Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1049091 писал(а):

1. Понятно что $f \in L^2([-\pi/h,\pi/h])$.

как изменяется $f$ с изменением $h$? Это уже семейство функций, поэтому непонятен смысл этих $x_n$

Divergence в сообщении #1049091 писал(а):

Хотел, чтобы предельным для $L^2([-\pi/h,\pi/h]) $ при $h \to 0$ было $L^2(\mathbb{R})$

Ну, посмотрите на гильбертово пространство как на метрическое... Для направленности метрических пространств имеется понятие предела по Громову-Хаусдорфу

[Divergence]

Кто нибудь такое смотрел? Ведь это почти переход от Фурье ряда к Фурье интегралу.
Но я не видел, где бы это описывалось на уровне пространства функций.
Не видели ли вы такое? А нет ли у вас ссылки?

[Vince Diesel]

Пример базиса в $L_2(\mathbb R)$. Возьмем ортонормированный базис $\{\varphi_n\}$ в $L_2[0,2\pi]$ из тригонометрической системы функций. Тогда множество функций $\{\varphi_n\chi_{[2\pi k,2\pi (k+1)]}\}$, $k\in \mathbb Z$, где $\chi_{[2\pi k,2\pi (k+1)]}$ — характеристическая функция отрезка, будет базисом в $L_2(\mathbb R)$. Много базисов похожего вида строится с помощью вейвлетов, базис Хаара и т.д. Так что берете любую функцию $\varphi_n\chi_{[2\pi k,2\pi (k+1)]}$ и вот вам один из возможных образов $\delta_{n,1}$.

[Oleg Zubelevich]

любое гильбертово пространство имеет ортогональный базис, другое дело, этот базис не более чем счетен iff пространство сепарабельно

[Divergence]

А как выглядит явно функция $\varphi_n\chi_{[2\pi k,2\pi (k+1)]}$?
Синус $\sin(n \, x)$ умноженный на сумму функций Хевисайда $\theta(2\pi k)+ \theta(-2\pi (k+1))$?

[Vince Diesel]

Да, еще там есть косинусы Только в $\theta$ еще $x$ должен быть

[Divergence]

А где можно почитать о том, что "множество функций $\{\varphi_n\chi_{[2\pi k,2\pi (k+1)]}\}$, $k\in \mathbb Z$, где $\chi_{[2\pi k,2\pi (k+1)]}$ — характеристическая функция отрезка, будет базисом в $L_2(\mathbb R)$."?
Не подскажите ссылку?

[Vince Diesel]

Не знаю. В данном случае это очевидно. А вообще в книжках по вейвлетам похожие факты устанавливаются.