Теория Галуа

[Valen007]

Начал читать книги по теории Галуа Алексеева "Теорема Абеля" и Постникова "Теория Галуа". Там идут группы,группы... Но идея как это связано с решением уравнений не проясняется.

Возможно прояснить основную идею теории Галуа? Как эти самые группы связаны с решением уравнений? Так сказать, на пальцах?

Заранее благодарен.

[Xaositect]

Попробую объяснить.

Если у нас есть какой-то набор чисел, то они могут удовлетворять разным алгебраическим соотношениям с рациональными коэффициентами. Например, если взять числа $x_1 = 2 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{2}$, то верны соотношения $x_1 + x_2 = 4$, $x_1x_2 = 2$, $x_1^2 - 4x_1 + 2 = 0$, $x_2^2 - 4x_2 + 2 = 0$, $x_1^2 + x_2^2 = 12$ и т.п.

Иногда, если числа в наборе переставлять, этот набор соотношений меняется, а иногда нет. Например, наборы $x_1 = 2 - \sqrt2$ и $x_2 = 2 + \sqrt 2$ и $x_1 = 2 + \sqrt 2$, $x_2 = 2 - \sqrt 2$ удовлетворяют одним и тем же соотношениям, а наборы $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ и $x_1 = 2$, $x_2 = 1$, очевидно, нет (в первом выполняется $x_1 = 1$, а во втором нет).

Неформально говоря, мы можем переставлять числа в нашем наборе, если мы не можем заметить разницы с помощью только рациональных чисел и арифметических операций. Все такие перестановки образут группу.

Оказывается, для чисел, которые полчаются с помощью арифметических операций и радикалов, эта группа должна удовлетворять некоторым условиям, о которых Вы в указанных книгах прочитаете (группа должна быть разрешимой). А если взять набор из всех корней типичного уравнения пятого порядка, то для них группа может этим условиям не удовлетворять.

[Valen007]

Xaositect в сообщении #1049004 писал(а):

Попробую объяснить.

Если у нас есть какой-то набор чисел, то они могут удовлетворять разным алгебраическим соотношениям с рациональными коэффициентами. Например, если взять числа $x_1 = 2 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{2}$, то верны соотношения $x_1 + x_2 = 4$, $x_1x_2 = 2$, $x_1^2 - 4x_1 + 2 = 0$, $x_2^2 - 4x_2 + 2 = 0$, $x_1^2 + x_2^2 = 12$ и т.п.

Иногда, если числа в наборе переставлять, этот набор соотношений меняется, а иногда нет. Например, наборы $x_1 = 2 - \sqrt2$ и $x_2 = 2 + \sqrt 2$ и $x_1 = 2 + \sqrt 2$, $x_2 = 2 - \sqrt 2$ удовлетворяют одним и тем же соотношениям, а наборы $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ и $x_1 = 2$, $x_2 = 1$, очевидно, нет (в первом выполняется $x_1 = 1$, а во втором нет).

Неформально говоря, мы можем переставлять числа в нашем наборе, если мы не можем заметить разницы с помощью только рациональных чисел и арифметических операций. Все такие перестановки образут группу.

Оказывается, для чисел, которые полчаются с помощью арифметических операций и радикалов, эта группа должна удовлетворять некоторым условиям, о которых Вы в указанных книгах прочитаете (группа должна быть разрешимой). А если взять набор из всех корней типичного уравнения пятого порядка, то для них группа может этим условиям не удовлетворять.

Берем набор чисел $x_1,...,x_n$. Он удовлетворяет некоторым алгебраическим соотношениям с рациональными коэффициентами(АСРК). На какие АСРК мы обращаем внимание? На все-все или только на некоторые?
Производим перестановку в наборе чисел. Все АСРК остаются в силе? Или только некоторые из них?

[Xaositect]

На все. И рассматриваем те перестановки, при которых все они сохраняются.

[Valen007]

Xaositect в сообщении #1049028 писал(а):

На все. И рассматриваем те перестановки, при которых все они сохраняются.

как-то не выходит с $x_1=2+\sqrt{2}$ и $x_2=2-\sqrt{2}$ для всех АСРК.

$x_1+2,x_2=6+\sqrt{2}$ если $x_2=2+\sqrt{2}, x_1=2-\sqrt{2}$
$x_1+2,x_2=6-\sqrt{2}$ если $x_1=2-\sqrt{2},x_2=2+\sqrt{2}$

[Xaositect]

$6 + \sqrt 2$ это не рациональное число

[Valen007]

У набора чисел $x_1=1,x_2=2$ нет другой перестановки, которая сохраняет все алгебраические соотношения с рациональными коэффициентами, но это не мешаем ему быть корнями уравнения второй степени.

Мы можем составить уравнение любой степени с заданными корнями $x_1,...,x_n$. И для такого набора корней могут быть, а могут и не быть перестановки, которые сохраняют все АСРК. Если других перестановок нет, то этот набор один.
Нам это как-то мешает искать формулы выражения этих корней через коэффициенты?

[мат-ламер]

Valen007 в сообщении #1048878 писал(а):

Начал читать книги по теории Галуа Алексеева "Теорема Абеля" и Постникова "Теория Галуа". Там идут группы,группы...

