Множители чисел 7^k-1

[grizzly]

Кстати, о множителях.
Предлагаю доказать, что для чётных $k$ число вида $7^k-1$ нельзя представить в виде произведения двух соседних натуральных чисел.
Для нечётных $k$ утверждение верно при $k>3$, но доказывать я это пока не умею (подозреваю, что это не доказывается элементарными методами).
При $k=1$ ($k=3$) имеем: $7-1=6=2\cdot 3$ (соответственно, $7^3-1=342=18\cdot 19$).

(Оригинальная формулировка отлична от этой, поэтому я временно скрою источник задачи.)

[nnosipov]

grizzly в сообщении #1046722 писал(а):

Предлагаю доказать, что для чётных $k$ число вида $7^k-1$ нельзя представить в виде произведения двух соседних натуральных чисел.

Ну, это очень легко, поскольку $7^k$ --- точный квадрат.

grizzly в сообщении #1046722 писал(а):

Для нечётных $k$ утверждение верно при $k>3$

А вот здесь могут быть проблемы. Стандартная техника --- это воззвать к Пеллю. К сожалению, не всегда помогает.

Ещё можно попробовать поэксплуатировать арифметику кольца $\mathbb{Z}[\omega]$, где $\omega^3=1$. На этом, вроде бы, арсенал элементарных средств заканчивается.

[grizzly]

nnosipov в сообщении #1046732 писал(а):

Ну, это очень легко, поскольку $7^k$ --- точный квадрат.

nnosipov в сообщении #1046732 писал(а):

А вот здесь могут быть проблемы. Стандартная техника --- это воззвать к Пеллю.

Не очень олимпиадная переформулировка получилась, перемудрил по дорогое и недокрутил свою идею В оригинале это и было что-то близкое к уравнению Пелля. Спасибо!

(Оффтоп)

Попрошу, пожалуй, модераторов снести тему в ПРР -- в таком виде там ей самое место.

[Andrey A]

$7^k-1=x(x+1)$ или $x^2+x+1=7^k$
$7=2^2+3\cdot 1^2$ , и все степени семерки - вида $b^2+3a^2$. Тогда для $ay-bz=\pm 1$ существует $X=\frac{az+3by-1}{2}$ , для которого верно сравнение $X^2+X+1\equiv 0\mod7^k$. А на счет равенства не знаю.

nnosipov в сообщении #1046732 писал(а):

Ну, это очень легко, поскольку $7^k$ --- точный квадрат.

$x(x+1)=\frac{x^2+(x+1)^2-1}{2}$ Т.е. лежит почти между соседними квадратами.

upd исправлено 13.03

[Lia]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: по просьбе ТС.