Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?

[Divergence]

$L^2([-\pi,\pi])$ и $l^2$ тоже бесконечномерные гильбертовы пространства.
Вопрос с $L^2(\mathbb{R})$.

[alcoholist]

NSKuber в сообщении #1049016 писал(а):

Насколько мне известно, в бесконечномерных пространствах существуют определённые трудности с предъявлением конкретного базиса, не говоря уже об отображении одного базиса на другой.

Главное базисы есть и они равномощны

-- Сб авг 29, 2015 13:39:30 --

Divergence в сообщении #1049019 писал(а):

Вопрос с $L^2(\mathbb{R})$

в этом пространстве нет разложения по $\{e^{inx}\}$

[Divergence]

Понятно, что я привел отображение и базис $e^{i \, n\, x}$ для $L^2([-\pi,\pi])$.

Приведите пожалуйста пример отображения $\delta_{n,k}$ как элемента $l^2(\mathbb{Z})$ в $L^2(\mathbb{R})$.
По какой формуле это можно получить?

[alcoholist]

Разве

Divergence в сообщении #1049023 писал(а):

Приведите пожалуйста пример отображения $\delta_{n,k}$ в $L^2(\mathbb{R})$

в каком смысле понимать "отображение двойной последовательности в пространство функций на прямой с интегрируемым квадратом"?

[Divergence]

$x_n:=\delta_{n,k}$, где $k$ - фиксировано (например, как в начале поста $k=1$, отображение $\delta_{n,1}$), как элемента $l^2(\mathbb{Z})$ .

[alcoholist]

Я имел ввиду вот что.
Пусть $l^2$ -- гильбертово пространство комплексных квадратично-суммируемых двусторонних последовательностей со скалярным произведением $(x,y)=\sum x(n)\overline{y(n)}$. Там имеется замечательный ортонормированный базис $\{e_k\}$, где $e_k(n)=\delta_{k,n}$.
Пусть $L^2$ -- гильбертово пространство комплексных квадратично-суммируемых функций на отрезке $[-\pi;\pi]$ со скалярным произведением $(f,g)=\frac{1}{2\pi} \int f(x)\overline{g(x)}$. Там имеется замечательный ортонормированный базис $\{u_k\}$, где $u_k(x)=e^{ikx}$.
Отображение $\Phi:l^2\to L^2$, определенное на базисных векторах как $\Phi(e_k)=u_k$, является изометрией.

[Divergence]

То есть опять $\delta_{n,k}$ отображается $e^{ikx}$, но это не квадратично интегрируемая функция, т. е. не принадлежит $L^2(\mathbb{R})$!? (возможно, как уже писал, это элемент ${\cal J}^*(\mathbb{R})$ или ${\cal J}^*(\mathbb{Z})$ (если такое чудо существует в природе)?)

Поясню зачем писал про $L^2([-\pi,\pi])$. Приводил для $L^2([-\pi,\pi])$, поскольку полагал, что можно обобщить для $L^2([-\pi/h,\pi/h])$ используя

$$ x_n=\int^{+\pi/h}_{-\pi/h} f(x) \, e^{i \, n \, h \, x} \, dx$$

И рассмотреть предел $h \to 0$. Однако для обратного преобразования

$$ \sum^{+\infty}_{n=-\infty} x_n \, e^{i \, n \, h\, x} = \sum^{+\infty}_{n=-\infty} \delty_{n,m} \, e^{i \, n \, h \, x} = e^{i \, m \, h \, x}$$

не очень понятно что получаем.

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1049046 писал(а):

т. е. не принадлежит $L^2(\mathbb{R})$

про это пространство я ничего не писал

[Divergence]

Так я постоянно спрашиваю именно про $L^2(\mathbb{R})$!

То есть получается, что элемент $l^2$ при отображении на изоморфное пространство вылетает из $L^2(\mathbb{R})$.

[alcoholist]

а... разве $L^2(\mathbb{R})$ сепарабельно?

[Divergence]

При отображении в $L^2(\mathbb{R})$, a не в $L^2([-\pi,\pi])$: Что получается?
Для $L^2([-\pi,\pi])$ уже писал явную формулу для отображения, которое вы обозначили $\Phi$.

Получается, что $\delta_{n,k}$ попадает в ${\cal J}^{*}(\mathbb{R})$ т.е. пространство обобщенных функций. (так или нет?)

Или вы не знаете как построить это отображение ( $\delta_{n,k}$ в $L^2(\mathbb{R})$)?

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1049053 писал(а):

это отображение

что за отображение? Кого и куда? С какими свойствами?

[Divergence]

Например, обобщение формул отображения в $L^2([-\pi,\pi])$.
Можно ли то, что писалось для $L^2([-\pi,\pi])$, обобщить для $L^2([-\pi/h,\pi/h])$, используя

$$ x_n=\int^{+\pi/h}_{-\pi/h} f(x) \, e^{i \, n \, h \, x} \, dx$$

а затем рассматривать предел $h \to 0$ (чтобы получить для $L^2(\mathbb{R})$) ?

Что будет для обратного преобразования (которое призвано осуществить искомое отображение $\delta_{n.m}$ в $L^2(\mathbb{R})$),

$$ \sum^{+\infty}_{n=-\infty} x_n \, e^{i \, n \, h\, x} = \sum^{+\infty}_{n=-\infty} \delta_{n,m} \, e^{i \, n \, h \, x} = e^{i \, m \, h \, x} . $$

Мне не очень понятно, что получаем здесь при $h \to 0$.
Получаем $e^{i \, y \, x}$ из ${\cal J}^{*}(\mathbb{R})$ ?
Получаем полную систему функционалов в ${\cal J}^{*}(\mathbb{R})$ ?

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1049077 писал(а):

используя

$$ x_n=\int^{+\pi/h}_{-\pi/h} f(x) \, e^{i \, n \, h \, x} \, dx$$

а затем рассматривать предел $h \to 0$ ?

Что за функция $f$? Ее область определения зависит от $h$... непонятно

-- Сб авг 29, 2015 15:40:47 --

Divergence в сообщении #1049077 писал(а):

предел $h \to 0$

получается семейство сепарабельных гильбертовых пространств, параметризованное $h>0$.Что такое "предельное пространство", в каком смысле тут сходимость?

[Divergence]

1. Понятно что $f \in L^2([-\pi/h,\pi/h])$.
2. Хотел, чтобы предельным для $L^2([-\pi/h,\pi/h]) $ при $h \to 0$ было $L^2(\mathbb{R})$.

А вообще я не знаю. Поэтому и спрашиваю. Мне именно это и интересно.
Вы мне задаете вопросы, а мне хотелось бы получать ответы на эти вопросы.
Можно ли нечто такое, что было описано выше, сделать и как это строго сделать ?