Выделение частоты с помощью интегратора

[upgrade]

как можно вычитая одну амплитуду из другой получить бОльшую амплитуду, они же обе или ноль или положительные. Вычитанием амплитуд шум гасит шум (не полностью, конечно, но максимумы порежет), разве нет?
Если взять две выборки случайных величин одинаково распределенных и составить третью, которая равна разницам между первыми двумя, ее значения будут распределены так же как у первых двух, только сдвинутся таким образом, что среднее у них будет ноль, а у первых двух среднее не будет ноль.
Например, для равномерно распределенной случайной величины принимающей значения от $0$ до $1$, среднее - $0.5$, если даже начать вычитать попарно принимаемые ею значения, среднее разниц будет $0$ (проверил только что в экселе).

[Евгений Машеров]

epros в сообщении #1045068 писал(а):

Народ, а Вы тут, часом, не велосипеды изобретаете? Задача обнаружения (именно обнаружения) сигнала в шуме -- это классика. Разрешима она, естественно, только если о сигнале априорно хоть что-то известно. Если известна форма сигнала (не важно, какая у него частота или может быть несколько частот), а варьироваться может амплитуда и сдвиг по времени, то традиционным решением (по крайней мере для случая белого шума) является т.н. "согласованный фильтр". Вот по этому словосочетанию и гуглите. Да, в каком-то смысле его можно назвать "интегратором", но не в том смысле, что он просто интегрирует сигнал (как настоящий интегратор), а в том смысле, что он интегрирует корреляцию сигнала с эталонной формой сигнала: Когда такой интегральной корреляции накапливается достаточно много, должен сработать триггер "сигнал обнаружен".

В более сложных случаях, когда шум не белый или когда информация об искомом сигнале выражается более сложным образом, задача проектирования оптимального фильтра становится более сложной (чем классический случай "согласованного фильтра"). Однако во многих случаях она всё же разрешима. Формула Байеса может помочь.

Ну, лично я пытаюсь подсунуть каталог велосипедного магазина и уточняю, на какой странице открывать: дорожные, гоночные, горные, детские, цирковые?
То есть что известно об искомом сигнале - частота, форма, длительность проявления? И о шуме - амплитуда, спектр, закон распределения? Что можно сказать о стоимости ложноположительных и ложноотрицательных сигналов? Какими средствами обрабатываем (аналог или цифра, если цифра - частота съёма, потом считаем на сигнальнике или полноценной ЭВМ)? Сколько времени нам отведено на обработку? И когда всё это узнаем - просто выберем метод из уже давно наработанных.

-- 14 авг 2015, 13:10 --

upgrade в сообщении #1045230 писал(а):

как можно вычитая одну амплитуду из другой получить бОльшую амплитуду, они же обе или ноль или положительные. Вычитанием амплитуд шум гасит шум (не полностью, конечно, но максимумы порежет), разве нет?
Если взять две выборки случайных величин одинаково распределенных и составить третью, которая равна разницам между первыми двумя, ее значения будут распределены так же как у первых двух, только сдвинутся таким образом, что среднее у них будет ноль, а у первых двух среднее не будет ноль.
Например, для равномерно распределенной случайной величины принимающей значения от $0$ до $1$, среднее - $0.5$, если даже начать вычитать попарно принимаемые ею значения, среднее разниц будет $0$ (проверил только что в экселе).

А давайте не будем путать амплитуды, которые величины несколько абстрактные, хотя и поддающиеся оценке, и непосредственно снимаемые с датчика отсчёты.

[upgrade]

Евгений Машеров в сообщении #1045232 писал(а):

А давайте не будем путать амплитуды, которые величины несколько абстрактные, хотя и поддающиеся оценке, и непосредственно снимаемые с датчика отсчёты.

давайте
если снимаем отсчеты с датчиков тогда конечно там расти все начнет

[epros]

Евгений Машеров в сообщении #1045232 писал(а):

И когда всё это узнаем - просто выберем метод из уже давно наработанных.

Боюсь, что так и не узнаем, ибо "коммерческая тайна". Пока я узнал только, что топикстартер зачем-то считал БПФ (вместо непосредственного проектирования фильтра). Зато коллега, как я вижу, уже во всю предлагает тут какие-то примитивные варианты линейных фильтров (посредством вычитания одного сигнала из другого), даже не озаботившись ничего этого узнать.