А группы и сами по себе интересный объект и заслуживают внимания.

[Xaositect]

Valen007 в сообщении #1049135 писал(а):

У набора чисел $x_1=1,$x_2=2 нет другой перестановки, которая сохраняет все алгебраические соотношения с рациональными коэффициентами, но это не мешаем ему быть корнями уравнения второй степени.

Мы можем составить уравнение любой степени с заданными корнями $x_1,...,$x_n. И для такого набора корней могут быть, а могут и не быть перестановки, которые сохраняют все АСРК. Если других перестановок нет, то этот набор один.
Нам это как-то мешает искать формулы выражения этих корней через коэффициенты?

Если группа перестановок плохая, то числа не могут выражаться через радикалы. Тривиальная группа (когда нужных перестановок вообще нет) хорошая.

[Valen007]

Xaositect в сообщении #1049144 писал(а):

Valen007 в сообщении #1049135 писал(а):

У набора чисел $x_1=1,$x_2=2 нет другой перестановки, которая сохраняет все алгебраические соотношения с рациональными коэффициентами, но это не мешаем ему быть корнями уравнения второй степени.

Мы можем составить уравнение любой степени с заданными корнями $x_1,...,$x_n. И для такого набора корней могут быть, а могут и не быть перестановки, которые сохраняют все АСРК. Если других перестановок нет, то этот набор один.
Нам это как-то мешает искать формулы выражения этих корней через коэффициенты?

Если группа перестановок плохая, то числа не могут выражаться через радикалы. Тривиальная группа (когда нужных перестановок вообще нет) хорошая.

Хорошая в смысле разрешимая? И элементы элемента хорошей группы могут быть выражены через алгебраические соотношения с рациональными коэффициентами?

[arseniiv]

Valen007 в сообщении #1049151 писал(а):

Хорошая в смысле разрешимая?

Да. Тривиальная группа состоит из одной только тождественной перестановки $e\colon x_1\mapsto x_1,x_2\mapsto x_2$, по вполне понятной причине совпадает со своим коммутантом (единственный коммутатор $eee^{-1}e^{-1} = e$) и потому разрешима.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Valen007

Исправьте формулы по всей теме пожалуйста: каждая должна начинаться с доллара, заканчиваться им и не содержать долларов в середине.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Valen007]

Например, возьмем уравнение с корнями -1,-2,-3, 1, 2: $ (x+1)(x+2)(x+3)(x-1)(x-2)$.
Как можно узнать, если группа образованная этими корнями разрешима и какие перестановки есть в этой группе?

[Sonic86]

Группы перестановок берутся не от балды. Эти группы - группы автоморфизмов полей вида $P(\alpha)$ над полем $P$. Слова "над полем $P$" означают, автоморфизм должен оставлять все элементы поля $P$ на месте. Обычно в контекстах $P$ называется основным полем, $P(\alpha)$ - расширением.
Автоморфизм - это преобразование $\sigma$, аддитивное и линейное над $P$, т.е.:
1) для любых $x,y\in P(\alpha)$ $\sigma(x+y)=\sigma(x)+\sigma(y)$
2) для любых $x\in P(\alpha), a\in P$ $\sigma(ax)=a\sigma(x)$

Пусть $f(x)$ - многочлен, его коэффициенты взяты из поля $P$ (например, $P=\mathbb{R}$) $\alpha_1,...,\alpha_n$ - его корни. Добавляя в $P$ разные наборы корней $\alpha_j$ мы будем получать разные расширения $P$, самое большое - это, конечно $P(\alpha_1,...,\alpha_n)$. Вот выбирая любую пару полей, таких, что одно является расширением другого, мы можем рассматривать его группу перестановок - группу Галуа. Правда, вариантов полей там сильно меньше, чем $2^n$ формально, но они есть.
Чаще всего рассматривается случай расширения $P(\alpha)$ над $P$. Любой элемент $x$ расширения - это многочлен от $\alpha$ с коэффициентами из $P$. Потому действие автоморфизма $\sigma$ на $x$ определяется только коэффициентами этого многочлена и значением $\sigma(\alpha)$. И я вот блин забыл почему, но $\sigma(\alpha)$ - это тоже корень многочлена.

Valen007 в сообщении #1049735 писал(а):

Например, возьмем уравнение с корнями -1,-2,-3, 1, 2: $ (x+1)(x+2)(x+3)(x-1)(x-2)$.
Как можно узнать, если группа образованная этими корнями разрешима и какие перестановки есть в этой группе?

Уравнения чаще всего задаются над полем $\mathbb{R}$ или $\mathbb{C}$. В Вашем случае - это $\mathbb{R}$. Поле, в котором это уравнение разлагается на линейный множители - это $\mathbb{R}(1,2,3,-1,-2)=\mathbb{R}$, т.е. расширение поля совпадает с основным полем, значит его группа Галуа = $\{e\}$ - тривиальна.

Примеры поинтереснее получаются, если рассматривать уравнения типа $x^n-a=0$, где $a$ не является $n$-й степенью в $P$.

Вообще, я теорию знаю плохо, потому у меня тут сумбурно. Скачайте Постникова и Кострикина и читайте у них про теорию Галуа, потом задавайте вопросы.