Композиция малых поворотов и интеграл от угловой скорости

[Sicker]

arseniiv
Да, те каждая новая ось поворота определяется относительно новой сместившейся системы координат.

[lek]

Вы правы, но насколько я понимаю ТС надо написать программу, поэтому на конечных (достаточно малых) временных интервалах плоскости вращений можно фиксировать. Впрочем, можно поискать и точное решение...

[arseniiv]

Просто epros как раз не хочет (я бы тоже не хотел ) умножать много-много раз.

[epros]

lek в сообщении #1044875 писал(а):

Можно связать этот вектор с кватернионом $q(t)=\cos\frac{\phi}{2}+\vec{n}\sin\frac{\phi}{2}$, где $\phi=\int\limits_0^t|\vec{\omega}(t')|dt'$ и $\vec{n}=\vec{\omega}/|\vec{\omega}|$.

Я мало общался с кватернионами, поэтому мне сейчас идея не очень понятна. В частности, мне непонятно в какой момент мы должны взять вектор $\vec{n}$. Ибо направление угловой скорости в момент $t$, очевидно, ничего не говорит о направлении интегрального поворота в этот момент.

[Sicker]

epros
А что насчет спинорного представления?

[epros]

arseniiv в сообщении #1044885 писал(а):

Просто epros как раз не хочет (я бы тоже не хотел ) умножать много-много раз.

Идеально было бы аналитическое решение. Угловая скорость записывается неким полиномом 4-ой степени $t$ . Если бы угол как функцию времени удалось записать пусть не полиномом, то хотя бы какой-нибудь формулкой, то компьютеру было бы уже гораздо легче считать.

-- Чт авг 13, 2015 01:25:47 --

Sicker в сообщении #1044887 писал(а):

А что насчет спинорного представления?

А что можно сделать со спинорным представлением?

[arseniiv]

epros в сообщении #1044888 писал(а):

Идеально было бы аналитическое решение.

Я вот сейчас попросил Mathematica’у решить системку (дифур на предыдущей странице) для угловой скорости, линейно зависящей от времени — не вышло, степени больше даже не пробовал. Но, может быть, вручную всё решится.

-- Чт авг 13, 2015 02:35:29 --

Может, и численное решение той системы будет быстрее умножения для той же точности, но как-то сомнения берут.

[lek]

Вместо кватернионов можно взять матрицы Паули и рассмотреть спинорное представление, как предлагает Siker. Вектор $\vec{n}_{i}$ фиксируется для всех $t'\in [t_{i-1},t_{i}]\subset [0,t]$, аналогично фиксируется $\phi_{i}$. В результате получаем $q_{i}$, определяющее вращение вокруг оси $\vec{n}_{i}$ на угол $\phi_{i}$. Затем находим произведение $q=q_{1}\dots q_{m}$ и, окончательно, преобразование $\vec{v}\to q\vec{v}q^{-1}$.

[epros]

Честно говоря, пока не вижу, чем все эти варианты представлений лучше тупого вычисления $N$ произведений ортогональных матриц (имеется в виду численное решение посредством разбивки отрезка $[0,t]$ на $N$ кусков).

[arseniiv]

https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternions_and_spatial_rotation#Performance_comparisons: кватернионы умножать друг на друга менее затратно, чем матрицы.

[Sicker]

epros
Можно еще рассмотреть метрику трехмерного шара, в которой геодезические-прямые линии. Составить диффур движения этой точки а потом провести между начальной и конечной точкой прямую, вычислить ее длину и угол наклона.

[epros]

arseniiv, численное решение -- всё равно численное решение. Для меня нахождение поворота как функции $t$ -- это всего лишь один из промежуточных результатов. И если я здесь вместо более или менее простой формулки буду иметь загадочную компьютерную функцию в виде чёрного ящика, который каждый раз 5 минут жужжит, прежде чем выдать ответ, то это будет грустно...

-- Чт авг 13, 2015 02:17:04 --

Sicker в сообщении #1044894 писал(а):

Можно еще рассмотреть метрику трехмерного шара, в которой геодезические-прямые линии.

Я вот сейчас думаю над гиперсферой, но что-то ничего не придумывается. Т.е. в принципе понятно, что когда у нас есть интегральный поворот (это -- точка на гиперсфере) и текущее значение угловой скорости (а это -- вектор в точке полюса), то можно как-то записать уравнение движения этой точки по гиперсфере. Наверное, из этого должен получится какой-то дифур, который при удачном стечении обстоятельств может быть даже удастся аналитически решить...

[arseniiv]

epros
Так попробуйте решить дифур $R'(t) = W(t)R(t)$ не численно. Может, кососимметричность матрицы $W$ что-нибудь даёт.

-- Чт авг 13, 2015 03:36:21 --

(Наверно, я ерунду предлагаю…)

[epros]

arseniiv в сообщении #1044899 писал(а):

Так попробуйте решить дифур $R'(t) = W(t)R(t)$ не численно.

Ну вот смотрите к чему приводят все эти пробы. Используем, что $(dR) R^{-1} = d(\ln R)$ (??). Интегрируем полученное равенство: $\ln R = \int\limits_0^t W(t') dt'$. Интеграл -- это сумма матриц, поэтому вопросов с некоммутативностью не возникает. Отсюда $R = \exp{\int\limits_0^t W(t') dt'}$. Ничего нового сравнительно с интегралом в первом сообщении, ибо я и так знаю, что если

$$W = \omega_x X + \omega_y Y + \omega_z Z,$$

где $X$, $Y$ и $Z$ следующие матрицы генераторов поворотов:

$$X = \begin{Vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{Vmatrix} \qquad Y = \begin{Vmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ -1& 0 & 0 \end{Vmatrix} \qquad Z = \begin{Vmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{Vmatrix},$$

а

$$\vec{\alpha} = \int\limits_0^t \vec{\omega}(t') dt',$$

то формулой

$$R = \exp(\alpha_x X + \alpha_y Y + \alpha_z Z)$$

мы получим указанное выше выражение для $R$ из указанного в первом посте темы интеграла. Здесь матричная экспонента (и, соответственно, матричный логарифм) всего лишь переводит антисимметричную матрицу в соответствующую ортогональную матрицу (и наоборот).

Но проблема-то остаётся всё та же! Матричная экспонента -- это такая хитрая штука, что экспонента от суммы вовсе не обязательно равна произведению экспонент слагаемых. Поэтому порядок, в котором выполняются умножения экспонент от матриц, существенен, хотя порядок, в котором под экспонентой выполняются сложения матриц, ничего не меняет.

[Oleg Zubelevich]

epros в сообщении #1044935 писал(а):

arseniiv в сообщении #1044899

писал(а):
Так попробуйте решить дифур $R'(t) = W(t)R(t)$ не численно. Ну вот смотрите к чему приводят все эти пробы. Используем, что $(dR) R^{-1} = (d \ln R)$ (??). Интегрируем полученное равенство: $\ln R = \int\limits_0^t W(t') dt'$. Интеграл -- это сумма матриц, поэтому вопросов с некоммутативностью не возникает. Отсюда $R = \exp{\int\limits_0^t W(t') dt'}$

О как мы неавтономные линейные системы щелкаем. Это верно если $W$ коммутирует с $\int W$, чего, вообще говоря, не наблюдается