[profrotter]

epros в сообщении #1045068 писал(а):

то традиционным решением (по крайней мере для случая белого шума) является т.н. "согласованный фильтр".

Близко к истине, но... Обнаружитель сигнала представляет собой не просто согласованный фильтр. В случае, если речь идёт о обнаружении в гауссовом белом шуме детерминированного сигнала, то обнаружитель включает согласованный фильтр (или коррелятор) и пороговое устройство. В случае, когда речь идёт о обнаружении сигнала со случайной амплитудой и начальной фазой, обнаружитель представляет собой последовательное соединение согласованного фильтра, детектора огибающей и порогового устройства или (коррелятора огибающих и порогового устройства).

Но в этой теме скорее всего речь идёт об обнаружении гармонического сигнала со случайной частотой, амплитудой и начальной фазой. В предположении, что шум белый гауссов, а частота дискретна и равномерно распределённа в некотором известном интервале, фаза имеет равномерное распределение, а амплитуда - распределение Релея, можно получить, что оптимальным обнаружителем является гребёнка узкополосных фильтров, нагруженных на обнаружители для сигнала со случайной амплитудой и начальной фазой. Кстати, узкополсный фильтр и согласованный фильтр/коррелятор канального обнаружителя могут быть совмещены. Так что речь идёт о гребёнке обнаружителей. Отклики всех каналов анализируются в решающем устройстве (в простейшем случае это схема выбора максимума). (Оптимальность понимается по любому из статистических критериев: Байеса, максимальной апостериорной вероятности, максимального правдоподобия. Выбор критерия определит схему решающего устройства.)

Ближайший похожий пример того, о чём сказано можно посмотреть в Перов А.И. Статистическая теория радиотехнических систем, параграф 4.3.4.

Дополнительно из скудного описания автором известно, что сигнал то появляется, то пропадает. В этом случае можно также попробовать накопление в каждом из каналов обнаружителя. Возможно в этом смысле ему и говорили о интеграторе.

Однако, пытаться что-либо объяснить автору о сущестовании теории оптимального приёма сигналов не имеет смысла, поскольку у него за плечами есть подобная тема topic86689.html, где ему об этом рассказывалось и приводились ссылки. У него быстрый алгоритм без матриц и всё тут.

-- Пт авг 14, 2015 15:05:02 --

epros в сообщении #1045245 писал(а):

Пока я узнал только, что топикстартер зачем-то считал БПФ (вместо непосредственного проектирования фильтра).

БПФ это и есть гребёнка фильтров. А дальше накопители амплитудных значений - каждый на свою частоту.

[Евгений Машеров]

Ну, собственно, фильтр не обязан быть именно узкополосным. Тем более гребёнкой узкополосных. Полоса пропускания должна примерно соответствовать ожидаемым отклонениям частоты сигнала. С другой стороны, если сигнал порождён процессом, который мы наблюдаем и знаем его частоту (да и фазу), а тут, похоже, вибрация от вращения вала, то можем сделать синхронное накопление, по фазе вращения вала синхронизируясь.

[epros]

profrotter в сообщении #1045256 писал(а):

В случае, если речь идёт о обнаружении в гауссовом белом шуме детерминированного сигнала, то обнаружитель включает согласованный фильтр (или коррелятор) и пороговое устройство.

Угу, я об этом и сказал.

profrotter в сообщении #1045256 писал(а):

В случае, когда речь идёт о обнаружении сигнала со случайной амплитудой и начальной фазой, обнаружитель представляет собой последовательное соединение согласованного фильтра, детектора огибающей и порогового устройства или (коррелятора огибающих и порогового устройства).

Что-то я не понял сути отличий этого случая от предыдущего.

profrotter в сообщении #1045256 писал(а):

скорее всего речь идёт об обнаружении гармонического сигнала со случайной частотой, амплитудой и начальной фазой

Насколько я понимаю, задача в такой постановке неразрешима, ибо формулировка звучит так же, как "обнаружить какую-нибудь из гармоник белого шума в белом шуме".

profrotter в сообщении #1045256 писал(а):

а частота дискретна и равномерно распределённа в некотором известном интервале

Что это означает? Частоты (а их в спектре может быть некоторое количество больше одной штуки) являются либо "дискретными", либо "равномерно распределёнными", но в каком смысле они могут быть и такими, и сякими, мне непонятно.

profrotter в сообщении #1045256 писал(а):

оптимальным обнаружителем является гребёнка узкополосных фильтров, нагруженных на обнаружители для сигнала со случайной амплитудой и начальной фазой.

