2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Подгруппы группы тетраэдра
Сообщение18.08.2015, 15:01 


03/06/12
2067
Здравствуйте! Читаю книгу Александрова Введение в теорию групп. Попалась одна непонятная вещь. Растолкуйте, пожалуйста. Вершины тетраэдра нумеруются числами $0$, $1$, $2$, $3$. Далее записываются элементы группы тетраэдра: $a_{0}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\0 & 1 & 2 & 3\end{matrix}\right), $a_{1}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\0 & 2 & 3 & 1\end{matrix}\right)$, $a_{2}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\0 & 3 & 1 & 2\end{matrix}\right)$, $a_{3}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\2 & 1 & 3 & 0\end{matrix}\right)$, $a_{4}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\3 & 1 & 0 & 2\end{matrix}\right)$, $a_{5}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\1 & 3 & 2 & 0\end{matrix}\right)$, $a_{6}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\3 & 0 & 2 & 1\end{matrix}\right)$, $a_{7}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\1 & 2 & 0 & 3\end{matrix}\right)$, $a_{8}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\2 & 0 & 1 & 3\end{matrix}\right)$, $a_{9}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\1 & 0 & 3 & 2\end{matrix}\right)$, $a_{10}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\2 & 3 & 0 & 1\end{matrix}\right)
 $, $a_{11}=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 2 & 3\\3 & 2 & 1 & 0\end{matrix}\right)
 $. Здесь все ясно. Далее описываются ее подгруппы: $H_{0}=\{a_{0},\, a_{1},\, a_{2}\}$, $H_{1}=\{a_{0},\, a_{3},\, a_{4}\}$, $H_{2}=\{a_{0},\, a_{5},\, a_{6}\}$, $H_{3}=\{a_{0},\, a_{7},\, a_{8}\}$, $H=\{a_{0},\, a_{9},\, a_{10},\, a_{11}\}$, ${H_{01}=\{a_{0},\, a_{9}\}, ${H_{02}=\{a_{0},\, a_{10}\}$, ${H_{03}=\{a_{0},\, a_{11}\}$. Тут снова все ясно. А вот дальше начинается вопрос. Автор говорит, что для того чтобы доказать отсутствие других подгрупп, достаточно показать, что любые два отличных от единицы элемента, взятые из двух различных групп $H_i$ или взятые один из какой-либо группы $H_i$, а другой из какой-либо группы $H_{0k}$, уже дают систему образующих всей группы поворотов тетраэдра. А я вот никак не пойму, как этот факт доказывает отсутствие других подгрупп. Подтолкните, пожалуйста, в нужную сторону, а я попробую додумать до конца. Только явный ответ сразу не давайте, когда сам (ну немного с помощью) доходишь, лучше запоминается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы группы тетраэдра
Сообщение18.08.2015, 15:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13382
с Территории
Любое подмножество элементов - в каком-то смысле надо перебрать их все - порождает либо одну из этих подгрупп, либо всю группу целиком. Ничего более хитрого тут нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы группы тетраэдра
Сообщение18.08.2015, 16:47 
Заслуженный участник


16/02/13
3899
Владивосток
Sinoid в сообщении #1046044 писал(а):
Только явный ответ сразу не давайте
Тут ещё попробуй так извернуться, чтоб не дать явного ответа... Попытайтесь себе представить ещё одну нетривиальную подгруппу. $a_0$ туда входит как единичный элемент; что ещё туда могло бы войти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы группы тетраэдра
Сообщение18.08.2015, 23:58 


03/06/12
2067
ИСН в сообщении #1046049 писал(а):
Любое подмножество элементов - в каком-то смысле надо перебрать их все - порождает либо одну из этих подгрупп, либо всю группу целиком

Порождает-то оно порождает, кто ж спорит, но почему все подгруппы?
iifat в сообщении #1046057 писал(а):
Попытайтесь себе представить ещё одну нетривиальную подгруппу. $a_0$ туда входит как единичный элемент;

Вот это ближе ко мне. Беру элемент $a_0$, к нему присовокупляю элемент $a_9$. Получаю... Группу! Но где гарантия, что не существует группы, скажем, шестого порядка, содержащая полученную группу в качестве подгруппы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы группы тетраэдра
Сообщение19.08.2015, 00:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
Sinoid в сообщении #1046139 писал(а):
Но где гарантия, что не существует группы, скажем, шестого порядка, содержащая полученную группу в качестве подгруппы?

