2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Множители чисел 7^k-1
Сообщение21.08.2015, 10:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6088
Кстати, о множителях.
Предлагаю доказать, что для чётных $k$ число вида $7^k-1$ нельзя представить в виде произведения двух соседних натуральных чисел.
Для нечётных $k$ утверждение верно при $k>3$, но доказывать я это пока не умею (подозреваю, что это не доказывается элементарными методами).
При $k=1$ ($k=3$) имеем: $7-1=6=2\cdot 3$ (соответственно, $7^3-1=342=18\cdot 19$).

(Оригинальная формулировка отлична от этой, поэтому я временно скрою источник задачи.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Множители чисел 7^k-1
Сообщение21.08.2015, 11:16 
Заморожен


20/12/10
5623
grizzly в сообщении #1046722 писал(а):
Предлагаю доказать, что для чётных $k$ число вида $7^k-1$ нельзя представить в виде произведения двух соседних натуральных чисел.
Ну, это очень легко, поскольку $7^k$ --- точный квадрат.
grizzly в сообщении #1046722 писал(а):
Для нечётных $k$ утверждение верно при $k>3$
А вот здесь могут быть проблемы. Стандартная техника --- это воззвать к Пеллю. К сожалению, не всегда помогает.

Ещё можно попробовать поэксплуатировать арифметику кольца $\mathbb{Z}[\omega]$, где $\omega^3=1$. На этом, вроде бы, арсенал элементарных средств заканчивается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множители чисел 7^k-1
Сообщение21.08.2015, 11:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6088
nnosipov в сообщении #1046732 писал(а):
Ну, это очень легко, поскольку $7^k$ --- точный квадрат.

nnosipov в сообщении #1046732 писал(а):
А вот здесь могут быть проблемы. Стандартная техника --- это воззвать к Пеллю.

Не очень олимпиадная переформулировка получилась, перемудрил по дорогое и недокрутил свою идею :-) В оригинале это и было что-то близкое к уравнению Пелля. Спасибо!

(Оффтоп)

Попрошу, пожалуй, модераторов снести тему в ПРР -- в таком виде там ей самое место.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множители чисел 7^k-1
Сообщение21.08.2015, 12:25 


21/11/12
745
Санкт-Петербург
$7^k-1=x(x+1)$ или $x^2+x+1=7^k$
$7=2^2+3\cdot 1^2$ , и все степени семерки - вида $b^2+3a^2$. Тогда для $ay-bz=\pm 1$ существует $X=\frac{az+3by-1}{2}$ , для которого верно сравнение $X^2+X+1\equiv 0\mod7^k$. А на счет равенства не знаю.
nnosipov в сообщении #1046732 писал(а):
Ну, это очень легко, поскольку $7^k$ --- точный квадрат.

$x(x+1)=\frac{x^2+(x+1)^2-1}{2}$ Т.е. лежит почти между соседними квадратами.

upd исправлено 13.03

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение21.08.2015, 13:58 
Модератор


20/03/14
9226
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: по просьбе ТС.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group