Сейчас, насколько я понимаю, Вы описали один из частных случаев согласованного фильтра.

profrotter в сообщении #1045256 писал(а):

Так что речь идёт о гребёнке обнаружителей

Я понял. Но "гребёнка обнаружителей" = "многоканальный обнаружитель". Кстати, слишком большое количество каналов лишает систему смысла, ибо какой-то из каналов всегда будет срабатывать. (см. выше про "задача в такой постановке неразрешима").

profrotter в сообщении #1045256 писал(а):

Однако, пытаться что-либо объяснить автору о сущестовании теории оптимального приёма сигналов не имеет смысла, поскольку у него за плечами есть подобная тема topic86689.html , где ему об этом рассказывалось и приводились ссылки. У него быстрый алгоритм без матриц и всё тут.

Да, посмотрел ту тему. Похоже на то, что автор что-то темнит. Т.е. конкретной задачи у него на самом деле нет, а сюда он просто пришёл попудрить нам мозги вопросами разной степени каверзности.

profrotter в сообщении #1045256 писал(а):

БПФ это и есть гребёнка фильтров. А дальше накопители амплитудных значений - каждый на свою частоту.

БПФ -- сам по себе накопитель, причём по всем частотам сразу. Вот я только не понимаю, зачем нам накапливать информацию по гармоникам, если обнаруживать мы собираемся не какую-то (какие-то) из гармоник, а сигнал с определёнными характеристиками и, очевидно, конечный по времени.

[arseniiv]

epros в сообщении #1045278 писал(а):

Что это означает? Частоты (а их в спектре может быть некоторое количество больше одной штуки) являются либо "дискретными", либо "равномерно распределёнными", но в каком смысле они могут быть и такими, и сякими, мне непонятно.

Я бы понял как то, что распределение частоты дискретное равномерное. Равномерное же бывает и непрерывное, и дискретное.

[profrotter]

epros в сообщении #1045278 писал(а):

Что это означает?

Это означает, что частота предполагается дискретной случайной величиной. Чем меньше будет принят шаг между возможными значениями частоты, тем точнее будет решена задача и тем больше будет каналов у обнаружителя. Это вынужденное упрощение, которое позволяет обойти неподдающуюся математику.

epros в сообщении #1045278 писал(а):

Насколько я понимаю, задача в такой постановке неразрешима, ибо формулировка звучит так же, как "обнаружить какую-нибудь из гармоник белого шума в белом шуме".

Так нельзя говорить. Нет такого понятия "гармоника белого шума". Напомню, что ссылка на литературу была приведена.

epros в сообщении #1045278 писал(а):

Что-то я не понял сути отличий этого случая от предыдущего.

Когерентная обработка сигнала отличается от некогерентной тем, что в одном случае начальная фаза сигнала известна и это значение используется, а в другом - неизвестна. В первом случае в пороговом устройстве обрабатывается отсчёт сигнала на выходе согласованного фильтра в момент окончания наблюдения сигнала (этот отсчёт даёт коэффициент корреляции сигналов с которым согласован фильтр и обрабатываемого сигнала), а во втором случае сигнал с выхода согласованного фильтра поступает на вход детектора огибающей, а в пороговом устройстве обрабатывается отсчёт сигнала с выхода детектора огибающей (этот отсчёт даёт, независящий от начальных фаз, модуль коэффициента корреляции по комплексным огибающим обрабатываемого сигнала и сигнала с которым согласован фильтр.). Подробнее об этом можно прочитать, например, в любом учебнике по статистической радиотехнике.

epros в сообщении #1045278 писал(а):

БПФ -- сам по себе накопитель, причём по всем частотам сразу.

Ну нет, конечно. Полистайте Рабинер Гоулд Теория и применение цифровой обработки сигналов. У меня сейчас нет доступа к этой книге, но там где-то есть про БПФ(ДПФ) и гребёнку фильтров.

Евгений Машеров в сообщении #1045266 писал(а):

Ну, собственно, фильтр не обязан быть именно узкополосным. Тем более гребёнкой узкополосных.

