Группы перестановок берутся не от балды. Эти группы - группы автоморфизмов полей вида

над полем

. Слова "над полем

" означают, автоморфизм должен оставлять все элементы поля

на месте. Обычно в контекстах

называется основным полем,

- расширением.
Автоморфизм - это преобразование

, аддитивное и линейное над

, т.е.:
1) для любых

2) для любых

Пусть

- многочлен, его коэффициенты взяты из поля

(например,

)

- его корни. Добавляя в

разные наборы корней

мы будем получать разные расширения

, самое большое - это, конечно

. Вот выбирая любую пару полей, таких, что одно является расширением другого, мы можем рассматривать его группу перестановок - группу Галуа. Правда, вариантов полей там сильно меньше, чем

формально, но они есть.
Чаще всего рассматривается случай расширения

над

. Любой элемент

расширения - это многочлен от

с коэффициентами из

. Потому действие автоморфизма

на

определяется только коэффициентами этого многочлена и значением

. И я вот блин забыл почему, но

- это тоже корень многочлена.
Например, возьмем уравнение с корнями -1,-2,-3, 1, 2:

.
Как можно узнать, если группа образованная этими корнями разрешима и какие перестановки есть в этой группе?
Уравнения чаще всего задаются над полем

или

. В Вашем случае - это

. Поле, в котором это уравнение разлагается на линейный множители - это

, т.е. расширение поля совпадает с основным полем, значит его группа Галуа =

- тривиальна.
Примеры поинтереснее получаются, если рассматривать уравнения типа

, где

не является

-й степенью в

.
Вообще, я теорию знаю плохо, потому у меня тут сумбурно. Скачайте Постникова и Кострикина и читайте у них про теорию Галуа, потом задавайте вопросы.