Положительная определенность - 2

[trarbish]

Продолжаю прорешивать примеры... Сделал еще два примера, застопорился на третьем:

$$\begin{pmatrix} a_{1}+a_{2} & -a_{2} & a_{1}t/2-a_{2}t/2 & -a_{2}t/2\\ -a_{2} & a_{2}+a_{3} & a_{2}t/2 & a_{2}t/2-a_{3}t/2\\ a_{1}t/2-a_{2}t/2 & a_{2}t/2 & b_{1}+b_{2}+a_{1}t^2/4+a_{2}t^2/4 & -b_{2}+a_{2}t^2/4 \\ -a_{2}t/2 & a_{2}t/2-a_{3}t/2 & -b_{2}+a_{2}t^2/4 & b_{2}+b_{3}+a_{2}t^2/4+a_{3}t^2/4 \end{pmatrix}$$

Доказать, что если все константы $b_{i}$ отрицательны, а остальные константы положительны, то матрица не является положительно определенной.
Забавно, что в данном случае у меня получилось это доказать с помощью критерия Сильвестра. Но хочется подобрать переменные, чтобы увидеть, что форма действительно может быть отрицательной.
С единицами тут не получается, потому что нужно сохранить $b_{1}, b_{2}, b_{3}$, а иначе $b_{2}$ сократится при сложении всех элементов.

P.s. Вторая подзадача. $t $ - всегда некоторое положительное действительное число. Доказать, что матрица не является положительно определенной, если одна из констант $a_{i}$ и две любые константы $b_{i}$ являются отрицательными. Остальные положительны.

[ex-math]

А что такое $t $?

[trarbish]

ex-math в сообщении #1045783 писал(а):

А что такое $t $?

Нашел решение! $[-t/2, -t/2, 1, -1]$. Как бы только научиться быстрее угадывать переменные, а то у меня пока только методом тыка выходит :(
К этой же матрице предлагается доказать еще одну вещь. (Уважаемый модератор, опять создавать новую тему?)
$t $ - всегда некоторое положительное действительное число. Доказать, что матрица не является положительно определенной, если одна из констант $a_{i}$ и две любые константы $b_{i}$ являются отрицательными. Остальные положительны.

[ex-math]

Ну, диагональ будет всегда входить с положительными коэффициентами. Значит, нужно компенсировать нежелательные элементы в ней. Чтобы убрать две диагональные $a_2t^2/4$ надо брать третью и четвертую переменные разных знаков, тогда элемент в третьей строке и четвертом столбце и симметричный ему войдут с минусом. И так далее.

[trarbish]

ex-math в сообщении #1045786 писал(а):

Ну, диагональ будет всегда входить с положительными коэффициентами. Значит, нужно компенсировать нежелательные элементы в ней. Чтобы убрать две диагональные $a_2t^2/4$ надо брать третью и четвертую переменные разных знаков, тогда элемент в третьей строке и четвертом столбце и симметричный ему войдут с минусом. И так далее.

Ой, увидел ваше сообщение, как только отправил свое предыдущее. Сейчас попробую сделать вторую подзадачу, как вы говорите, спасибо!

[trarbish]

ex-math в сообщении #1045786 писал(а):

Ну, диагональ будет всегда входить с положительными коэффициентами. Значит, нужно компенсировать нежелательные элементы в ней. Чтобы убрать две диагональные $a_2t^2/4$ надо брать третью и четвертую переменные разных знаков, тогда элемент в третьей строке и четвертом столбце и симметричный ему войдут с минусом. И так далее.

Для случая $a_{1}<0, b_{1}<0, b_{2}<0$ нашел вектор $[t/2, 0, 1, 0]$, который при перемножении дает отрицательную форму.

