Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0

[scwec]

Рассматривается уравнение $y^3-Nx^3-x^2-1=0$, где $N\ne{0}$ рациональное число.
Докажите, что это уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение, отличное от $x=0,y=1$ и $x=-1/N, y=1$.

[venco]

А зачем условие $N\ne 0$?

[scwec]

venco в сообщении #1048089 писал(а):

А зачем условие $N\ne 0$?

В случае $N=0$ нет рациональных решений кроме $x=0,y=1$.

[grizzly]

scwec в сообщении #1048093 писал(а):

В случае $N=0$ нет рациональных решений кроме $x=0,y=1$.

А в случае $N\ne 0$ при $y=1$ второй корень $x=-1/N$. Наверное, нужно было доказать, что кроме этих двух существует решение?

[scwec]

Принимается. Пропустил этот корень. На самом деле для каждого $N\ne{0}$ существует бесконечно много рациональных решений. А $x=1,y=0$ и $x=-1/N, y=1$ не рассматриваем. Поправил стартовый пост.

[venco]

scwec в сообщении #1048093 писал(а):

venco в сообщении #1048089 писал(а):

А зачем условие $N\ne 0$?

В случае $N=0$ нет рациональных решений кроме $x=0,y=1$.

Это я знаки перепутал, и думал, что $(3,2)$ подходят.

[scwec]

Я так и подумал.

[BVR]

Наверное, касательная к исходной кривой в точке $\left ( -\frac{1}{N},1 \right )$ пересечет эту кривую еще в одной рациональной точке. Нет? А то что-то кубическое уравнение вручную не решается. Завтра попробую.

[Shadow]

BVR Да

$x = \dfrac{27 n^4+9 n^2+1}{n (27 n^4-1)}$

$y =\dfrac{27 n^4+18 n^2+2}{27 n^4-1}$

и т,д

[scwec]

И подход и результат верные.
Теперь заменим в исходном уравнении $x^2$ на $x$. Докажите, что уравнение $y^3-Nx^3-x-1=0$
имеет рациональные решения отличные от $x=0,y=1$ при любых рациональных $N$.

[Коровьев]

Подставив в уравнение
$$\[ y = \frac{x}{3} + 1 \]$,

получим
$$\[ x = \frac{9}{{27N - 1}} \]$

[scwec]

Да, конечно. Этой же подстановкой находится рациональное решение уравнения $y^3-Nx^3-x^2-x-1=0$
$x=-\dfrac{18}{27N-1},y=\dfrac{27N-7}{27N-1}$.
Интересно, что три рассмотренные уравнения приводятся к виду, который в обиходе называют "Морделлка". $w^2=u^3+K$, где $K$ рациональная константа.
1.$w^2=u^3-(432N^2+64)$
2.$w^2=u^3-(432N^2+64N)$
3.$w^2=u^3-(432N^2-224N+48)$
Предлагаю найти их стартовые рациональные решения.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1048336 писал(а):

Предлагаю найти их стартовые рациональные решения.

Что такое стартовые? Видимо, какие получатся. Можно искать в лоб --- как многочлены от $N$ соответствующих степеней (для 7 неизвестных коэффициентов получим нелинейную систему, но рациональные решения таких систем, если таковые есть, находятся относительно легко; в данном случае с задачей справляется даже общая процедура типа solve в Maple). Можно, располагая уже найденными решениями, пересчитать их для уравнений в форме Вейерштрасса. Кстати, при втором подходе получаются более громоздкие выражения.

[scwec]

nnosipov в сообщении #1048342 писал(а):

Что такое стартовые? Видимо, какие получатся

Именно так. Но лучше такие, из вида которых будет сразу следовать бесконечность числа рациональных решений хотя бы для целых $N$. Жду, что такие решения будут здесь написаны.
Реализуйте один из вышеперечисленных вариантов решения.

[nnosipov]

scwec в сообщении #1048344 писал(а):

Реализуйте один из вышеперечисленных вариантов решения.

Реализовал оба ещё перед написанием того сообщения, но файл с вычислениями уже удалил. Поверьте на слово, ничего интересного или неожиданного.

Насчёт бесконечности рациональных точек хотя бы для целых $N$ --- здесь бы, чтобы не мелочиться, сразу теорему Морделла доказать (если уравнение $y^2=x^3+k$, где $k \not \in \{1,-432\}$ --- целое число, свободное от 6-х степеней, нетривиально разрешимо в рациональных числах, то оно имеет бесконечно много решений в рациональных числах). Когда-то пытался сочинить элементарное доказательство, но в одном месте упёрся в тупик.