Восстановление функции распределения по характеристической

[demolishka]

Пусть случайная величина имеет функцию распределения $F$ и характеристическую функцию $\varphi$. Тогда для любых двух точек непрерывности функции $F$, $x$ и $y$ выполняется

$$F(y)-F(x) = \frac{1}{2\pi} \lim_{\sigma \to 0}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-itx}-e^{-ity}}{it}\varphi(t)e^{-t^2\sigma^2}dt$$

Утверждается, что, зная характеристическую функцию $\varphi$, можно восстановить функцию распределения $F$. Непонятно как это сделать. Вот беру я, скажем, точку $x$ и хочу посчитать $F(x)$. Но я не знаю является ли эта точка $x$ точкой непрерывности или в ней происходит скачок. Соответственно формулу применять я не могу.

[ИСН]

Про преобразование Фурье слышали когда-нибудь, например?

[Hasek]

От характеристической функции к функции распределения переходят обратным преобразованием Фурье.

[demolishka]

Характеристическая функция не всегда суммируема, поэтому в общем случае имеется только формула которую я привел:

demolishka в сообщении #1047282 писал(а):

$$F(y)-F(x) = \frac{1}{2\pi} \lim_{\sigma \to 0}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-itx}-e^{-ity}}{it}\varphi(t)e^{-t^2\sigma^2}dt$$

[Brukvalub]

Для восстановления ф.р по хар. ф-ции в общем случае используется прием "сглаживания" распределений. Он описан, например, в учебнике Боровкова Теория вероятностей (стр. 159 в издании 2009 г.).

[ShMaxG]

Кажется, у автора был вопрос не в том, откуда эта формула получается, а как ей пользоваться:

demolishka в сообщении #1047282 писал(а):

Вот беру я, скажем, точку $x$ и хочу посчитать $F(x)$. Но я не знаю является ли эта точка $x$ точкой непрерывности или в ней происходит скачок. Соответственно формулу применять я не могу.

Ну, видимо, тут ничего не поделаешь. Я тут не специалист, но мне кажется эта формула используется лишь в теоремах, на практике же обычно бывает что-то известно дополнительно про характеристическую функцию или про свойства плотности распределения (если она существует). Например, если х.ф. и плотность абсолютно интегрируемые функции на всей числовой оси, то можно пользоваться вот такой формулой:

$$\frac{F(x+h)-F(x-h)}{2h} = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin{ht}}{ht}e^{-itx}\varphi({t})dt.$$

Правда, этой формулой можно пользоваться лишь когда случайная величина строго положительная.

Подробнее: http://www.people.fas.harvard.edu/~shephard/papers/ET91.pdf, почитайте.

[ex-math]

А почему нельзя просто вычислить интеграл и устремить $x $ к минус бесконечности?

[ShMaxG]

ex-math в сообщении #1047389 писал(а):

А почему нельзя просто вычислить интеграл и устремить $x $ к минус бесконечности?

Можно, только вот $y$ должен быть точкой непрерывности функции распределения. А если заранее это не известно, то не понятно, что за число мы получим (и получим ли, будет ли сходимость?). Есть идея пройтись мелко игреком по числовой оси и по виду функции определить где скачки, но скорее всего это ресурсозатратно и надо прибегать к дополнительной информации о распределении.

[ex-math]

Речь идет об аналитическом или численном вычислении интеграла? Если первое, то все точки разрыва будут "как на ладони", а если второе, то не знаю, что и сказать. Может быть очень непросто посчитать такой интеграл с нужной точностью. Например, при суммировании тригонометрических рядов вблизи точек разрыва бывает такая штука, как явление Гиббса.

[demolishka]

Прошу прощения, что не совсем точно выразил свою проблему. Ближе всех к пониманию меня был ShMaxG.

Brukvalub в сообщении #1047340 писал(а):

Для восстановления ф.р по хар. ф-ции в общем случае используется прием "сглаживания" распределений. Он описан, например, в учебнике Боровкова Теория вероятностей (стр. 159 в издании 2009 г.).