Вы просто ещё недооценили совет (выделено мной):
    ИСН в сообщении #1046049 писал(а):
    Любое подмножество элементов - в каком-то смысле надо перебрать их все - порождает либо одну из этих подгрупп, либо всю группу целиком. Ничего более хитрого тут нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы группы тетраэдра
Сообщение19.08.2015, 08:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13619
Москва
Так вы продолжайте рассуждать. Рассмотрите множество из единицы и еще, как минимум, двух других элементов группы и рассмотрите, какую подгруппу такое множество будет порождать при разных вариантах выбора этих двух элементов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы группы тетраэдра
Сообщение19.08.2015, 10:24 
Заслуженный участник


16/02/13
3899
Владивосток
Sinoid в сообщении #1046139 писал(а):
Беру элемент $a_0$, к нему присовокупляю элемент $a_9$. Получаю... Группу!
Мне казалось, должны получить перечисленную уже подгруппу $H=\{a_{0},\, a_{9},\, a_{10},\, a_{11}\}$, не? Я как-то поленился проверить. А вы?

-- 19.08.2015, 17:30 --

А ведь нет, не должна. $a_9^2=a_0$, или я путаю чего? То бишь, $\{a_0,a_9}\}$ — подгруппа, не?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы группы тетраэдра
Сообщение19.08.2015, 11:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
iifat в сообщении #1046192 писал(а):
А ведь нет, не должна. $a_9^2=a_0$, или я путаю чего? То бишь, $\{a_0,a_9\}$ — подгруппа, не?

Да, конечно. Для неё даже номер в условии выделен: $H_{01}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы группы тетраэдра
Сообщение19.08.2015, 13:43 


03/06/12
2067
Я, кажется, понял. Все подгруппы второго и третьего порядка получить несложно: достаточно подсчитать порядки элементов. Далее, допустим, существует подгруппа четвертого порядка. Если туда входит элемент $a_1$, туда неизбежно входит и $a_2$. Итак, наша подгруппа $\{a_0,\,a_1,\,a_2,\,x\}$. Чему же равен элемент $x$? Ведь если его взять из любой подгруппы, кроме $H_0$, то получится, что элемент $x$ является степенью $a_1$, что неверно (вот здесь-то и нужны выражения через образующие). Если же я за второй элемент возьму какой-либо элемент подгруппы $H$, то за третий элемент я неизбежно должен буду взять какой-либо элемент из подгрупп $H_i$, $i=0,1,2,3$ и вернусь к первому случаю. Аналогичным рассуждением можно доказать отсутствие подгруппы шестого порядка. Верно? Я просто думал, что здесь применяется какой-то общий метод, а все свелось к банальному перебору, как и говорил ИСН.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы группы тетраэдра
Сообщение19.08.2015, 13:52 
Заслуженный участник


16/02/13
3899
Владивосток
grizzly в сообщении #1046205 писал(а):
Для неё даже номер в условии выделен
О! Не заметил, спасибо. Итак,
Sinoid в сообщении #1046139 писал(а):
Беру элемент $a_0$, к нему присовокупляю элемент $a_9$
этого мало. Получилась уже существующая подгруппа. Ваши действия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы группы тетраэдра
Сообщение19.08.2015, 14:04 


03/06/12
2067
iifat в сообщении #1046263 писал(а):
Sinoid в сообщении #1046139

писал(а):
Беру элемент $a_0$, к нему присовокупляю элемент $a_9$ этого мало. Получилась уже существующая подгруппа. Ваши действия?

Подождите, давайте по порядку. Каково ваше мнение по поводу моего поста двумя постами выше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы группы тетраэдра
Сообщение19.08.2015, 16:34 
Заслуженный участник


16/02/13
3899
Владивосток
Sinoid в сообщении #1046266 писал(а):
по поводу моего поста
Как вариант. Но вы ж не спрашивали, как доказать. Вы спросили про место в доказательстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы группы тетраэдра
Сообщение19.08.2015, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
860
ЦФО, Россия
Sinoid в сообщении #1046259 писал(а):
Я, кажется, понял...

Можно проще. Пусть $G$ - подгруппа, отличная от перечисленных выше. Тогда она содержит пару различных неединичных элементов из разных (вышеперечисленных) подгрупп. Требуется показать, что $G$ - группа тетраэдра. Из соображений симметрии видно (?), что достаточно рассмотреть (например) пары $\{a_1, a_3\}$ и $\{a_1, a_9\}$. Проверьте, что они действительно порождают всю группу (для сокращения письма воспользуйтесь теоремой Лагранжа).

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы группы тетраэдра
Сообщение20.08.2015, 00:08 


03/06/12
2067
iifat в сообщении #1046310 писал(а):
Но вы ж не спрашивали, как доказать

Если я не ошибаюсь, я спрашивал
Sinoid в сообщении #1046044 писал(а):
А я вот никак не пойму, как этот факт доказывает отсутствие других подгрупп.

lek в сообщении #1046317 писал(а):
достаточно рассмотреть (например) пары $\{a_1, a_3\}$ и $\{a_1, a_9\}$.

Вы же подразумеваете эти пары как каждую саму по себе образующую? Первая пара приведена в книге как пример.

 Профиль  
                  
 
 Re: Подгруппы группы тетраэдра
Сообщение20.08.2015, 00:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
860
ЦФО, Россия
Да, каждая пара элементов порождает всю группу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group