Он не фильтр. Он обнаружитель. Когда задача ставится сторого, как задача оптимального статистического синтеза, о которой я и писал, то для того, чтобы быть оптимальным, обнаружитель обязан иметь определённую структуру. Бывает несколько статистически эквивалентных структур. Например, кроме гребёнок фильтров возможны ещё перестраиваемые фильтры. Может быть ещё что-то.

[epros]

profrotter в сообщении #1045324 писал(а):

Нет такого понятия "гармоника белого шума".

Это почему? У белого шума нет спектра?

profrotter в сообщении #1045324 писал(а):

в одном случае начальная фаза сигнала известна

Что такое "начальная фаза сигнала"? Напомню, что "сигнал" -- это некая функция $s(t)$. Уже в случае, когда сигнал представляет собой смесь всего двух гармоник разных (не кратных) частот, говорить о его "фазе" бессмысленно.

profrotter в сообщении #1045324 писал(а):

в момент окончания наблюдения сигнала

Какой ещё момент окончания наблюдения? Напоминаю, что согласованный фильтр -- это фильтр с импульсной характеристикой $IRF(t)=s(t_{\text{end}}-t)$, где $s(t)$ -- искомый сигнал, за начало которого принимается момент $t=0$, а за окончание -- момент $t=t_{\text{end}}$. Применяется оный фильтр так: Мы просто сидим и ждём, когда значение на выходе превзойдёт некий порог, что и будет считаться обнаружением искомого сигнала. Никакого "окончания наблюдения" нет.

profrotter в сообщении #1045324 писал(а):

во втором случае сигнал с выхода согласованного фильтра поступает на вход детектора огибающей

Что такое "детектор огибающей? Да и вообще, что это за "огибающая"?

profrotter в сообщении #1045324 писал(а):

Ну нет, конечно. Полистайте Рабинер Гоулд Теория и применение цифровой обработки сигналов.

Преобразование Фурье -- это интеграл по времени, не забыли? Методы численного расчёта этого интеграла, такие как БПФ, ничего не меняют в том факте, что множество отсчётов накапливается (и интегрируется) за некоторый достаточно длительный промежуток времени. Если найдёте учебник, который говорит, что это не так, лучше немедленно выкиньте его.

[profrotter]

Я очень сильно извиняюсь. Следил за темой давно, но краем глаза и перед выступлением не перечитал стартовое сообщение. Ещё и автора ни за что отругал. Не хотел ввязываться, потому что отчего то считал, что частота гармонического сигнала неизвестна. Оказывается частота гармонического сигнала известна. Тогда то, что я написал не относится к делу. Не берусь судить, можно ли считать известной начальную фазу сигнала (можно ли синхронизировать по вращению вала). Вообще информация в стартовом сообщении довольно скудна.

В случае же, когда амплитуда сигнала неизвестна и начальная фаза неизвестна, но известна частота, то (при вероятностных предположениях о том, что шум - белый, о релеевском распределении амплитуды и равномерном распределении начальной фазы сигнала) обнаружитель представляет собой согласованный фильтр нагруженный на амплитудный детектор и пороговое устройство. Либо коррелятор огибающих с пороговым устройством.

Что касается процедуры наблюдения сигнала, не описанной автором, то, насколько я понял, сигнал наблюдается секциями одинаковой длительности. Результаты обработки каждой секции накапливаются. Как именно автор темы не указал. Можно при каждом обнаружении накидывать единичку в общую сумму и отслеживать отношение накопленных единичек к общему количеству обработанных секций, можно накапливать "с забыванием"(то есть выходной сигнал накопителя в свободном состоянии убывает по некоторому закону), можно когда сигнал не обнаружен, скажем, из общей суммы вычитается единичка, когда обнаружен - прибавляется. Можно накапливать непосредственно отклики детектора огибающей, а не единички. Вариантов масса.

Скорее всего алгоритм автора основан на рекурсивной процедуре полосовой фильтрации с последующим выделением огибающей и пороговой обработке, что он и сравнивает с алгоритмом на основе БПФ. Анализруя элемент последовательности, получаемой в результате БПФ, соответствующий определённой частоте, взяв модуль мы получаем приблизительно то же самое, что имели бы на выходе конструкции полосовой фильтр - детектор огибающей.

