2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0
Сообщение26.08.2015, 17:45 
Заслуженный участник


17/09/10
2146
Рассматривается уравнение $y^3-Nx^3-x^2-1=0$, где $N\ne{0}$ рациональное число.
Докажите, что это уравнение имеет хотя бы одно рациональное решение, отличное от $x=0,y=1$ и $x=-1/N, y=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0
Сообщение26.08.2015, 17:51 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
А зачем условие $N\ne 0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0
Сообщение26.08.2015, 18:03 
Заслуженный участник


17/09/10
2146
venco в сообщении #1048089 писал(а):
А зачем условие $N\ne 0$?

В случае $N=0$ нет рациональных решений кроме $x=0,y=1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0
Сообщение26.08.2015, 18:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
scwec в сообщении #1048093 писал(а):
В случае $N=0$ нет рациональных решений кроме $x=0,y=1$.

А в случае $N\ne 0$ при $y=1$ второй корень $x=-1/N$. Наверное, нужно было доказать, что кроме этих двух существует решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0
Сообщение26.08.2015, 18:26 
Заслуженный участник


17/09/10
2146
Принимается. Пропустил этот корень. На самом деле для каждого $N\ne{0}$ существует бесконечно много рациональных решений. А $x=1,y=0$ и $x=-1/N, y=1$ не рассматриваем. Поправил стартовый пост.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0
Сообщение26.08.2015, 18:54 
Заслуженный участник


04/05/09
4589
scwec в сообщении #1048093 писал(а):
venco в сообщении #1048089 писал(а):
А зачем условие $N\ne 0$?

В случае $N=0$ нет рациональных решений кроме $x=0,y=1$.
Это я знаки перепутал, и думал, что $(3,2)$ подходят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0
Сообщение26.08.2015, 18:59 
Заслуженный участник


17/09/10
2146
Я так и подумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0
Сообщение26.08.2015, 20:02 
Заслуженный участник


11/03/08
535
Петропавловск, Казахстан
Наверное, касательная к исходной кривой в точке $\left ( -\frac{1}{N},1 \right )$ пересечет эту кривую еще в одной рациональной точке. Нет? А то что-то кубическое уравнение вручную не решается. Завтра попробую. :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0
Сообщение26.08.2015, 20:43 


26/08/11
2110
BVR Да

$x = \dfrac{27 n^4+9 n^2+1}{n (27 n^4-1)}$

$y =\dfrac{27 n^4+18 n^2+2}{27 n^4-1}$

и т,д

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0
Сообщение26.08.2015, 21:13 
Заслуженный участник


17/09/10
2146
И подход и результат верные.
Теперь заменим в исходном уравнении $x^2$ на $x$. Докажите, что уравнение $y^3-Nx^3-x-1=0$
имеет рациональные решения отличные от $x=0,y=1$ при любых рациональных $N$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0
Сообщение27.08.2015, 01:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/07
762
Подставив в уравнение
$$\[
y = \frac{x}{3} + 1
\]$,

получим
$$\[
x = \frac{9}{{27N - 1}}
\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0
Сообщение27.08.2015, 10:20 
Заслуженный участник


17/09/10
2146
Да, конечно. Этой же подстановкой находится рациональное решение уравнения $y^3-Nx^3-x^2-x-1=0$
$x=-\dfrac{18}{27N-1},y=\dfrac{27N-7}{27N-1}$.
Интересно, что три рассмотренные уравнения приводятся к виду, который в обиходе называют "Морделлка". $w^2=u^3+K$, где $K$ рациональная константа.
1.$w^2=u^3-(432N^2+64)$
2.$w^2=u^3-(432N^2+64N)$
3.$w^2=u^3-(432N^2-224N+48)$
Предлагаю найти их стартовые рациональные решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0
Сообщение27.08.2015, 11:07 
Заслуженный участник


20/12/10
9114
scwec в сообщении #1048336 писал(а):
Предлагаю найти их стартовые рациональные решения.
Что такое стартовые? Видимо, какие получатся. Можно искать в лоб --- как многочлены от $N$ соответствующих степеней (для 7 неизвестных коэффициентов получим нелинейную систему, но рациональные решения таких систем, если таковые есть, находятся относительно легко; в данном случае с задачей справляется даже общая процедура типа solve в Maple). Можно, располагая уже найденными решениями, пересчитать их для уравнений в форме Вейерштрасса. Кстати, при втором подходе получаются более громоздкие выражения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0
Сообщение27.08.2015, 11:20 
Заслуженный участник


17/09/10
2146
nnosipov в сообщении #1048342 писал(а):
Что такое стартовые? Видимо, какие получатся

Именно так. Но лучше такие, из вида которых будет сразу следовать бесконечность числа рациональных решений хотя бы для целых $N$. Жду, что такие решения будут здесь написаны.
Реализуйте один из вышеперечисленных вариантов решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение y^3-Nx^3-x^2-1=0
Сообщение27.08.2015, 11:53 
Заслуженный участник


20/12/10
9114
scwec в сообщении #1048344 писал(а):
Реализуйте один из вышеперечисленных вариантов решения.
Реализовал оба ещё перед написанием того сообщения, но файл с вычислениями уже удалил. Поверьте на слово, ничего интересного или неожиданного.

Насчёт бесконечности рациональных точек хотя бы для целых $N$ --- здесь бы, чтобы не мелочиться, сразу теорему Морделла доказать (если уравнение $y^2=x^3+k$, где $k \not \in \{1,-432\}$ --- целое число, свободное от 6-х степеней, нетривиально разрешимо в рациональных числах, то оно имеет бесконечно много решений в рациональных числах). Когда-то пытался сочинить элементарное доказательство, но в одном месте упёрся в тупик.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group