Подгруппы группы тетраэдра

[Sinoid]

Здравствуйте! Читаю книгу Александрова Введение в теорию групп. Попалась одна непонятная вещь. Растолкуйте, пожалуйста. Вершины тетраэдра нумеруются числами $0$, $1$, $2$, $3$. Далее записываются элементы группы тетраэдра: $a_{0}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\0 & 1 & 2 & 3\end{matrix}\right), $a_{1}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\0 & 2 & 3 & 1\end{matrix}\right)$, $a_{2}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\0 & 3 & 1 & 2\end{matrix}\right)$, $a_{3}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\2 & 1 & 3 & 0\end{matrix}\right)$, $a_{4}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\3 & 1 & 0 & 2\end{matrix}\right)$, $a_{5}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\1 & 3 & 2 & 0\end{matrix}\right)$, $a_{6}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\3 & 0 & 2 & 1\end{matrix}\right)$, $a_{7}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\1 & 2 & 0 & 3\end{matrix}\right)$, $a_{8}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\2 & 0 & 1 & 3\end{matrix}\right)$, $a_{9}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\1 & 0 & 3 & 2\end{matrix}\right)$, $a_{10}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\2 & 3 & 0 & 1\end{matrix}\right) $, $a_{11}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\3 & 2 & 1 & 0\end{matrix}\right) $. Здесь все ясно. Далее описываются ее подгруппы: $H_{0}=\{a_{0},\, a_{1},\, a_{2}\}$, $H_{1}=\{a_{0},\, a_{3},\, a_{4}\}$, $H_{2}=\{a_{0},\, a_{5},\, a_{6}\}$, $H_{3}=\{a_{0},\, a_{7},\, a_{8}\}$, $H=\{a_{0},\, a_{9},\, a_{10},\, a_{11}\}$, ${H_{01}=\{a_{0},\, a_{9}\}, ${H_{02}=\{a_{0},\, a_{10}\}$, ${H_{03}=\{a_{0},\, a_{11}\}$. Тут снова все ясно. А вот дальше начинается вопрос. Автор говорит, что для того чтобы доказать отсутствие других подгрупп, достаточно показать, что любые два отличных от единицы элемента, взятые из двух различных групп $H_i$ или взятые один из какой-либо группы $H_i$, а другой из какой-либо группы $H_{0k}$, уже дают систему образующих всей группы поворотов тетраэдра. А я вот никак не пойму, как этот факт доказывает отсутствие других подгрупп. Подтолкните, пожалуйста, в нужную сторону, а я попробую додумать до конца. Только явный ответ сразу не давайте, когда сам (ну немного с помощью) доходишь, лучше запоминается.

[ИСН]

Любое подмножество элементов - в каком-то смысле надо перебрать их все - порождает либо одну из этих подгрупп, либо всю группу целиком. Ничего более хитрого тут нет.

[iifat]

Sinoid в сообщении #1046044 писал(а):

Только явный ответ сразу не давайте

Тут ещё попробуй так извернуться, чтоб не дать явного ответа... Попытайтесь себе представить ещё одну нетривиальную подгруппу. $a_0$ туда входит как единичный элемент; что ещё туда могло бы войти?

[Sinoid]

ИСН в сообщении #1046049 писал(а):

Любое подмножество элементов - в каком-то смысле надо перебрать их все - порождает либо одну из этих подгрупп, либо всю группу целиком

Порождает-то оно порождает, кто ж спорит, но почему все подгруппы?

iifat в сообщении #1046057 писал(а):

Попытайтесь себе представить ещё одну нетривиальную подгруппу. $a_0$ туда входит как единичный элемент;

Вот это ближе ко мне. Беру элемент $a_0$, к нему присовокупляю элемент $a_9$. Получаю... Группу! Но где гарантия, что не существует группы, скажем, шестого порядка, содержащая полученную группу в качестве подгруппы?

[grizzly]

Sinoid в сообщении #1046139 писал(а):

Но где гарантия, что не существует группы, скажем, шестого порядка, содержащая полученную группу в качестве подгруппы?

Вы просто ещё недооценили совет (выделено мной):

ИСН в сообщении #1046049 писал(а):

Любое подмножество элементов - в каком-то смысле надо перебрать их все - порождает либо одну из этих подгрупп, либо всю группу целиком. Ничего более хитрого тут нет.