Теперь не по делу.

epros в сообщении #1045333 писал(а):

Это почему? У белого шума нет спектра?

В том смысле, в котором можно было бы говорить о гармонике белого шума - нет. Для белого шума, как и для любого стационарного случайного процесса вводится понятие спектральной плотности мощности (спектра мощности, кратко - спектра). Спектр мощности стационарного случайного процесса $\xi(t)$ представляет собой статистически усреднённую среднюю по времени спектральную плотность мощности фрагментов его реализий $\xi_T(t)$ при неограниченном времени наблюдения $T$:

$$S_{\xi}(\omega)=\lim\limits_{T\to\infty}M\left\{\frac{\left|F\left\{\xi_T(t);\omega\right\}\right|^2}{T}\right\}.$$

В соответствии с теоремой Винера - Хинчина спектр мощности случайного процесса и его корреляционная фукнция представляют собой фурье - пару. Так что если спектр мощности и характеризует какие-либо гармоники, то это гармоники относящиеся к корреляционной функции процесса.

epros в сообщении #1045333 писал(а):

Что такое "начальная фаза сигнала"? Напомню, что "сигнал" -- это некая функция $s(t)$. Уже в случае, когда сигнал представляет собой смесь всего двух гармоник разных (не кратных) частот, говорить о его "фазе" бессмысленно.

В данном случае рассматривается обнаружение гармонического сигнала.

epros в сообщении #1045333 писал(а):

Какой ещё момент окончания наблюдения?

Задача обнаружения сигнала ставится на конечном интервале. В данной теме речь идёт о обработке сигнала секциями. Для каждой секции есть начало и окончание наблюдения.

epros в сообщении #1045333 писал(а):

Напоминаю, что согласованный фильтр -- это фильтр с импульсной характеристикой $IRF(t)=s(t_{\text{end}}-t)$, где $s(t)$ -- искомый сигнал, за начало которого принимается момент $t=0$, а за окончание -- момент $t=t_{\text{end}}$. Применяется оный фильтр так: Мы просто сидим и ждём, когда значение на выходе превзойдёт некий порог, что и будет считаться обнаружением искомого сигнала. Никакого "окончания наблюдения" нет.

Согласованный фильтр - это оптимальный по критерию максимального отношения сигнал/шум фильтр в частном случае фильтрации сигнала на фоне белого шума. Иными словами, если ввести в рассмотрение отношение сигнал/шум как отношение максимального значения детерминированного сигнала на выходе фильтра к СКО шума на выходе фильтра, то среди всех линейных цепей при фильтрации смеси сигнала и белого шума именно согласованный фильтр обеспечит его максимальным в некоторый момент времени $t_0$. Работает оный фильтр так. АЧХ согласованного фильтра по форме повторяет амплитудный спектр сигнала, что обеспечивает передачу на выход существенных гармоник сигнала и подавление тех частотных полос, в которых располагаются несущественные его гармоники. ФЧХ согласованного фильтра $\varphi_h(\omega)=-\varphi(\omega)-\omega t_0$ связана с фазовомым спектром сигнала $\varphi(\omega)$ и обеспечивает синфазное сложение гармоник сигнала на выходе в момент времени $t_0$. Из соображений физической реализуемости $t_0$ не может быть меньше длительности сигнала, поэтому то самое максимальное отношение сигнал/шум на выходе мы можем получить не раньше чем закончится действие сигнала. Поэтому обычно $t_0$ задают равным длительности сигнала. При больших отношениях сигнал/шум возможно применение схем обнаружителей подобных тем, которую вы описали. Однако при малых отношениях сигнал/шум необходимость наблюдения отклика фильтра именно в момент времени $t_0$ становится ощутимой, поскольку поведние отклика согласованного фильтра в любой момент времени, отличный от $t_0$, никак не нормировано.
Что касается практики согласованных фильтров, то чаще всего они реализуются приблизительно, при этом обеспечивается некоторое согласование полосы пропускания квазиоптимальной цепи и ширины спектра сигнала. Часто роль согласованного фильтра вообще выполняют УРЧ приёмника. Так что полосовой фильтр при обнаружении гармонического сигнала - это фактически и есть согласованный фильтр. Главное при этом полосу пропускания фильтра согласовать с длительностью обрабатываемой секции сигнала. Ну, можно считать, что в каждой секции мы пытаемся обнаружить прямоугольный радиоимпульс и строить квазиоптимальный фильтр для него.

epros в сообщении #1045333 писал(а):

Что такое "детектор огибающей? Да и вообще, что это за "огибающая"?