Именно оттуда эта формула взята.

Вопрос возник по доказательству следствия из этой формулы. Процитирую:

Цитата:

Теорема единственности
Х.ф. случайной величины однозначно определяет ее функцию распределения.
Доказательство следует из формулы обращения и того, что разности $F(y)-F(x)$ однозначно определяют $F(x)$.

Была непонятна фраза "разности $F(y)-F(x)$ однозначно определяют $F(x)$". И раз уж дали формулу, то хотелось этот $F(x)$ сосчитать.
Но понимать видимо нужно следующим образом. Ясно, что если $F_1$ и $F_2$ - две функции распределения, такие, что $\varphi(t) = \int e^{itx}dF_1(x) = \int e^{itx}dF_2(x)$, то в силу формулы обращения $F_1(y)=F_2(y)$ для всех точек $y$ из всюду плотного множества, а значит $F_1=F_2$. Теперь остается перебрать все функции распределения и найти ту $F$, по которой была построена $\varphi$.

[ShMaxG]

demolishka в сообщении #1047532 писал(а):

Вопрос возник по доказательству следствия из этой формулы.

demolishka в сообщении #1047532 писал(а):

Была непонятна фраза "разности $F(y)-F(x)$ однозначно определяют $F(x)$"

Вы неправильно процитировали, кстати. Разности $F(y)-F(x)$ однозначно определяют $\mathbf{F}$, распределение (меру на выборочном пространстве случайной величины). Впрочем, распределение и функция распределения $F(x)$ связаны однозначно.

Раз по х.ф. можно однозначно строить разности $F(y)-F(x)$ в точках непрерывности $x,y$, то можно однозначно строить $F(y)$ в точках непрерывности $y$, устремляя $x \to -\infty$ и вспоминая $F(-\infty)=0$. Остается только доопределить $F(y)$ в точках разрыва. Но это как раз самое простое, вспомните свойства функции распределения.

[demolishka]

ShMaxG в сообщении #1047576 писал(а):

Вы неправильно процитировали

У меня издание второе(1986 года) и там написано ровно так, как я привел. Распределение там обозначается буквой $\textbf{P}$. Издания 2009 года для сравнения в интернете найти не удалось.

ShMaxG в сообщении #1047576 писал(а):

можно однозначно строить $F(y)$

Вот строить как раз нельзя: мы не знаем, какие точки являются точками непрерывности, а какие нет. Зато можно взять любую подходящую $F$ и доказать ее единственность, как я показал выше.

[ex-math]

Ну почему же нельзя? Точками непрерывности являются те, которые окажутся точками непрерывности после предельного перехода по $x $. Возьмите х.ф. для какой-нибудь функции распределения с одним разрывом и восстановите функцию распределения по ней указанным способом.

[levtsn]

Да что у вас за задачи такие, когда о функции распределения, известен её спектр да ещё неизвестно нет ли в нём разрывов. Или это чисто теоретическая задача?

[demolishka]

ex-math в сообщении #1047601 писал(а):

после предельного перехода

Который мы не можем сделать, не зная какие точки мы подставили в формулу обращения.

Решение вопроса в общем случае я уже представил

demolishka в сообщении #1047532 писал(а):

Ясно, что если $F_1$ и $F_2$ - две функции распределения, такие, что $\varphi(t) = \int e^{itx}dF_1(x) = \int e^{itx}dF_2(x)$, то в силу формулы обращения $F_1(y)=F_2(y)$ для всех точек $y$ из всюду плотного множества, а значит $F_1=F_2$. Теперь остается перебрать все функции распределения и найти ту $F$, по которой была построена $\varphi$.

Ясно, что, имея какие-то дополнительные сведения, например, о точках разрыва функции распределения/суммируемости х.ф./наличии гладкой плотности, мы можем сосчитать $F(x)$ явно, используя эту или другие формулы. Но изначально стоял вопрос о возможности подсчета $F(x)$ по этой формуле в общем случае без дополнительной информации.

levtsn в сообщении #1047603 писал(а):

Или это чисто теоретическая задача?

Именно.