2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?
Сообщение29.08.2015, 13:31 
Аватара пользователя
$L^2([-\pi,\pi])$ и $l^2$ тоже бесконечномерные гильбертовы пространства.
Вопрос с $L^2(\mathbb{R})$.

 
 
 
 Re: Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?
Сообщение29.08.2015, 13:38 
Аватара пользователя
NSKuber в сообщении #1049016 писал(а):
Насколько мне известно, в бесконечномерных пространствах существуют определённые трудности с предъявлением конкретного базиса, не говоря уже об отображении одного базиса на другой.

Главное базисы есть и они равномощны

-- Сб авг 29, 2015 13:39:30 --

Divergence в сообщении #1049019 писал(а):
Вопрос с $L^2(\mathbb{R})$

в этом пространстве нет разложения по $\{e^{inx}\}$

 
 
 
 Re: Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?
Сообщение29.08.2015, 13:45 
Аватара пользователя
Понятно, что я привел отображение и базис $e^{i \, n\, x}$ для $L^2([-\pi,\pi])$.

Приведите пожалуйста пример отображения $\delta_{n,k}$ как элемента $l^2(\mathbb{Z})$ в $L^2(\mathbb{R})$.
По какой формуле это можно получить?

 
 
 
 Re: Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?
Сообщение29.08.2015, 13:50 
Аватара пользователя
Разве
Divergence в сообщении #1049023 писал(а):
Приведите пожалуйста пример отображения $\delta_{n,k}$ в $L^2(\mathbb{R})$

в каком смысле понимать "отображение двойной последовательности в пространство функций на прямой с интегрируемым квадратом"?

 
 
 
 Re: Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?
Сообщение29.08.2015, 13:57 
Аватара пользователя
$x_n:=\delta_{n,k}$, где $k$ - фиксировано (например, как в начале поста $k=1$, отображение $\delta_{n,1}$), как элемента $l^2(\mathbb{Z})$ .

 
 
 
 Re: Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?
Сообщение29.08.2015, 14:06 
Аватара пользователя
Я имел ввиду вот что.
Пусть $l^2$ -- гильбертово пространство комплексных квадратично-суммируемых двусторонних последовательностей со скалярным произведением $(x,y)=\sum x(n)\overline{y(n)}$. Там имеется замечательный ортонормированный базис $\{e_k\}$, где $e_k(n)=\delta_{k,n}$.
Пусть $L^2$ -- гильбертово пространство комплексных квадратично-суммируемых функций на отрезке $[-\pi;\pi]$ со скалярным произведением $(f,g)=\frac{1}{2\pi} \int f(x)\overline{g(x)}$. Там имеется замечательный ортонормированный базис $\{u_k\}$, где $u_k(x)=e^{ikx}$.
Отображение $\Phi:l^2\to L^2$, определенное на базисных векторах как $\Phi(e_k)=u_k$, является изометрией.

 
 
 
 Re: Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?
Сообщение29.08.2015, 14:20 
Аватара пользователя
То есть опять $\delta_{n,k}$ отображается $e^{ikx}$, но это не квадратично интегрируемая функция, т. е. не принадлежит $L^2(\mathbb{R})$!? (возможно, как уже писал, это элемент ${\cal J}^*(\mathbb{R})$ или ${\cal J}^*(\mathbb{Z})$ (если такое чудо существует в природе)?)

Поясню зачем писал про $L^2([-\pi,\pi])$. Приводил для $L^2([-\pi,\pi])$, поскольку полагал, что можно обобщить для $L^2([-\pi/h,\pi/h])$ используя
$$ x_n=\int^{+\pi/h}_{-\pi/h} f(x) \, e^{i \, n \, h \, x} \, dx$$
И рассмотреть предел $h \to 0$. Однако для обратного преобразования
$$ \sum^{+\infty}_{n=-\infty} x_n \, e^{i \, n \, h\,  x} = 
\sum^{+\infty}_{n=-\infty} \delty_{n,m} \, e^{i \, n \, h \, x} =  e^{i \, m \, h \, x}$$
не очень понятно что получаем.