С детектором огибающей (он же амплитудный детектор) Вы можете познакомится самостоятельно, начиная с учебника по физике за 10 класс. Надеюсь Вы меня простите за то, что я счёл необязательным пояснять здесь простейшие термины.

epros в сообщении #1045333 писал(а):

Преобразование Фурье -- это интеграл по времени, не забыли? Методы численного расчёта этого интеграла, такие как БПФ, ничего не меняют в том факте, что множество отсчётов накапливается (и интегрируется) за некоторый достаточно длительный промежуток времени. Если найдёте учебник, который говорит, что это не так, лучше немедленно выкиньте его.

Во-первых вода. Во-втрых речь идёт не о накоплении отчётов, а о накоплении результатов обнаружения сигнала от секции к секции.

[Mihaylo]

Предлагаю чисто инженерное решение:
1) Выполняем БПФ на известной частоте. При необходимости можно проводить БПФ нескольких близких частот.
2) В каждый период вычислений рассчитываем среднее значение амплитуд и среднеквадратичное отклонение амплитуд за прошедший период $T$, где $T$ должно быть не более длительности регистрируемого полезного сигнала.
3) Прибор выдает тревожное сообщение, если среднее значение амплитуд большое (больше $A_0$), а их среднеквадратичное отклонение мало (меньше $\Delta A$). Среднее значение соответствует мощности полезного сигнала, а среднеквадратичное отклонение - стабильности формы этого сигнала.

Без всякого интегратора.

[epros]

profrotter в сообщении #1045645 писал(а):

Спектр мощности стационарного случайного процесса $\xi(t)$ представляет собой статистически усреднённую среднюю по времени спектральную плотность мощности фрагментов его реализий $\xi_T(t)$

Угу, при этом у реализации тоже есть спектр, а вот он-то уж точно состоит из гармоник.

profrotter в сообщении #1045645 писал(а):

В данном случае рассматривается обнаружение гармонического сигнала.

Ок. Пусть гармонического. Но это не отменяет понятия согласованного фильтра, который в случае гармонического сигнала вырождается в узкополосный фильтр. Отдельно ловить фазу гармонического сигнала, если речь идёт о задаче его обнаружения, я не вижу смысла.

profrotter в сообщении #1045645 писал(а):

Задача обнаружения сигнала ставится на конечном интервале. В данной теме речь идёт о обработке сигнала секциями. Для каждой секции есть начало и окончание наблюдения.

Ну хорошо, можете считать, что период наблюдения по техническим причинам ограничен. Это, собственно, ничего не меняет: Мы сидим и ждём отклика на выходе согласованного фильтра, пока не закончится период наблюдения. А потом всё выключаем и уходим. В концепции согласованного фильтра, как я понимаю, это ничего не меняет.

profrotter в сообщении #1045645 писал(а):

Работает оный фильтр так. АЧХ согласованного фильтра по форме повторяет амплитудный спектр сигнала, что обеспечивает передачу на выход существенных гармоник сигнала и подавление тех частотных полос, в которых располагаются несущественные его гармоники. ФЧХ согласованного фильтра $\varphi_h(\omega)=-\varphi(\omega)-\omega t_0$ связана с фазовомым спектром сигнала $\varphi(\omega)$ и обеспечивает синфазное сложение гармоник сигнала на выходе в момент времени $t_0$. Из соображений физической реализуемости $t_0$ не может быть меньше длительности сигнала, поэтому то самое максимальное отношение сигнал/шум на выходе мы можем получить не раньше чем закончится действие сигнала. Поэтому обычно $t_0$ задают равным длительности сигнала.

Вы сейчас другими словами описали в точности то, что я описал как:

epros в сообщении #1045333 писал(а):

согласованный фильтр -- это фильтр с импульсной характеристикой $IRF(t)=s(t_{\text{end}}-t)$

profrotter в сообщении #1045645 писал(а):

Однако при малых отношениях сигнал/шум необходимость наблюдения отклика фильтра именно в момент времени $t_0$ становится ощутимой, поскольку поведние отклика согласованного фильтра в любой момент времени, отличный от $t_0$, никак не нормировано.