[Brukvalub]

Так вы продолжайте рассуждать. Рассмотрите множество из единицы и еще, как минимум, двух других элементов группы и рассмотрите, какую подгруппу такое множество будет порождать при разных вариантах выбора этих двух элементов.

[iifat]

Sinoid в сообщении #1046139 писал(а):

Беру элемент $a_0$, к нему присовокупляю элемент $a_9$. Получаю... Группу!

Мне казалось, должны получить перечисленную уже подгруппу $H=\{a_{0},\, a_{9},\, a_{10},\, a_{11}\}$, не? Я как-то поленился проверить. А вы?

-- 19.08.2015, 17:30 --

А ведь нет, не должна. $a_9^2=a_0$, или я путаю чего? То бишь, $\{a_0,a_9}\}$ — подгруппа, не?

[grizzly]

iifat в сообщении #1046192 писал(а):

А ведь нет, не должна. $a_9^2=a_0$, или я путаю чего? То бишь, $\{a_0,a_9\}$ — подгруппа, не?

Да, конечно. Для неё даже номер в условии выделен: $H_{01}$.

[Sinoid]

Я, кажется, понял. Все подгруппы второго и третьего порядка получить несложно: достаточно подсчитать порядки элементов. Далее, допустим, существует подгруппа четвертого порядка. Если туда входит элемент $a_1$, туда неизбежно входит и $a_2$. Итак, наша подгруппа $\{a_0,\,a_1,\,a_2,\,x\}$. Чему же равен элемент $x$? Ведь если его взять из любой подгруппы, кроме $H_0$, то получится, что элемент $x$ является степенью $a_1$, что неверно (вот здесь-то и нужны выражения через образующие). Если же я за второй элемент возьму какой-либо элемент подгруппы $H$, то за третий элемент я неизбежно должен буду взять какой-либо элемент из подгрупп $H_i$, $i=0,1,2,3$ и вернусь к первому случаю. Аналогичным рассуждением можно доказать отсутствие подгруппы шестого порядка. Верно? Я просто думал, что здесь применяется какой-то общий метод, а все свелось к банальному перебору, как и говорил ИСН.

[iifat]

grizzly в сообщении #1046205 писал(а):

Для неё даже номер в условии выделен

О! Не заметил, спасибо. Итак,

Sinoid в сообщении #1046139 писал(а):

Беру элемент $a_0$, к нему присовокупляю элемент $a_9$

этого мало. Получилась уже существующая подгруппа. Ваши действия?

[Sinoid]

iifat в сообщении #1046263 писал(а):

Sinoid в сообщении #1046139

писал(а):
Беру элемент $a_0$, к нему присовокупляю элемент $a_9$ этого мало. Получилась уже существующая подгруппа. Ваши действия?

Подождите, давайте по порядку. Каково ваше мнение по поводу моего поста двумя постами выше?

[iifat]

Sinoid в сообщении #1046266 писал(а):

по поводу моего поста

Как вариант. Но вы ж не спрашивали, как доказать. Вы спросили про место в доказательстве.

[lek]

Sinoid в сообщении #1046259 писал(а):

Я, кажется, понял...

Можно проще. Пусть $G$ - подгруппа, отличная от перечисленных выше. Тогда она содержит пару различных неединичных элементов из разных (вышеперечисленных) подгрупп. Требуется показать, что $G$ - группа тетраэдра. Из соображений симметрии видно (?), что достаточно рассмотреть (например) пары $\{a_1, a_3\}$ и $\{a_1, a_9\}$. Проверьте, что они действительно порождают всю группу (для сокращения письма воспользуйтесь теоремой Лагранжа).

[Sinoid]

iifat в сообщении #1046310 писал(а):

Но вы ж не спрашивали, как доказать

Если я не ошибаюсь, я спрашивал

Sinoid в сообщении #1046044 писал(а):

А я вот никак не пойму, как этот факт доказывает отсутствие других подгрупп.

lek в сообщении #1046317 писал(а):

достаточно рассмотреть (например) пары $\{a_1, a_3\}$ и $\{a_1, a_9\}$.

Вы же подразумеваете эти пары как каждую саму по себе образующую? Первая пара приведена в книге как пример.

[lek]

Да, каждая пара элементов порождает всю группу.