциалов, чтобы можно было хоть как-то применить его к реальной каретке с грузом. Еще был такой вариант: https://cloud.mail.ru/public/8eLb/dQb5UP5vG. В Википедии есть статья про математический маятник. Там есть формула $\ddot x +\omega^2 x=0$. Где $\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}$, где g=9,81; L - длина подвеса. Очень похоже на предложенную формулу Oleg Zubelevich в сообщении #1051060 Математический маятник не зависит от массы, только от длины подвеса. Высоту подвеса груза, а значит длину нити мы можем узнать на любом кране. Как выше сказано, крановщик справляется с колебаниями интуитивно, как мы держим равновесие при ходьбе. Но для этого нужен опыт. Надо научить автомат, который будет помогать гасить колебания крановщикам.

[peregoudov]

Если я нигде не накосячил (проверяйте!), одно из возможных решений такое. Будем решать уравнение (малых колебаний груза)

$$ \ddot y+y=-\ddot x, $$

где $y$ --- расстояние от груза до каретки по горизонтали, $x$ --- положение каретки (частоту колебаний я положил равной единице), при начальных условиях $y(0)=0$, $\dot y(0)=0$ (груз находится точно под кареткой и движется с одной с ней скоростью) методом вариации постоянных

$$ y(t)=a(t)\cos t+b(t)\sin t. $$

Нетрудно найти

$$ a(t)=\int_0^t\ddot x(t')\sin t'\,dt',\quad b(t)=-\int_0^t\ddot x(t')\cos t'\,dt'. $$

Нам нужно, чтобы в некоторый момент времени выполнялись те же условия, что в начальный момент

$$ y(t)=0,\quad \dot y(t)=0. $$

В методе вариации постоянных

$$ \dot y(t)=-a(t)\sin t+b(t)\cos t, $$

так что выписанные условия эквивалентны

$$ a(t)=0,\quad b(t)=0. $$

Рассмотрим теперь конкретный вид движения каретки: мгновенный разгон до некоторой скорости $v$, движение с этой скоростью в течение промежутка времени от $0$ до $t_1$, мгновенная остановка, покой в течение промежутка времени от $t_1$ до $t_2$, мгновенный разгон вновь до скорости $v$. Тогда

$$ \ddot x(t)=v(\delta(t)-\delta(t-t_1)+\delta(t-t_2)). $$

По окончании указанных манипуляций $a$ и $b$ должны обратиться в нуль. Требуется подобрать $t_1$ и $t_2$.

Интегралы в $a$ и $b$ снимаются

$$ a=v(-\sin t_1+\sin t_2)=2v\sin\frac{t_2-t_1}2\cos\frac{t_1+t_2}2, $$

$$ b=-v(1-\cos t_1+\cos t_2)=-v\left(1-2\sin\frac{t_2-t_1}2\sin\frac{t_1+t_2}2\right). $$

Видно, что для обнуления $a$ подходит только $\cos\dfrac{t_1+t_2}2=0$, иначе невозможно обнулить $b$. Выбирая минимальное значение $\dfrac{t_1+t_2}2=\dfrac\pi2$, для обнуления $b$ получаем $\sin\dfrac{t_2-t_1}2=\dfrac12$, опять-таки берем минимальное значение $\dfrac{t_2-t_1}2=\dfrac\pi6$. Окончательно находим, что $t_1=\pi/3$, $t_2=2\pi/3$, то есть остановить каретку надо через одну шестую периода колебаний, а еще через одну шестую (то есть через одну треть от начала манипуляций) движение каретки возобновить.

[Andrey Safonov]

Большое спасибо!
А можно ли в ваши рассуждения внести колебания не равные единице? Ведь это очень редкое явление.

[peregoudov]

Как раз наоборот, любые колебания можно выбором единицы времени свести к колебаниям с единичной частотой. Я же вам окончательный ответ дал в долях периода, что еще нужно? Он для любого периода годится.

[levtsn]

а останавливаться как будет?