Никак не могу придумать переменные для случаев
1) $a_{1}<0, b_{1}<0, b_{3}<0$
2) $a_{1}<0, b_{2}<0, b_{3}<0$
Остальные константы положительны

[iancaple]

Цитата:

1) $a_{1}<0, b_{1}<0, b_{3}<0$
2) $a_{1}<0, b_{2}<0, b_{3}<0$
Остальные константы положительны

Если свернуть форму (мне так удобнее), получилось

$$q\left( x,y,\dfrac 2tz,\dfrac 2tu\right) =a_1(x+z)^2+a_2(x-y-z-u)^2-4a_2uz+a_3(y-u)^2+b_1z^2+b_2(z-u)^2+b_3u^2$$

Случай 2:обратим 4 слагаемыx с вовсе не заданными коэффициентами в 0, $z=0,y=u=\dfrac x2$, что соответствует набору $\left( t,\dfrac t2,0,1\right)$
Случай 1: заставим 2е и 3е слагаемое уничтожиться, а 4-е и 6-е обратиться в 0: $u=y=z=\dfrac x5$, что соответствует набору $\left( 5t,t,2,2\right)$
Как-то так

[trarbish]

iancaple в сообщении #1045851 писал(а):

Если свернуть форму (мне так удобнее), получилось

Круто! Еще раз спасибо. Но мне кажется тут где-то ошибка
1) Я попробовал умножить первоначальную матрицу на $\left( 5t,t,2,2\right)$ слева и справа - у меня получился другой ответ. $a_{2}$ остается...
2) При подстановке тех переменных, которые я нашел выше: $[-t/2, -t/2, 1, -1]$ - не доказывается, что форма будет отрицательна, если $b_{i}$ отрицательны, а остальные константы положительны. В форме $a_{2}$ остается

Хочется только самому научиться и освоить эту технику - возможно еще предстоит не одну матрицу рассмотреть.
Вот на этом примере оказалось, что метод "в лоб" простым подбором переменных - может не дать результатов. Ну то бишь может кто-нибудь (за всех сказать не могу) и смог бы сразу дать такой набор, но я пытался подобрать достаточно продолжительное время и у меня не вышло
В итоге для решения такого типа задача, как я понял, удобнее начинать с записи квадратичной формы, а уже потом подбирать переменные.

У меня вопрос такой: как именно вы знаете, как нужно свернуть форму? И как происходит процесс свертки? Конкретно это описывается в каком-либо задачнике/учебнике или это общеизвестная техника (т.е. моя серость)? И как вы поняли, что вектор переменных удобнее представить как $(x, y, 2z/t, 2u/t)$, а не просто $(x, y, z, u)$?

[iancaple]

trarbish в сообщении #1045860 писал(а):

как нужно свернуть форму? И как происходит процесс свертки?

Правило простое, на $(i,j)$ месте в матрице стоит коэффициент при произведении $i$-й и $j$-й переменных, как бы они ни назывались. А дальше выделяются полные квадраты так, чтобы данные $a_i,b_i$ были коэффициентами при них, квадратов и т.п. одночленов, конечно, будет больше 4-х.
Возможно я ошибся, но конечный ответ очень близок должен быть
Вот еще версия

$$q\left( x,y,\dfrac 2tz,\dfrac 2tu\right) =a_1(x+z)^2+a_2(x-y-z-u)^2+a_3(y-u)^2+b_1z^2+b_2(z-u)^2+b_3u^2$$

даже проще стало. И подтверждается гипотеза, как эти формы составлялись...
Обратить в 0 любые три выражения из шести можно с помощью ненулевого набора (однородная система трех уравнений с 4-мя неизвестными имеет ненулевое решение), этим решены и те задачи, которые Вы не успели задать.

[trarbish]

iancaple в сообщении #1045878 писал(а):

Правило простое, на $(i,j)$ месте в матрице стоит коэффициент при произведении $i$-й и $j$-й переменных, как бы они ни назывались

Т.е. например на $(1,2)$ месте (и соответственно $(2,1)$) стоит произведение $x$ и $y$ с каким-нибудь коэффициентом (в данном случае $-a_{2}$), да? В случае вектора $(x,y,\dfrac 2tz,\dfrac 2tu)$.
Затем вы эти все компоненты записываете в строчку и выделяете квадраты? Вы это делаете вручную? В Mathematica я использую Collect для этих целей. И кстати при выделении квадратов видно, что удобнее использовать не $(x,y,z,u)$, а $(x,y,\dfrac 2tz,\dfrac 2tu)$, да?

iancaple в сообщении #1045878 писал(а):

Вот еще версия

Да, спасибо, я тоже выделил квадраты. Только у всех $b_{i}$ есть еще множитель $4/t^2$. Вы его намеренно не пишите, т.к. он не влияет ни на что?

iancaple в сообщении #1045878 писал(а):

этим решены и те задачи, которые Вы не успели задать.