Это, конечно, было бы замечательно -- заранее знать, когда именно наступит тот момент $t_0$, в который следует наблюдать отклик. Однако если начало (и, соответственно, окончание) сигнала не фиксировано по времени, то приходится просто сидеть и смотреть, когда же, наконец, он наступит -- момент максимального отклика на выходе фильтра.

profrotter в сообщении #1045645 писал(а):

Главное при этом полосу пропускания фильтра согласовать с длительностью обрабатываемой секции сигнала.

Она и сама собой неплохо согласуется, если мы при расчёте импульсной характеристики фильтра будем исходить из предположения, что сигнал не продлится дольше, чем $t_{\text{end}}$.

profrotter в сообщении #1045645 писал(а):

С детектором огибающей (он же амплитудный детектор) Вы можете познакомится самостоятельно, начиная с учебника по физике за 10 класс.

Да я помню про ту "огибающую", про которую нам рассказывали в 10 классе. Просто на первом курсе нам уже рассказывали о том, что эта самая "огибающая" -- условное понятие, имеющее смысл только при определённым образом модулированном сигнале (а именно, когда высокочастотная гармоника модулируется сигналом с низкочастотным спектром).

profrotter в сообщении #1045645 писал(а):

Во-втрых речь идёт не о накоплении отчётов, а о накоплении результатов обнаружения сигнала от секции к секции.

Накопление отсчётов в смысле суммирования (интегрирования) их произведений на $e^{i \omega t}$. Фурье образ сигнала, в просторечии именуемый "спектром", Вы сможете посчитать только после того, как пронаблюдаете кусок сигнала за достаточно продолжительный период времени, т.е. накопите информацию о сигнале за это время.

[profrotter]

epros в сообщении #1045687 писал(а):

Угу, при этом у реализации тоже есть спектр, а вот он-то уж точно состоит из гармоник.

Неверно! Стационарный случайный процесс в известном смысле однороден во времени, что означает неограниченность во времени его реализаций и, как следствие, невозможность рассматривать для них преобразование Фурье и какой-либо спектр.

(Оффтоп)

Добавил в 13:56
В упрямых попытках найти гармоники в стационарном случайном процессе можно посмотреть материал "канонические разложения случайных процессов". На конечном интервале случайный процесс может быть представлен в виде совокупности гармонических сигналов со случайной амплитудой и начальной фазой. Причём дисперсии составляющих сигнала определяются спектром мощности процесса. В этом смыле, полагаю, можно говорить о усечённых гармонических составляющих процесса, не забывая, что они имеют случайную амплитуду и начальную фазу.

epros в сообщении #1045687 писал(а):

Ок. Пусть гармонического. Но это не отменяет понятия согласованного фильтра, который в случае гармонического сигнала вырождается в узкополосный фильтр.

Неверно! Согласованный фильтр для гармонического сигнала вообще не может быть построен. Вы противоречите сами себе, поскольку для гармонического сигнала никак не может быть определён момент времени $t_{\text{end}}$, о котором пишете. Речь может идти о согласованном фильтре для фрагмента гармонического сигнала. При условии, что длительность фрагмента будет гораздо больше периода колебаний задача сводится к построению согласованного фильтра для радиоимпульса, который будет представлять собой полосовой фильтр.

epros в сообщении #1045687 писал(а):

В концепции согласованного фильтра, как я понимаю, это ничего не меняет.

Нет никакой концепции согласованного фильтра. Согласованный фильтр - это оптимальная в указанном уже здесь смысле линейная цепь. И всё.

epros в сообщении #1045687 писал(а):

Просто на первом курсе нам уже рассказывали о том, что эта самая "огибающая" -- условное понятие, имеющее смысл только при определённым образом модулированном сигнале (а именно, когда высокочастотная гармоника модулируется сигналом с низкочастотным спектром).

Неверно. Огибающая вводится для узкополосных сигналов - сигналов, ширина спектра которых гораздо меньше центральной частоты спектра. Ни вид, ни метод модуляции не имеют значения. В случае, когда интервал наблюдения гармонического сигнала будет гораздо больше периода, то условия узкополосности будут (приблизительно) выполнены.

epros в сообщении #1045687 писал(а):

Накопление отсчётов в смысле суммирования (интегрирования) их произведений на $e^{i \omega t}$. Фурье образ сигнала, в просторечии именуемый "спектром", Вы сможете посчитать только после того, как пронаблюдаете кусок сигнала за достаточно продолжительный период времени, т.е. накопите информацию о сигнале за это время.

