2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Множители чисел 7^k-1
Сообщение21.08.2015, 10:42 
Аватара пользователя
Кстати, о множителях.
Предлагаю доказать, что для чётных $k$ число вида $7^k-1$ нельзя представить в виде произведения двух соседних натуральных чисел.
Для нечётных $k$ утверждение верно при $k>3$, но доказывать я это пока не умею (подозреваю, что это не доказывается элементарными методами).
При $k=1$ ($k=3$) имеем: $7-1=6=2\cdot 3$ (соответственно, $7^3-1=342=18\cdot 19$).

(Оригинальная формулировка отлична от этой, поэтому я временно скрою источник задачи.)

 
 
 
 Re: Множители чисел 7^k-1
Сообщение21.08.2015, 11:16 
grizzly в сообщении #1046722 писал(а):
Предлагаю доказать, что для чётных $k$ число вида $7^k-1$ нельзя представить в виде произведения двух соседних натуральных чисел.
Ну, это очень легко, поскольку $7^k$ --- точный квадрат.
grizzly в сообщении #1046722 писал(а):
Для нечётных $k$ утверждение верно при $k>3$
А вот здесь могут быть проблемы. Стандартная техника --- это воззвать к Пеллю. К сожалению, не всегда помогает.

Ещё можно попробовать поэксплуатировать арифметику кольца $\mathbb{Z}[\omega]$, где $\omega^3=1$. На этом, вроде бы, арсенал элементарных средств заканчивается.

 
 
 
 Re: Множители чисел 7^k-1
Сообщение21.08.2015, 11:43 
Аватара пользователя
nnosipov в сообщении #1046732 писал(а):
Ну, это очень легко, поскольку $7^k$ --- точный квадрат.

nnosipov в сообщении #1046732 писал(а):
А вот здесь могут быть проблемы. Стандартная техника --- это воззвать к Пеллю.

Не очень олимпиадная переформулировка получилась, перемудрил по дорогое и недокрутил свою идею :-) В оригинале это и было что-то близкое к уравнению Пелля. Спасибо!

(Оффтоп)

Попрошу, пожалуй, модераторов снести тему в ПРР -- в таком виде там ей самое место.

 
 
 
 Re: Множители чисел 7^k-1
Сообщение21.08.2015, 12:25 
Аватара пользователя
$7^k-1=x(x+1)$ или $x^2+x+1=7^k$
$7=2^2+3\cdot 1^2$ , и все степени семерки - вида $b^2+3a^2$. Тогда для $ay-bz=\pm 1$ существует $X=\frac{az+3by-1}{2}$ , для которого верно сравнение $X^2+X+1\equiv 0\mod7^k$. А на счет равенства не знаю.
nnosipov в сообщении #1046732 писал(а):
Ну, это очень легко, поскольку $7^k$ --- точный квадрат.

$x(x+1)=\frac{x^2+(x+1)^2-1}{2}$ Т.е. лежит почти между соседними квадратами.

upd исправлено 13.03

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение21.08.2015, 13:58 
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: по просьбе ТС.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group