Положительная определенность - 2

[iancaple]

Это что, квадратичная форма от 6ти переменных представима в виде суммы 21 квадрата линейных выражений от них? Неэкономно как-то, получается на каждый независимый элемент матрицы-одно линейное выражение. И при каждой свой неопределенный коэффициент $a_i$? Иначе этот метод не работает. Но если это так( и тогда я знаю, какая у Вас матрица квадратичной формы) , надо искать максимальное количество уравнений из 21, которые можно обратить в 0 одновременно. Вот тогда коэффициенты при этих выражениях нам неважно какого знака, а остальные должны быть отрицательны, либо мы должны разбираться не только с их знаками, но и с их абсолютными значениями.

[trarbish]

iancaple в сообщении #1046059 писал(а):

Это что, квадратичная форма от 6ти переменных представима в виде суммы 21 квадрата линейных выражений от них? Неэкономно как-то, получается на каждый независимый элемент матрицы-одно линейное выражение.

Неэкономно, да. Но вот такая форма получается.
На всякий случай приведу эту квадратичную форму (вектор переменных $(x,y,z,u,v,w)$):
$x^2a_{1}+(x-y)^2a_{2}+y^2a_{3}+(v+z)^2a_{4}+(-z+u+v+w)^2a_{5}+(u-w)^2a_{6}+z^2a_{7}+u^2a_{8}+z^2a_{9}+u^2a_{10}+(x+v)^2a_{11}+(y+w)^2a_{12}+(x-v)^2a_{13}+(y-w)^2a_{14}+v^2a_{15}+(v-w)^2a_{16}+w^2a_{17}+v^2a_{18}+w^2a_{19}+v^2a_{20}+w^2a_{21}$

iancaple в сообщении #1046059 писал(а):

Но если это так( и тогда я знаю, какая у Вас матрица квадратичной формы) , надо искать максимальное количество уравнений из 21, которые можно обратить в 0 одновременно. Вот тогда коэффициенты при этих выражениях нам неважно какого знака, а остальные должны быть отрицательны,

Я в данной задаче хочу сделать противоположное. Найти максимально возможное количество отрицательных констант (либо минимальное количество положительных, что тоже самое), чтобы форма не была отрицательно определенной. Возможно, что для этого максимального количества будет возможны разные комбинации - это тоже интересно проследить.
Насколько я понимаю, нужно принять положительными какие-либо константы (остальные отрицательные), обнулить у них коэффициенты (переменные) и затем нужно, чтобы уничтожились все остальные отрицательные константы,только в этом случае мы избавимся от отрицательной определенности. Или есть какой-нибудь другой путь? Вот я еще про ранг в предыдущем сообщении писал, но теперь не уверен, что это правильная идея.

[iancaple]

trarbish в сообщении #1046071 писал(а):

Я в данной задаче хочу сделать противоположное. Найти максимально возможное количество отрицательных констант (либо минимальное количество положительных, что тоже самое), чтобы форма не была отрицательно определенной. Возможно, что для этого максимального количества будет возможны разные комбинации - это тоже интересно проследить.

Если одна из констант равна минус миллиону, а остальные по модулю единицы, со знаками, какими Вы хотите -форма не будет положительно определенной.
До сих пор мы доказывали НЕзнакоопределенность, подбирая примеры, не зависящие от абсолютных значений коэффициентов. Напротив, доказать знакоопределенность, если не все коэффициенты одного знака, нельзя без знания абсолютных величин коэффициентов.

[trarbish]

Видимо, я неправильно выразился. Доказывать нужно все тоже самое, что и раньше. Т.е. что при каком-то определенном количестве и наборе отрицательных констант форма не является положительно/отрицательно определенной (либо при каком-то определенном количестве и наборе положительных констант форма не является положительно/отрицательно определенной).

Например:
1) рассмотрим $a_{2}, a_{5}, a_{7}, a_{11}, a_{15}, a_{16} > 0$, а остальные константы положительные. Попробуем обнулить положительные константы. Мы получим, что наш вектор переменных будет нулевым и форма будет нулевая. Т.е. нельзя ничего сказать про форму - все будет зависеть от величин констант.
2) рассмотрим $a_{1}, a_{5}, a_{7}, a_{11}, a_{15}, a_{16} > 0$ (заменили только одну константу), а остальные константы отрицательные. Опять попробуем обнулить положительные константы. Переменная $y$ не входит в коэффициенты констант, получится, что она может быть равна произвольному числу. Тогда форма будет получаться отрицательной, а следовательно она не является положительно определенной.

У нас был практически одинаковый набор положительных констант (за исключением одной), но в первом случае ничего определенного про форму сказать нельзя, а во втором она получается не положительно определенной. Т.е. во втором случае такого набора из шести констант явно недостаточно, чтобы форма не была не положительно определенной.
Разница между первым и вторым примером - ранг матрицы. В одном случае он равен 6 (и количество переменных 6), что дает только тривиальное решение. А во втором случае он равен 5 - и поэтому у нас на месте переменной $y$ может быть что угодно.

Я вот не пойму. Это я накрутил все слишком сложно, или предложенный мной способ вполне годится для рассмотрения наборов положительных и отрицательных констант?

[iancaple]

Понятно. Значит, надо из 21 строк выбрать как можно больше,чтобы ранг матрицы из выбранных строк остался меньше 6-ти

trarbish в сообщении #1046053 писал(а):

(Оффтоп)

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ }\end{pmatrix}$$

Можно выбрать 17 строк, многими способами, например, выбирать те строки, где в первом столбце нули. 4 коэффициента $a_1,a_2,a_{11},a_{13}<0$ -уже гарантируют отсутствие положительной определенности

[trarbish]

iancaple в сообщении #1046125 писал(а):

4 коэффициента $a_1,a_2,a_{11},a_{13}<0$ -уже гарантируют отсутствие положительной определенности

Да, спасибо. Это было первое, что я сделал - посмотрел каждый столбец и выбрал те строки (соотвественно коэффициенты) в которых есть $1$ или $-1$. На самом деле это равносильно отрицательным элементам на главной диагонали первоначальной матрицы. Отсюда и отсутствие положительной определенности. Но меня больше интересуют другие возможные комбинации (не такие тривиальные).

iancaple в сообщении #1046125 писал(а):

многими способами

А вот какие еще способы существуют?
Например, вот такой набор положительных элементов: $a_{11}, a_{14}, a_{7}, a_{10}, a_{18}, a_{20} > 0$ (а остальные отрицательные) гарантирует отсутствие положительной определенности, а такой $a_{11}, a_{14}, a_{7}, a_{10}, a_{18}, a_{16} > 0$ уже не гарантирует. Хочется отловить все случаи, когда 6 положительных констант гарантирует отсутствие положителььной определенности.
У меня пока только такой способ на уме. Рассматриваем с точки зрения положительных констант. Мы выбираем все возможные сочетания 6 строк из 15 (я убрал дубликаты одинаковых строк - они не влияют на ранг). Затем смотрю, если ранг у матрицы из этих шести строк меньше 6, то у нас отсутствие положительной определенности. Или можно как-то проще?