 
 
 
 Re: Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?
Сообщение29.08.2015, 14:22 
Аватара пользователя
Divergence в сообщении #1049046 писал(а):
т. е. не принадлежит $L^2(\mathbb{R})$

про это пространство я ничего не писал

 
 
 
 Re: Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?
Сообщение29.08.2015, 14:23 
Аватара пользователя
Так я постоянно спрашиваю именно про $L^2(\mathbb{R})$!

То есть получается, что элемент $l^2$ при отображении на изоморфное пространство вылетает из $L^2(\mathbb{R})$.

 
 
 
 Re: Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?
Сообщение29.08.2015, 14:25 
Аватара пользователя
а... разве $L^2(\mathbb{R})$ сепарабельно?

 
 
 
 Re: Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?
Сообщение29.08.2015, 14:31 
Аватара пользователя
При отображении в $L^2(\mathbb{R})$, a не в $L^2([-\pi,\pi])$: Что получается?
Для $L^2([-\pi,\pi])$ уже писал явную формулу для отображения, которое вы обозначили $\Phi$.

Получается, что $\delta_{n,k}$ попадает в ${\cal J}^{*}(\mathbb{R})$ т.е. пространство обобщенных функций. (так или нет?)

Или вы не знаете как построить это отображение ( $\delta_{n,k}$ в $L^2(\mathbb{R})$)?

 
 
 
 Re: Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?
Сообщение29.08.2015, 14:59 
Аватара пользователя
Divergence в сообщении #1049053 писал(а):
это отображение

что за отображение? Кого и куда? С какими свойствами?

 
 
 
 Re: Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?
Сообщение29.08.2015, 15:24 
Аватара пользователя
Например, обобщение формул отображения в $L^2([-\pi,\pi])$.
Можно ли то, что писалось для $L^2([-\pi,\pi])$, обобщить для $L^2([-\pi/h,\pi/h])$, используя
$$ x_n=\int^{+\pi/h}_{-\pi/h} f(x) \, e^{i \, n \, h \, x} \, dx$$
а затем рассматривать предел $h \to 0$ (чтобы получить для $L^2(\mathbb{R})$) ?

Что будет для обратного преобразования (которое призвано осуществить искомое отображение $\delta_{n.m}$ в $L^2(\mathbb{R})$),
$$ \sum^{+\infty}_{n=-\infty} x_n \, e^{i \, n \, h\,  x} = 
\sum^{+\infty}_{n=-\infty} \delta_{n,m} \, e^{i \, n \, h \, x} =  e^{i \, m \, h \, x} . $$
Мне не очень понятно, что получаем здесь при $h \to 0$.
Получаем $e^{i \, y \, x}$ из ${\cal J}^{*}(\mathbb{R})$ ?
Получаем полную систему функционалов в ${\cal J}^{*}(\mathbb{R})$ ?

 
 
 
 Re: Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?
Сообщение29.08.2015, 15:33 
Аватара пользователя
Divergence в сообщении #1049077 писал(а):
используя
$$ x_n=\int^{+\pi/h}_{-\pi/h} f(x) \, e^{i \, n \, h \, x} \, dx$$
а затем рассматривать предел $h \to 0$ ?

Что за функция $f$? Ее область определения зависит от $h$... непонятно

-- Сб авг 29, 2015 15:40:47 --

Divergence в сообщении #1049077 писал(а):
предел $h \to 0$

получается семейство сепарабельных гильбертовых пространств, параметризованное $h>0$.Что такое "предельное пространство", в каком смысле тут сходимость?

 
 
 
 Re: Послед-ность "дельта Кронекера" и простран-ва послед-ностей?
Сообщение29.08.2015, 15:56 
Аватара пользователя
1. Понятно что $f \in L^2([-\pi/h,\pi/h])$.
2. Хотел, чтобы предельным для $L^2([-\pi/h,\pi/h]) $ при $h \to 0$ было $L^2(\mathbb{R})$.

А вообще я не знаю. Поэтому и спрашиваю. Мне именно это и интересно.
Вы мне задаете вопросы, а мне хотелось бы получать ответы на эти вопросы.
Можно ли нечто такое, что было описано выше, сделать и как это строго сделать ?

 
 
 [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group