Во-первых, неверно, поскольку Фурье-образ несёт полную информацию о сигнале и для его нахождения требуется описание сигнала на всём временном интервале. Во-вторых, вода. Зачем Вы продолжаете пытаться обосновывать подмену общепринятого в обработке сигналов термина "накопление"?

[epros]

profrotter в сообщении #1046028 писал(а):

Неверно! Стационарный случайный процесс в известном смысле однороден во времени, что означает неограниченность во времени его реализаций и, как следствие, невозможность рассматривать для них преобразование Фурье и какой-либо спектр.

Я знаю, что такое эргодичность сигнала, и знаю, что теоретически белый шум неограничен по времени реализации. Ну и что? Применение теории на практике всегда сопряжено с пренебрежением какими-то незначительными деталями. Поэтому когда мы рассматриваем реализацию белого шума за какой-то достаточно длительный (но конечный) промежуток времени, мы пренебрегаем фактом его конечности. Точно так же, когда мы говорим, что "сигнал гармонический", мы пренебрегаем тем, что на самом деле проверили это только на конечном промежутке времени.

profrotter в сообщении #1046028 писал(а):

Неверно! Согласованный фильтр для гармонического сигнала вообще не может быть построен. Вы противоречите сами себе, поскольку для гармонического сигнала никак не может быть определён момент времени $t_{\text{end}}$, о котором пишете.

Опять же, речь, очевидно, идёт о построении с практически целесообразной точностью. Это значит, что мы берём достаточно длинный кусок синусоиды в качестве импульсной характеристики фильтра (т.е. берём $t_{\text{end}}$ достаточно большим) и далее с хорошей точностью можем быть уверены в том, что максимальный отклик он даст именно на соответствующем гармоническом сигнале.

А алгоритм БПФ по-Вашему что ли точно определяет гармоники? Отнюдь. Он тоже обрабатывает данные только за конечный промежуток времени.

profrotter в сообщении #1046028 писал(а):

Огибающая вводится для узкополосных сигналов - сигналов, ширина спектра которых гораздо меньше центральной частоты спектра. Ни вид, ни метод модуляции не имеют значения.

Сигнал, ширина спектра которого гораздо меньше центральной частоты спектра, это фактически и есть модулированная гармоника высокой частоты. Ибо умножение сигнала на $e^{i \omega t}$, как известно, равносильно сдвигу его спектра на $\omega$. И только для такого сигнала имеет смысл понятие "огибающей". Вот попробуйте найти "огибающую" для сигнала $\cos(t) + \cos(\sqrt{2} \cdot t)$.

profrotter в сообщении #1046028 писал(а):

Во-первых, неверно, поскольку Фурье-образ несёт полную информацию о сигнале и для его нахождения требуется описание сигнала на всём временном интервале.

Опять же, вспоминаем о различиях между недостижимым теоретическим идеалом и практически приемлемой точностью. Теоретически идеальный Фурье образ требует интегрирования по всему временному интервалу, а на практике мы всегда ограничиваемся просто достаточно длинным, но конечным куском сигнала.

profrotter в сообщении #1046028 писал(а):

Во-вторых, вода. Зачем Вы продолжаете пытаться обосновывать подмену общепринятого в обработке сигналов термина "накопление"?

Я не знаю, что именно Вы здесь и сейчас называете "общепринятым", но если Вы намерены действовать так:
1) Разбить сигнал по времени на $N$ кусков,
2) В каждом куске с некоторой ограниченной точностью с помощью БПФ "обнаружить" некую гармонику,
3) Потом "накопить" данные об этих $N$ "обнаружениях";
то я Вам посоветую поступить проще:
1) Задать в алгоритме БПФ в $N$ раз больше отсчётов, чтобы все $N$ кусков сигнала были покрыты одним расчётом,
2) Наслаждаться тем, что БПФ сам и "обнаружит", и "накопит" данные этих "обнаружений" гораздо точнее, чем Вы это сделаете любыми другими средствами.