В смысле вы про те два случая, к которым я не смог подобрать переменные методом тыка?

Еще раз спасибо за столь подробные разъяснения и терпение! Надеюсь все последующие примеры смогу решить самостоятельно.

[iancaple]

trarbish в сообщении #1045895 писал(а):

Только у всех $b_{i}$ есть еще множитель $4/t^2$. Вы его намеренно не пишите, т.к. он не влияет ни на что?

Забыл сказать, что переходим к новым $b_i'$ того же знака.

(Оффтоп)

Рад бы использовать матпакеты, но пишу с нового компа, ничего еще не установлено, даже многое на экране не вижу, отсюда и ошибки

trarbish в сообщении #1045781 писал(а):

P.s. Вторая подзадача. $t $ - всегда некоторое положительное действительное число. Доказать, что матрица не является положительно определенной, если одна из констант $a_{i}$ и две любые константы $b_{i}$ являются отрицательными. Остальные положительны.

Вот эти все решены, и даже больше

[trarbish]

iancaple в сообщении #1045899 писал(а):

Вот эти все решены, и даже больше

Понятно, спасибо.
Я вот что еще подумал. По идее квадратичная форма должна давать самый общий ответ на то, какие комбинации из отрицательных и положительных констант в матрице делают матрицу не положительно определенной. Это видно из примеров, которые тут решены. Можно ли это дело как-то оптимизировать? Есть ли возможность быстро ответить, например, что при трех отрицательных $b_{i}$ или двух отрицательных $a_{i}$ или т.д. матрица не будет положительно определенной? Или только рассмотрение вручную каждой комбинации одной за другой нам в помощь?

[iancaple]

При любых двух $a_i$ отрицательных форма не является положительно определенной, так как однородная система уравнений с матрицей

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\1 & -1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & -1 }\end{pmatrix}$$

при вычеркнутых любых двух из первых трех строк имеет ненулевое решение, то есть пример $(x,y,z,u)$
А если Вы интересуетесь проверкой конкретной числовой матрицы, быстрее всего запросить у матпакета ее собственные числа и посмотреть какие знаки

[trarbish]

iancaple в сообщении #1045999 писал(а):

А если Вы интересуетесь проверкой конкретной числовой матрицы, быстрее всего запросить у матпакета ее собственные числа и посмотреть какие знаки

Нет, интересуют не конкретные числа, а именно положительность и отрицательность компонентов матрицы. И их влияние на положительность матрицы.

iancaple в сообщении #1045999 писал(а):

При любых двух $a_i$ отрицательных форма не является положительно определенной, так как однородная система уравнений с матрицей, при вычеркнутых любых двух из первых трех строк имеет ненулевое решение

Если вычеркнуть первую и третью строчку, то это сразу не совсем очевидно. Хотя, конечно, потом можно из шестой строчки вычесть четвертую, и к шестой прибавить пятую. Тогда получим нулевую шестую строку, а следовательно ранг будет равен 3 и будет меньше числа неизвестных.
Правильно ли я понимаю, что таким образом это дело можно автоматизировать, убирая различные строки из такой матрицы и считая ранг? Соотвественно если ранг получается меньше числа неизвестных - получаем ненулевое решение и автоматически не положительность формы.

[trarbish]

trarbish в сообщении #1046021 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что таким образом это дело можно автоматизировать, убирая различные строки из такой матрицы и считая ранг?

Поясню, что я имею ввиду. Например, я рассмотрел другую матрицу (с кучей констант), получил квадратичную форму и записал однородную систему уравнений с матрицей (как сделали вы выше):

(Оффтоп)

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ }\end{pmatrix}$$

И вот у такой матрицы я хочу найти как много нужно вычеркнуть строк (и чтобы это было минимальное количество), чтобы ранг стал равен количеству переменных (6) - т.е. это будет тот момент, когда уже нельзя будет точно сказать, что форма является не положительно определенной.

P.s. Использовал "оффтоп", так как не нашел, как можно свернуть большой текст.