2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Восстановление функции распределения по характеристической
Сообщение25.08.2015, 11:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
demolishka в сообщении #1047594 писал(а):
Вот строить как раз нельзя: мы не знаем, какие точки являются точками непрерывности, а какие нет.

Почему нельзя? Точки непрерывности любой функции распределения существуют вплоть до $-\infty$. Нам не важно, где функция непрерывна, а где разрывна, главное, что подходящие точки в принципе есть (пусть примеры мы и не можем привести). И вот вдоль них мы и устремляем $x\to -\infty$. А из свойств функции распределения следует $F(-\infty)=0$, поэтому $F(y)-F(x) \to F(y)$ в точке непрерывности $y$. В точках же разрыва функции $F$ мы доопределяем ее по непрерывности слева (или справа). Таким образом получаем однозначным образом функцию распределения $F(y)$ во всех точках, а не только непрерывности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление функции распределения по характеристической
Сообщение25.08.2015, 11:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Вы сейчас расписываете в подробностях доказательство вот этого:
demolishka в сообщении #1047532 писал(а):
если $F_1$ и $F_2$ - две функции распределения, такие, что $\varphi(t) = \int e^{itx}dF_1(x) = \int e^{itx}dF_2(x)$, то в силу формулы обращения $F_1(y)=F_2(y)$ для всех точек $y$ из всюду плотного множества, а значит $F_1=F_2$.

Но предъявляете это(по крайней мере я так воспринимаю) как построение функции распределения.

О х.ф. $\varphi$ мы знаем лишь то, что для функции распределения, по которой она была построена, выполнена формула обращения. В общем случае Вы не можете явно написать формулу для $F(x)$ из которой следовала бы единственность такой функции. Но вы можете взять любую $F$, по которой получается эта х.ф. и уже тогда можете говорить о ее точках непрерывности и соответственно доказать единственность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление функции распределения по характеристической
Сообщение25.08.2015, 12:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Ну... ок :-) Вопрос исчерпан?

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление функции распределения по характеристической
Сообщение25.08.2015, 12:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
Для меня вопрос исчерпан давно. Так или иначе спасибо за дискуссию. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление функции распределения по характеристической
Сообщение25.08.2015, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
demolishka в сообщении #1047637 писал(а):
В общем случае Вы не можете явно написать формулу для $F(x)$ из которой следовала бы единственность такой функции.


Читерство (и ещё я не смог нормально обозначит существенный предел)?

$$
F(y)=(\mathrm{ess})\lim_{z\to y+0}(\mathrm{ess})\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{2\pi} \lim_{\sigma \to 0}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-itx}-e^{-ity}}{it}\varphi(t)e^{-t^2\sigma^2}dt.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление функции распределения по характеристической
Сообщение25.08.2015, 13:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
demolishka
Я не понимаю Ваших затруднений. Взяв интеграл, Вы получаете функцию двух переменных. Она не всюду определена, но тем не менее можно вычислить ее предел при $x\to-\infty $. Результатом будет функция одной переменной. Там, где эта полученная функция непрерывна, она и есть функция распределения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление функции распределения по характеристической
Сообщение25.08.2015, 15:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
ex-math в сообщении #1047675 писал(а):
при $x\to-\infty $.

Икс должен бежать на бесконечность по точкам непрерывности, иначе существование предела не гарантируется. А точки непрерывности для нас неизвестны.

g______d, мне понятие существенного предела не знакомо. Можете привести здесь определение, а то гугл ничего хорошего не выдает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление функции распределения по характеристической
Сообщение25.08.2015, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
demolishka
Вы же вычислили интеграл, так что Вы знаете, где он существует, а где нет, где непрерывен, а где нет. Эти точки непрерывности -- результат вычисления, а не какая-то предзаданность.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление функции распределения по характеристической
Сообщение25.08.2015, 15:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
demolishka в сообщении #1047705 писал(а):
мне понятие существенного предела не знакомо


Я не знаю, какое определение каноническое, но можно, например, так: (UPD: для любого) $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$, такое, что $\left|(x_0-\delta,x_0+\delta)\cap \{x\colon |f(x)-L|>\varepsilon\}\right|<\varepsilon\delta$. Ну или в данном случае вообще можно заменить "$<\varepsilon\delta$" на "$=0$".

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление функции распределения по характеристической
Сообщение25.08.2015, 15:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
g______d в сообщении #1047714 писал(а):
например, так: $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$, такое, что $\left|(x_0-\delta,x_0+\delta)\cap \{x\colon |f(x)-L|>\varepsilon\}\right|<\varepsilon\delta$. Ну или в данном случае вообще можно заменить "$<\varepsilon\delta$" на "$=0$".
Кажется, что начало определения не вошло в текст...

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление функции распределения по характеристической
Сообщение25.08.2015, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Да, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление функции распределения по характеристической
Сообщение26.08.2015, 08:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
968
спб
g______d, существенный предел конечно решит проблему, если доопределить функцию в точках где интеграл расходится/предел не существует, например, бесконечностью. Но всё это похоже на какое-то извращение :-).
ex-math в сообщении #1047706 писал(а):
Вы же вычислили интеграл, так что Вы знаете, где он существует, а где нет, где непрерывен, а где нет. Эти точки непрерывности -- результат вычисления, а не какая-то предзаданность.

А никто не обещает, что интеграл в точках разрыва будет обязательно расходиться или сходиться. Об этом вообще ничего не известно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление функции распределения по характеристической
Сообщение26.08.2015, 08:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Если интеграл сходится и непрерывен, то и функция распределения тоже непрерывна в этой точке. Ведь она может иметь только разрывы первого рода. Так что при взгляде на интеграл все должно быть ясно. Разве что в неизолированных точках разрыва могут быть какие-то проблемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Восстановление функции распределения по характеристической
Сообщение26.08.2015, 13:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1842
Москва
Подумал над этим. Тут вот какая штука получается. Если функция распределения имеет разрыв в точке, то и интеграл имеет разрыв в этой точке. Если функция распределения непрерывна в точке и эта точка изолирована для точек разрыва, то и интеграл непрерывен в этой точке и она изолирована для его точек разрыва. Если функция распределения непрерывна в точке, являющейся предельной для точек разрыва, то интеграл может быть как непрерывен в этой точке, так и иметь разрыв. Но в смысле существенного предела он будет в этой точке непрерывен, так как точек разрыва не более чем счетное число. Так что существенный предел действительно закрывает вопрос. Обычный предел закрывает вопрос в тех случаях, когда точки разрыва интеграла изолированы или хотя бы их предельные точки изолированы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 29 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group