Предлагаю доказать, что для чётных

число вида

нельзя представить в виде произведения двух соседних натуральных чисел.
Ну, это очень легко, поскольку

--- точный квадрат.
Для нечётных

утверждение верно при

А вот здесь могут быть проблемы. Стандартная техника --- это воззвать к Пеллю. К сожалению, не всегда помогает.
Ещё можно попробовать поэксплуатировать арифметику кольца
![$\mathbb{Z}[\omega]$ $\mathbb{Z}[\omega]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/1/1d137a02e6b2c874493efffb91d7377682.png)
, где

. На этом, вроде бы, арсенал элементарных средств заканчивается.